Benutzer:Fabiangabel/H-abgeschlossener Raum

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Im mathematischen Teilgebiet der Topologie bezeichnet man Hausdorff-Räume als H-abgeschlossen (auch Hausdorff-abgeschlossen), falls sie nur als abgeschlossene Teilräume in umfassende Hausdorff-Räume eingebettet werden können. Es handelt sich hierbei um eine Verallgemeinerung des Kompaktheitsbegriffs, da kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen wiederum abgeschlossen sind. Der Begriff wurde 1924 von Paul Alexandroff und Paul Urysohn eingeführt.^[1]

Eigenschaften

Ein Hausdorff-Raum $(X,\tau )$ ist genau dann H-abgeschlossen, wenn jede offene Überdeckung eine dichte endliche Teilüberdeckung besitzt, d.h. dass für jede Familie offener Mengen $(O_{i})_{i\in I}$ , eine Auswahl $O_{i_{1}},\dots ,O_{i_{n}}$ getroffen werden kann, sodass

\bigcup _{k=1}^{n}{\overline {O_{i_{k}}}}={\overline {\bigcup _{k=1}^{n}O_{i_{k}}}}=X.

Damit sind also insbesondere kompakte Hausdorff-Räume H-abgeschlossen.

Beispiele

Literatur

Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata und Jerry E. Vaughan: Encyclopedia of general topology. 1. Auflage. Elsevier, Amsterdam 2004, ISBN 978-0-444-50355-8.
Horst Herrlich: Axiom of Choice. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-30989-6.

^[2]

Einzelnachweise

↑ Paul Alexandroff, Paul Urysohn: Zur Theorie der topologischen Räume. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 92, Nr. 3-4, 1924, S. 258–266, doi:10.1007/BF01448008. }
↑ Paul Alexandroff: Topologie I. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-02021-0, S. 91 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[alexandroff-1] Paul Alexandroff, Paul Urysohn: Zur Theorie der topologischen Räume. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 92, Nr. 3-4, 1924, S. 258–266, doi:10.1007/BF01448008. }

[books-8WWtBgAAQBAJ-91-2] Paul Alexandroff: Topologie I. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-02021-0, S. 91 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[1]

[2]