Benutzer:Lantani/WP-Pläne

Das ist die Liste der Dinge, die ich gerne in der Wikipedia bearbeiten möchte. Das heißt nicht, dass ich dazu komme und auch nicht, dass ich etwas zustande bringe, was dann auch reif zum Einbringen in den Artikelnamensraum ist. Hier stehen meist nur die Überschriften – ich weiß dann selbst, was ich dazu schreiben wollte (sonst gibts ein paar Stichpunkte). Längere Teile (die in der Übersicht „Angefangene …“ heißen), haben Unterseiten zum Entwurf. Diese sind immer sehr provisorisch und in dem Zustand, in dem mich die Lust verlassen hat, was mitunter mitten in einem missglückten Satz vorkommt.

Die Überschriften der Gruppen in dieser Liste richten sich nach dem geschätzten Aufwand, nicht nach der Priorität. Auch innerhalb einer Gruppe sind die Themen nicht priorisiert, sondern in der Eintragungsreihenfolge belassen oder ein wenig nach Themengebiet zusammengestellt.

Eine Bitte: In die Seiten bis auf die Diskussionsseite bitte nicht hineinkorrigieren. Inhaltliche Beiträge, die in den Unterseiten und deren Diskussionsseiten landen, werden mit der Unterseite entsorgt. Für die Nachwelt bleiben sie nur auf der Benutzer-Diskussionsseite erhalten.

Fehlende Biografien

Larry Trask

• Alain Matthey de l’Etang, Pierre J. Bancel: The age of Mama and Papa. In: John Bengtson, Harold Crane Fleming (Hrsg.): In hot pursuit of language in prehistory. Benjamins, Amsterdam 2008, ISBN 978-90-272-3252-6, S. 417–438 (englisch). 
• Larry Trask: Where do mama/papa words come from? (PDF; 87,6 KB) University of Sussex, UK, 2003, abgerufen am 25. April 2020 (englisch). 

Ganz neue Artikel

Tiberiensische Vokalisation

Definition, Entstehung

Verwendete Schriftzeichen, Namen

Klassen von Schriftzeichen

Regeln grob (Abwechslung Konsonant -- Vokal)

Mischqalim, Silben, große und kleine Vokale

Weiterführendes

Normbegriff, biblisches und modernes Hebräisch

Geplante große Änderungen

Mathematische Logik

Syntax und Semantik

Algebra

Klassische und moderne A. an den Anfang mit deutlichem Unterschied

Shell (Betriebssystem)

Shells nicht von Unix

Benutzeroberfläche

siehe Diskussion dort

Movierung

Definition

Durch eine Movierung ändert sich der Bedeutungsinhalt (das Denotat) eines Substantivs. Dabei geht es um Wörter, die Personen bezeichnen, von denen durch das Wort der Beruf, eine Fähigkeit, die Herkunft, das Verwandtschaftsverhältnis zu anderen Personen oder eine andere Eigenschaft bezeichnet ist, nicht aber das biologische Geschlecht (der Sexus). Durch die Movierung wird das Wort hinsichtlich des Geschlechts präzisiert, indem das movierte Wort eine andere Auswahl nach Geschlecht trifft als das unmovierte.

Soweit es in einer Sprache Movierung gibt, unterliegen ihr Substantive, die erwachsene Personen bezeichnen – in einigen Sprachen viele oder fast alle, in anderen nur einige wenige. Wörter für Kinder und Tiere können denselben Movierungen unterliegen oder nicht. +++++ Namen (2 Bed.)

Als Folge und zur Erkennung der Movierung ändert das Wort meist auch sein Erscheinungsbild (siehe Wortbildung) und – soweit die betreffenden Sprache geschlechtsabhängige Genera hat – sein grammatisches Geschlecht (das Genus).

In diesem Abschnitt beziehen sich die Wörter Geschlecht, männlich, weiblich und generisch (= ohne Festlegung auf ein Geschlecht) auf das biologische Geschlecht des Denotats, dagegen die Wörter Genus, maskulin und feminin auf das grammatische Genus des Wortes.

