Benutzer:Fabiangabel/Boxtopologie

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet die Boxtopologie, auch Boxprodukt genannt, eine Topologie über dem kartesischen Produkt topologischer Räume. Im Gegensatz zur Produkttopologie ist diese Topologie durch eine Basis aus sämtlichen kartesischen Produkten offener Teilmengen der am Produkt beteiligten Mengen gegeben. Über endlichen Produkten stimmen Produkt- und Boxtopologie überein. Über beliebigen Produkten ist die Boxtopologie wesentlich feiner als die Produkttopologie.

Diese Topologie wurde erstmals von Heinrich Tietze 1923 angegeben.

Definition

Sei $(X_{i},{\mathcal {T}}_{i})_{i\in I}$ eine Familie topologischer Räume. Es bezeichne $X:=\prod _{i\in I}X_{i}$ das mengentheoretische Produkt der $X_{i}$. Dann wird die Boxtopologie über $X$ von der Basis

${\mathcal {B}}:={\bigg \{}\prod _{i\in I}O_{i}\mid O_{i}\in {\mathcal {T}}_{i}{\bigg \}}$

erzeugt.

Eigenschaften

Im Allgemeinen stimmen Box- und Produkttopologie bereits überein, falls das zugrunde liegende kartesische Produkt endlich viele aus mindestens zwei Punkten bestehende Mengen umfasst.

Ist $({\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Basen topologischer Räume, so ist ${\bigg \{}\prod _{i\in I}B_{i}\mid B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\bigg \}}\subseteq {\mathcal {B}}$ eine Basis der Boxtopologie.

Trotz der im Vergleich zur Produkttopologie intuitiveren Definition der Boxtopologie erfüllt diese weniger Eigenschaften. Es stellt sich heraus, dass viele topologische Eigenschaften, die für endliche Produkte gelten, sich auf beliebige Produkte verallgemeinern lassen, wenn man statt der Boxtopologie die Produkttopologie zugrunde legt. Da die Boxtopologie im Allgemeinen feiner ist als die Produkttopologie, bleiben Eigenschaften, die man Produkttopologien zuschreibt für Boxtopologien erhalten, wenn die Eigenschaften bei Verfeinerung der Topologie erhalten bleiben. Ein Beispiel hierfür bilden die Trennungsaxiome T0, T1 und T2.

Eigenschaften, die nur bei Vergröberung der Topologie erhalten bleiben wie Zusammenhang oder Kompaktheit und andere Abzählbarkeitseigenschaften sowie Separabilität bleiben im Allgemeinen nicht erhalten, wenn man von der Boxtopologie zur Produkttopologie übergeht.

Entsprechende Aussagen einarbeiten

Beispiel

Als Beispiel für einen Raum, in dem einige der bezüglich der Produkttopologie geltenden Eigenschaften beim Übergang zur Boxtopologie versagen, dient eine Verallgemeinerung des Hilbertwürfels.

Es sei $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Produktraum aller reellwertigen Folgen, wobei die Faktoren $\mathbb {R}$ mit der euklidischen Topologie ausgestattet seien. Es lässt sich hierin für alle $x\in \mathbb {R}$ die konstante Folge $f(x)=(x,x,x,\dots )$ betrachten. Man kann $f$ als Abbildung von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ auffassen. Jede der Komponentenfunktionen $f_{n}(t)=t$ ist stetig und aufgrund der Eigenschaft der Initialtopologie ist somit auch $f$ stetig bezüglich der Produkttopologie.

Es soll nun gezeigt werden, dass dieser Schluss im Falle der Boxtopologie auf $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ nicht mehr möglich ist. Man betrachte die bezüglich Boxtopologie offene Menge $U=\prod _{n\in \mathbb {N} }(-1/n,1/n)$. Es ist $f(0)\in U$. Angenommen $f$ wäre stetig, so wäre entsprechend $f^{-1}(U)$ eine offene Umgebung von $0$ und es würde ein $\delta >0$ existieren mit $(-\delta ,\delta )\subseteq f^{-1}(U)$. Dann würde aber $f(\delta /2)=(\delta /2,\delta /2,\delta /2,\dots )\in U$ gelten, im Widerspruch zur Konstruktion von $U$.

Boxtopologie auf Folgenraum (MUNKRES S.125f. aber auch Theorem 20.4 S.124)

Literatur

• René Bartsch: Allgemeine Topologie. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-040618-4. 
• James R. Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River 2000, ISBN 978-0-13-178449-9. 
• Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Dover, 1995, ISBN 978-0-486-31929-2. 
• Kenneth Kunen, Jerry Vaughan: Handbook of set-theoretic topology. North-Holland, Amsterdam 1984, ISBN 0-444-86580-2.