Änderung der Wortform

Um eine Änderung des Denotats hinsichtlich des Geschlechts zu erzielen, werden verschiedene Mechanismen eingesetzt, die nicht alle unter den Oberbegriff Movierung fallen:

1. Austausch eines Lexems, z. B. Sohn ↔ Tochter, Kaufmann ↔ Kauffrau
2. Ergänzung durch Attribute, z. B. männlicher Gast ↔ weiblicher Gast, Schüler beiderlei Geschlechts
3. Zusammensetzung mit geschlechtsspezifischem Wort, z. B. ungarisch tanár (Lehrer) + nő (Frau) → tanárnő (Lehrerin)
4. Anfügung eines Movierungsmorphems, manchmal unter Änderung des Stammes oder Wegfall einer Endung, z. B. Schüler → Schülerin, Franzose → Französin
5. Ersetzung eines Morphems, manchmal des Nullmorphems: Differenzialgenus, z. B. spanisch hermano (Bruder) ↔ hermana (Schwester), señor (Herr) ↔ señora (Dame)
6. keine sichtbare Änderung, aber verschiedenes Genus: Genus commune, z. B. (der) Präses ↔ (die) Präses
7. (speziell im Deutschen:) substantivierte Adjektive und Partizipien mit Formänderungen in nur wenigen Kontexten, z. B. der Angestellte ↔ die Angestellte aber (ein) Angestellter ↔ (eine) Angestellte

Nicht immer sind die Fälle klar voneinander abgegrenzt. Ein angefügtes Wort wie in Fall (3) kann man auch als Movierungsmorphem (4) auffassen, wenn es bei allen oder fast allen Grundwörtern auftreten kann und auch so verwendet wird. Der Austausch eines Morphems kann unter (4) oder (5) eingeordnet werden, je nachdem, ob ein wegfallendes Nullmorphem eher als Regelfall oder als Ausnahme betrachtet wird.

Die Fälle (1) und (2) werden nicht als Movierung bezeichnet, sie können aber das Fehlen einer Movierung anzeigen, z. B.: Schülerinnen ebenso wie männliche Schüler. Eindeutig ist Fall (4) eine Movierung. In diesem Fall ist klar, welches das unmovierte und welches das movierte Wort ist. In den Fällen (5), (6) und (7) herrscht dagegen eine größere Symmetrie – man spricht da auch von Differenzialgenus oder Neutralisierung. Je nachdem, welche Fragen im Zusammenhang mit Movierung untersucht werden, kann es sinnvoll sein, auch diese Fälle mit einzubeziehen.

Änderung des Bedeutungsinhalts, Gebrauch

(Abschnitt sinnvoll?)

Bei den möglichen Einschränkungen des Geschlechts des Denotats werden unterschieden:

• alle Mitglieder der Grundgesamtheit (generischer Gebrauch)
• nur männliche Mitglieder der Grundgesamtheit (männlich-spezifischer Gebrauch)
• nur weibliche Mitglieder der Grundgesamtheit (weiblich-spezifischer Gebrauch)
• kontextabhängige Kombinationen davon, z. B. je nach Kontext alle oder nur männliche Mitglieder der Grundgesamtheit.

Der nicht nur im Deutschen weitaus häufigste Fall ist der, dass das unmovierte Wort männlich-spezifisch, oft mit generisch kombiniert, gebraucht wird und das movierte Wort weiblich-spezifisch. Dieser Fall wird im Folgenden zugrundegelegt, um die Darstellung zu vereinfachen. Andere Movierungen werden im Anschluss daran+++++ kurz diskutiert.

Änderung des Genus

Hat die Sprache ein Genussystem, das zwischen Maskulinum und Femininum unterscheidet, so ist es der weitaus häufigste Fall, dass +++++

Gebrauch movierter Formen

+++++ muss oder kann die movierte Form gebraucht werden, wo sie semantisch passt? Was ist die Semantik sonst?

+++++ Falls es geschlechtsspezifisches Genus gibt: welches Genus können generische Wörter haben?

+++++ mindestens im Deutschen: immer nur beiläufig, nicht die Kernaussage

Schlüsselwort (Programmierung)

syntaktische Abgrenzung zu Namen

Vokal

artikulatorisch, phonologisch, akustisch abgrenzen

Bibelstelle

Vereinheitlichung der beteiligten Artikel

Griechische und lateinische Vorbilder

Hier geht es um die Schreibungen biblischer Namen, wie sie in der Septuaginta (LXX, Übersetzung des Alten Testaments aus dem Althebräischen ins Altgriechische) und der Vulgata (Übersetzung des althebräischen Alten Testaments und des altgriechischen Neuen Testaments ins Lateinische unter Benutzung der Septuaginta und vorangegangener lateinischer Bibelübersetzungen) verwendet wurden. Septuaginta und Vulgata haben einen großen Einfluss auf nachfolgende Übersetzungen in andere Sprachen gehabt, und manche deutsche Schreibungen biblischer Namen sind nur aus diesen Vorbildern zu verstehen.

Als hebräischer Vergleichstext wird hier der Masoretische Text (MT) angeführt, dessen Konsonantenbestand weitgehend auch für die Septuaginta die Vorlage war. Dagegen sind die in ihm enthaltenen diakritischen Zeichen (Vokalisation, Dagesch) viel jünger, nämlich aus dem 8. bis 10. nachchristlichen Jahrhundert. Sie lagen weder den Übersetzern der Septuaginta noch der Vulgata vor. Wenn im Folgenden von der Darstellung der Vokalisationszeichen in der LXX die Rede ist, sind genauer die Kontexte zu verstehen, die später mit diesen Diakritika versehen worden wären. Dass diese späteren Diakritika scheinbar lange vorher schon berücksichtigt wurden, zeigt, dass sie von den Masoreten aufgrund einer sehr viel älteren Aussprachetradition gesetzt worden sind.

In den Tabellen dieses Abschnitts steht „Loccum“ für die Loccumer Richtlinien ohne die Ausnahmen zur Konservierung etablierter Schreibungen und „ÖVBE“ für dasselbe mit solchen Ausnahmen. Beides wird erst weiter unten genauer behandelt; hier ist „Loccum“ eine einfache Transkription der hebräischen Namen ins Deutsche und „ÖVBE“ eine vertraute Form eines Namens. „LXX“ bezeichnet die Septuaginta ohne polytonische Diakritika, wie sie später hinzugefügt wurden. Die Zeile „Vulgata“ zeigt die Transliteration vom Griechischen ins Lateinische; Unterschiede zwischen Vulgata-Versionen werden später diskutiert.

Die griechische Septuaginta hat, soweit sie hebräische Namen nicht übersetzt hat, öfters griechische Endungen an sie angefügt. Die Vokale hat sie weitgehend so wiedergegeben, wie es der späteren Vokalisierung entspricht, jedoch das Patach gnuva als Epsilon, was auch zu lateinischen Formen w

Vokale
MT	Schwa		i		e			a				o			u
	ru	bw	kl	gr	ch	kl	gr	gn	ch	kl	gr	ch	kl	gr	kl	gr
Loccum	–	e	i		e			a				o			u
LXX	ε,α		ε,α	ει,ι	ε		η,αι	ε	α	α,ε,ο	α	ο		ω	ο	ου
Vulgata	e,a		e,a	i	e		e	e	a	a,e,o	a	ο			o	u

Konsonanten
MT	Halbv.		Liqu.		Nas.		Sibilanten					Frikative/Plosive								Kehllaute
	י	ו	ל	ר	מ	נ	ז	ס	שׂ	שׁ	צ	ב	ג	ד	כ	ק	פ	ת	ט	א	ה	ח	ע
Loccum	j	w	l	r	m	n	s			sch	z	b	g	d	k,ch	k	p,f	t		–	h	h,ch	–,g
LXX	ι	υ	λ	ρ	μ	ν	ζ	σ				β	γ	δ	χ	κ	φ	θ	τ	–	–	–,χ	–,γ
Vulgata	i	u	l	r	m	n	z	s				b	g	d	ch	c	ph	th	t	–	–	–,h	–,g

MT		LXX		Vulg.
א  ה  ע (=ع)		—		—
ע (=غ)		γ		g
ח		—  χ		—  h
ס  צ  שׂ  שׁ		σ		s
ז		ζ		z
ט	ק	τ	κ	t	c
ת	כ	θ	χ	th	ch
פ	פּ	φ	π	ph	p
י	ו	ι	υ	i	u

Die hebräischen Konsonanten hat sie weitgehend einheitlich transkribiert. In der Regel gilt:

• Die Kehllaute (Alef, He, Chet, Ajin) haben keine Entsprechung in der griechischen Schrift. Sie werden meist einfach weggelassen. Chet wird gelegentlich auch zu Chi; Ajin, das arabischem Ghain entspricht, wird zu Gamma.
• Alle stimmlosen s- und sch-Laute (Samech, Zade, Sin, Schin) werden zu Sigma; das stimmhafte Sajin zu Zeta.
• Die emphatischen Konsonanten Tet und Qof werden zu nicht-aspirierten Tau und Kappa; Taw und Kaf dagegen zu Theta und Chi. Die Verwandtschaft der Buchstabennamen (Kaf–Kappa, Tet–Theta, Taw–Tau) entspricht also gerade nicht der Transliteration der Septuaginta.
• Starkes Dagesch wird durch Verdoppelung des griechischen Konsonanten wiedergegeben; bei Kaf, Pe, Taw entsteht oft, aber nicht regelmäßig, κχ, πφ, τθ anstelle von χχ, φφ, θθ. Leichtes Dagesch wird nicht berücksichtigt.
• Konsonantisches Jod und Waw wird zu Jota und Ypsilon. Die restlichen Konsonanten (b, g, d, l, m, n, r) haben direkte griechische Entsprechungen.

Das griechische Neue Testament übernimmt die Schreibungen aus der Septuaginta. Neu dort auftauchende Namen hebräischen und aramäischen Ursprungs werden nicht immer nach diesen Regeln transkribiert, z. B. Kephas und Kapharnaum mit Kappa trotz Kaf im hebr. / aram. Namen, analog Nazaret[h] oft mit Tau trotz Taw.

Die Vulgata übernimmt weitgehend die griechische Schreibweise unter Verwendung von -z- für Zeta, -th- für Theta, -ph- für Phi, -c- (auch -ch-) für Kappa, -ch- (auch -c-) für Chi aus hebr. Kaf) sowie -h- für Chi aus hebr. Chet. Griechische Endungen werden durch lateinische ersetzt, z. B. -os → -us mit Genitiv -ou → -i. In der Originalversion der Vulgata von Hieronymus werden im Griechischen weggelassene hebräisches Kehllaute, besonders Alef, gelegentlich mit -h- bezeichnet, sehr oft aber auch nicht. Außerdem wird h- häufig Namen vorangestellt, die im Hebräischen und Griechischen mit Jod bzw. Jota beginnen. In späteren Versionen der Vulgata werden diese -h- großenteils wieder entfernt, dafür andere eingefügt, besonders dort, wo im Hebräischen der Buchstabe Chet zwischen Vokalen steht (Bethleem → Bethlehem, Naum → Nahum). In der nachstehenden Tabelle sind einige Beispiele für Schreibungen mit und ohne solche -h- zusammengestellt.

ÖVBE	Loccum	MT	LXX	Vulgata Hier. 400	Vulgata Clem. 1592	Luther 1545
Eva	Hawa	חַוָּה	Ευα	Hava	Heva (→ Eva)	Heua
Kanaan	Kenaan	כְּנַעַן	Χανααν	Chanaan	Chanaan	Canaan
Jakob	Jaakob	יַעֲקֹב	Ιακωβ	Iacob	Iacob	Iacob
Israel	Jisrael	יִשְׂרָאֵל	Ισραηλ	Israhel	Israel	Israel
Hebron	Hebron	חֶבְרֹון	Χεβρων	Hebron	Hebron	Hebron
Betlehem	Bet-Lehem	בֵּית לֶחֶם	Βηθλεεμ	Bethleem	Bethlehem	Bethlehem
Jehu	Jehu	יֵהוּא	Ιου	Hieu	Iehu	Iehu
Ijob	Ijob	אִיּוֹב	Ιωβ	Iob	Iob	Hiob
Ezechiel	Jeheskel	יְחֶזְקֵאל	Ιεζεκιηλ	Hiezecihel	Ezechiel	Hesekiel
Hosea	Hoschea	הוֹשֵׁעַ	Ωσηε	Osee	Osee	Hosea

Erläuterungen zur Tabelle

+++++ fehlt

Die Abkürzung „MT“ steht für „Masoretischer Text“, der hier als Vergleichstext angeführt ist. Alle diakritschen Zeichen darin (Dagesch, Vokalzeichen) sind aber viel jünger und lagen weder den Übersetzern der Septuaginta noch der Vulgata vor. Wo also in den Erläuterungen eine Formulierung wie „Pe mit Dagesch“ auftaucht, ist sie als Abkürzung für „Pe an einer Stelle, die rund tausend Jahre später mit einem Dagesch im Pe bezeichnet wird“ zu verstehen; analog für Vokalzeichen, insbesondere Schwa. Die Bezeichnung „LXX bzw. NTG“ steht für „Septuaginta (LXX) für alttestamentliche Stellen und Novum Testamentum Graece (NTG) für neutestamentliche“. Namen die nur im Alten Testament vorkommen, werden dabei hier und im Folgenden ohne Akzente geschrieben, weil sich diese erst in viel späteren Handschriften der LXX finden. Zu den hebräischen und griechischen Texten ist jeweils eine zusätzliche Zeile angefügt, die die Umschrift nach den Loccumer Richtlinien ohne Berücksichtigung der Ausnahmenliste enthält. Das ist also keine phonetische Umschrift, sondern eine, wie sie ohne der Einfluss der antiken Übersetzungen im Deutschen verwendet worden wäre.

Eine genauere Darstellung unter Einschluss der Vokale findet sich bei Könnecke für die Septuaginta und bei Krašovec auch für die Vulgata.

Kleine Änderungen

Menge (Mathematik)

auch überprüfen: Freie Variable und gebundene Variable, Operator, Variable

• Behältnisse können gleiche, aber nicht identische Dinge enthalten (ist das ein Unterschied?).
• Was heißt enthalten? Ist das transitiv?

–

• Behältnisse haben eine Identität unabhängig vom Inhalt; Mengen sind durch den Inhalt definiert.
• Es ist nicht ohne weiteres möglich, dass verschiedene Behältnisse denselben Gegenstand enthalten

Entfernt wurden die Sätze:

• „der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das ‚Behältnis‘ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen.“: Es ist zwar häufig so, dass eine Menge nur eine bestimmte „Sorte und Art“ von Objekten als Elemente enthält, aber das muss nicht immer so sein.
• „Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert.“: Ein mathematisches Objekt ändert sich nicht. Ändert man etwas daran, dann ist es ein anderes. Das ist immer so, nicht nur bei Mengen. Dass manchmal in der Umgangssprache davon abgewichen wird („x geht gegen Null“) ist ein Fass, das man anderswo aufmachen sollte als hier. Stattdessen gibt es die Formulierung „Eigenschaften außer ihrem Inhalt“ statt des etwas mysteriösen Begriffs „Identität“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines leeren Behältnisses. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Analogie hat aber ihre Grenzen:

• Behältnisse könne höchstens endlich viele Gegenstände enthalten – Mengen können auch unendlich viele Elemente enthalten.
• Behältnisse haben Eigenschaften außer ihrem Inhalt (Form, Material, Ort zu einer gegebenen Zeit) – Mengen sind durch ihren Inhalt, also durch ihre Elemente, eindeutig festgelegt; insbesondere gibt es keine zwei verschiedenen Mengen, die genau dieselben Elemente enthalten.
• Gegenstände, seien es Behältnisse oder nicht, können in mehreren Exemplaren existieren, die dann gleich, aber nicht identisch sind – mathematische Objekte sind entweder identisch (das nennt man in der Mathematik „gleich“) oder verschieden.

Die letzten beiden Punkte sorgen dafür, dass Mengen, selbst endliche, ganz andere Eigenschaften haben als physische Behältnisse. Ein Beispiel: ein Wanderer packt in seinen Rucksack für sich und seinen Begleiter zwei Tüten, die je einen Apfel enthalten. Der Rucksack enthält jetzt zwei Tüten mit demselben Inhalt. Sind die beiden Äpfel identisch, d. h. ist es beidemale derselbe Apfel, wird man sie nicht in verschiedene Tüten packen können, die nebeneinander im Rucksack liegen. Bei Mengen gibt es dagegen eine solche Beschränkung nicht: es gibt keinen Grund, warum zwei (Tüten-)Mengen, die Elemente derselben (Rucksack-)Menge sind, nicht gemeinsame Elemente enthalten können.

In solchen Fällen kann die „Veranschaulichung“ des mathematischen Sachverhalts viel schwieriger sein als der Sachverhalt selbst, der allein dadurch gegeben ist, dass man weiß, was die Elemente jeder vorkommenden Menge sind. Nehmen wir ein Objekt A, von dem es gleichgültig ist, ob es Elemente enthält oder welche. Weiter definieren wir die Menge T, die A als einziges Element enthält sowie die Menge R, die genau zwei Elemente enthält, nämlich (anders als im Beispiel eben!) A und T. Wir wissen nun von T und R, welches ihre Elemente sind, und wir wissen, dass jedes Element von T auch Element von R ist (man sagt dann, T sei eine Teilmenge von R). Das ist viel einfacher, als sich einen Rucksack vorzustellen, indem sich derselbe Apfel zweimal befindet, nämlich einmal unverpackt und daneben noch einmal in einer Tüte.

Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.

• 
  Eine Beispielmenge von Polygonen
• 
  Dieselbe Menge als Behältnis
• 
  Menge als Inhalt eines Behältnisses

Isomorphismus

Gruppenbeispiel

Radikal (semitische Sprachen)

(abwarten, bis über Konjugation entschieden?)

Auch in der althebräischen Grammatik liegt dem Großteil der Wörter eine dreiradikalige Wurzel zugrunde, die aus sämtlichen Buchstaben des hebräischen Alphabets gebildet werden kann. Das Konjugationsmodell der hebräischen Verben wurde von hebräischen Grammatikern im Frühmittelalter aus der arabischen Grammatik übernommen. Mit sieben Stämmen (hebr. binjaním, wörtl. „Gebäuden“) ist es etwas einfacher aufgebaut als sein Vorbild, folgt aber denselben Mustern.

Grundmodell	Aussprache	Bedeutungsänderung
פעל, קל	pa'al, qal	Grundform
נפעל	nif'al	meist Passivform von pa'al
פעל	pi'el	oft intensivierend, fast immer transitive Verben
פועל	pu'al	Passivform von pi'el
הפעיל	hif'il	kausativ
הפעל	hof'al	Passivform von hif'il
התפעל	hitpa'el	reflexive Formen

Als Beispiel für die Ableitungsmöglichkeiten einer hebräischen Wurzel sei hier ebenfalls der Begriff für schreiben, hebräisch כתב (kataw) angegeben, mit verschiedenen verbalen und nominalen Ableitungen:

• katáw (pa'al): er schrieb (Infinitiv: lichtów), davon abgeleitet:
  • michtáw: Brief; ketówet: Anschrift, Adresse
• nichtáw (nif'al): er (es) wurde geschrieben (Infinitiv: lehikatéw)
• kitéw (pi'el): er beschriftete (Infinitiv: lechatéw), davon abgeleitet:
  • kitúw: Beschriftung
• hichtíw (hif'il): „er ließ schreiben“, d. h., „er diktierte“ (Infinitiv: lehachtíw), davon abgeleitet:
  • hachtawá: Diktat
• hitkatéw (hitpa'el): er korrespondierte (Infinitiv: lehitkatéw), davon abgeleitet:
  • hitkatwút: Korrespondenz

Wurzel		Verbform	Gisra	deutsch
קשׁר	q-sch-r	jiqschor	שלמים	binden
עמד	'-m-d	ja'amod	פ״ג	stehen
אמר	'-m-r	jômar	פ״א	sagen
ישׁב	j-sch-b	jeschev	פ״י	sitzen
יצר	j-z-r	jizzor	פ״י	formen
נפל	n-p-l	jippol	פ״נ	fallen
שׁיר	sch-j-r	jaschîr	ע״י	singen
קום	q-w-m	jaqûm	ע״ו	aufstehen
קנה	q-n-h	jiqneh	ל״ה	kaufen
סבב	s-b-b	jasov	ע״ע	umkreisen

Polynom

Version 1

Ein Polynom ist eine endliche Summe von Vielfachen von Potenzen einer Unbestimmten:

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0$

oder kurz mit dem Summenzeichen:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0$

Dabei ist $\textstyle \sum$ das Summenzeichen, die Zahlen $a_{i}$ sind die Koeffizienten, mit denen die Potenzen von $x$ multipliziert werden. Die Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich, so dass die Exponenten beschränkt sind. Man könnte also ein Polynom auch aus dem $x$ und den Koeffizienten allein mit Multiplikationen und Additionen zusammensetzen; die Potenzschreibweise ist nur eine Abkürzung.

Die gerade eben als „Zahlen“ bezeichneten Koeffizienten können beispielsweise aus der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ stammen. Es genügt aber auch jede andere Menge $R$, auf der eine Addition und eine Multiplikation mit den üblichen Regeln definiert ist: ein kommutativer Ring mit Eins.

Ein Polynom ist also gegeben durch einen Ring $R$, beispielsweise eine Zahlenmenge, sowie eine abbrechende Folge $(a_{0},a_{1},\dotsb ,a_{n})$ von Elementen von $R$, den Koeffizienten des Polynoms. Man schreibt Polynome aber in der eingangs dargestellten Form, indem man ein Zeichen $x$ für das Polynom mit den Koeffizienten $(0,1)$ einführt und festlegt. Dann lässt sich eine Addition und eine Multiplikation auf den Polynomen dadurch definieren, dass man mit diesen Ausdrücken gliedweise so rechnet, als sei das $x$ ein noch beliebig zu wählendes Element von $R$, also:

$\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}+\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}=\sum _{k=0}^{r}c_{k}x^{k}$  mit  $r=\max(m,n)$  und  $c_{k}=a_{k}+b_{k}$, wobei nicht in den Ausgangspolynomen vorkommende Koeffizienten mit dem Wert 0 eingehen, z. B. $(2x^{2}-3x+1)+(x-2)=(2+0)x^{2}+(-3+1)x+(1-2)=2x^{2}-2x-1$

sowie

$\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\cdot \sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}=\sum _{k=0}^{r}c_{k}x^{k}$  mit  $r=m\cdot n$  und  $c_{k}=\sum _{k=0}^{r}a_{i}b_{n-i}$ +++++ falsch!

die Polynomf

Über das $x$ ist nurvorausgesetzt, dass man mit im in derselben kann je nach dem Zusammenhang verschieden sein.

Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in $x$ (einer Polynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms und Absolutglied.

Version 0: bisheriger Text

Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw. Unbestimmten:

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0$

oder kurz mit dem Summenzeichen:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0$

Dabei ist $\textstyle \sum$ das Summenzeichen, die Zahlen $a_{i}$ sind die jeweiligen Vielfachen und $x$ ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in $x$ (einer Polynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms und Absolutglied.

Ganzrationale Funktion

Linearfaktorzerlegung

→ Hauptartikel: Faktorisierung von Polynomen

Ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion als Produkt von linearen Faktoren (von denen manche auch mehrfach auftreten können) und evtl. einer ganzrationalen Funktion g ohne Nullstellen gegeben, also

$f(x)=(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsm (x-x_{m})^{k_{m}}\cdot g(x),$

so sind $x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}$ die Nullstellen. Die natürlichen Zahlen $k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{m}$ heißen die Vielfachheiten der Nullstellen.

Beispiel: Die Funktion

$f\colon x\mapsto -0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)$

hat die dreifache Nullstelle $x_{1}=0$, die einfache Nullstelle $x_{2}=2$ und die doppelte/zweifache Nullstelle $x_{3}=-3$; die Faktoren $-0{,}01$ und $x^{2}+1$ können dagegen für kein $x$ zu null werden,${\displaystyle }$ liefern also keine w${\displaystyle }$eiteren Nullstellen.

Hat man umgekehrt ein Polynom $f(x)$ vom Grad $n$ vorliegen und kennt man eine Nullstelle $\xi$, so kann man immer den Linearfaktor $(x-\xi )$ abspalten, d. h. es gibt ein Polynom $g(x)$ vom Grad $n-1$, so dass $f(x)=(x-\xi )\cdot g(x)$. Das geschieht durch Polynomdivision des Polynoms $f$ durch den neuen Linearfaktor $(x-\xi )$. Diese liefert das Quotientenpolynom $g$ und ein Restpolynom $r$ vom Grad 0, also eine Konstante, die aber Null sein muss, sonst wäre $\xi$ keine Nullstelle von $f$ gewesen. Das wiederholt man solange, bis das verbleibende Polynom keine Nullstellen mehr hat. Das ist spätestens dann der Fall, wenn sein Grad 0 ist. Damit kommt man auf jeden Fall zu einer Zerlegung wie oben in Linearfaktoren sowie einen nullstellenfreien Faktor.

Diese schrittweise Abspaltung von Linearfaktoren geschieht in ganz genau gleicher Weise unabhängig davon, was der zugrundeliegende Zahlenbereich ist, in dem die Koeffizienten des Polynoms und seine Nullstellen liegen: ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen (deren Kenntnis hier nicht vorausgesetzt wird). In allen vieren gilt: überall, wo es eine zum Zahlenbereich gehörige Nullstelle gibt, dort lässt sich ein Linearfaktor abspalten. Nur welche Nullstellen existieren, hängt vom Zahlenbereich ab. So hat das nachfolgende Beispielpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten je nach Zahlbereich verschiedene Nullstellen, die jeweils die Abspaltung eines Linearfaktors zulassen:

Zahlenbereich	Nullstellen	Linearfaktoren abgespalten (zum Teil mit Alternativdarstellung)
unzerlegtes Polynom		$f(x)=3x^{6}-2x^{5}+12x^{4}-14x^{3}-131x^{2}+36x+36$
ganze Zahlen $\mathbb {Z}$	$x_{1}=-2$	$f(x)=(x+2)\cdot (3x^{5}-8x^{4}+28x^{3}-70x^{2}+9x+18)$
rationale Z. $\mathbb {Q}$	$x_{1};$ $x_{2}={\tfrac {2}{3}}$	$f(x)=(x+2)(x-{\tfrac {2}{3}})\cdot (3x^{4}-6x^{3}+24x^{2}-54x-27)$ oder $f(x)=(x+2)(3x-2)\cdot (x^{4}-2x^{3}+8x^{2}-18x-9)$
reelle Zahlen $\mathbb {R}$	$x_{1};$ $x_{2};$ $x_{3}=1-{\sqrt {2}};$ $x_{4}=1+{\sqrt {2}}$	$f(x)=3(x+2)(x-{\tfrac {2}{3}})(x-1+{\sqrt {2}})(x-1-{\sqrt {2}})\cdot (x^{2}+9)$ oder $f(x)=(x+2)(3x-2)(x^{2}-2x-1)\cdot (x^{2}+9)$
komplexe Z. $\mathbb {C}$	$x_{1};$ $x_{2};$ $x_{3};$ $x_{4};$ $x_{5}=-3i;$ $x_{6}=3i$	$f(x)=3(x+2)(x-{\tfrac {2}{3}})(x-1+{\sqrt {2}})(x-1-{\sqrt {2}})(x+3i)(x-3i)$ oder wie eben

++++ Anzahl von Nullstellen – generell gültig

++++ ganzzahlige Polynome

Die Abspaltung eines Linearfaktors setzt voraus, dass man die entsprechende Nullstelle bereits ermittelt hat; es ist also kein Verfahren zum Finden von Nullstellen. So ist es auch durchaus nicht offensichtlich, wie man etwa aus dem Ausgangspolynom auf die Nullstelle $x_{1}=-2$ kommt. In diesem Fall eines ganzzahligen Polynoms gibt es dazu den Satz über rationale Nullstellen, aus dem hervorgeht, dass jede rationale Nullstelle einen der 24 Werte $\pm 36$, $\pm 18$, $\pm 12$, $\pm 9$, $\pm 6$, $\pm 4$, $\pm 3$, $\pm 2$, $\pm 1$, $\pm {\tfrac {4}{3}}$, $\pm {\tfrac {2}{3}}$ oder $\pm {\tfrac {1}{3}}$ haben muss. Die kann man der Reihe nach durchprobieren, oder man ermittelt anders die ungefähre Lage einer Nullstelle und prüft dann nach, ob die nächstliegende Zahl aus dieser Liste tatsächlich eine Nullstelle ist. Die beiden rationalen Nullstellen können so ermittelt werden. Im allgemeinen lassen sich die irrationalen Nullstellen nicht auf diese Weise finden.

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass sich so jede ganzrationale Funktion über den komplexen Zahlen in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen lässt. Hat die Funktion nur reelle Koeffizienten, so folgt, dass mit jeder komplexen Nullstelle auch die jeweils konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle ist. Damit ergibt sich: jede ganzrationale Funktion über den reellen Zahlen kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als ein Produkt aus linearen und quadratischen Termen dargestellt werden.

Die Vielfachheit von Nullstellen hängt auch direkt mit den Ableitungen der Funktion zusammen: $x_{0}$ ist genau dann eine $k$-fache Nullstelle von $f$, wenn gilt $f(x_{0})=f'(x_{0})=\dotsb =f^{(k-1)}(x_{0})=0$ und $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$.

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Susanne Flecken-Büttner, Peter Glasner, Reinhold Katers und Karina Kellermann: Mittelhochdeutsch – Arbeitsgrundlagen. (PDF; 4,7 MB) Univ. Bonn, Inst. für Germanistik, Vergleichende Literatur- und Kulturwissenschaft, Oktober 2009, S. 17, abgerufen am 28. September 2021. 

Peter Ladefoged: A Course in Phonetics. 5th ed. Wadsworth, Boston 2006, ISBN 978-1-4130-0688-9, S. 66 (englisch). 

Theodor Siebs: Deutsche Aussprache. Reine und gemäßigte Hochlautung mit Aussprachewörterbuch. Hrsg.: Helmut de Boor. 19., umgearb. Auflage. VMA-Verlag, Wiesbaden 2000, ISBN 978-3-928127-66-0, S. 89. 

[ŋ]	[ŋg]	[​ᵑɡ⁠]	angewandt in … (Beispiele)
ŋ	ŋg	ŋg ​/ ᵑɡ⁠	Lautschrift (IPA)
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	ng		Latein, Spanisch
ng			Pitjantjatjara, Grönländisch
ng	ngg		Malaiisch, Philippinisch
ŋ	ŋg		Nordsamisch
ṅ	ṅg		Sanskrit-Transliteration
ň	ňg		Turkmenisch
ng’		ng	Swahili, Bemba
ŋ		ng	Fulfulde ff:Disc
g		q	Fidschi