Benutzer:Mbasti01/Konzept 03

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Entwurf

Lineares Zeitinvariantes System

Lösung DGL Herleitung für 1-Größen-System

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!507:Variation_der_Konstanten

http://math-grain.de/download/m2/dgl/variation/variation-konst-1.pdf

https://www.ableitungsrechner.net/

Zustandsraumdarstellung#Allgemeine Lösung im Zeitbereich

Gewöhnliche Differentialgleichung

Lineare gewöhnliche Differentialgleichung verweist auf Homogene lineare Differentialgleichung

Homogene lineare Differentialgleichung OHNE Herleitung ! Hier sollte die Herleitung sein.

Inhomogene lineare Differentialgleichung

Variation der Konstanten Lösung der inhomogenen DGL erster Ordnung

Matrixexponential MIT Herleitung (nicht verstanden) und Beispiel

Dynamisches System (Systemtheorie)

Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)

Laplace-Transformation

Übertragungsfunktion Systemanalyse

Tabelle ...

Berechnung der diskreten Parameter	$A_{d}$	$B_{d}$
Exakte Berechnung (aus Vergleich der Lösungsformeln)	$e^{DT/T}$	$1-A_{d}$
Lineare Näherung (nach Linearisierung der e-Funktion)	$1-{DT \over T}$	$1-A_{d}$
Bilineare Näherung (Tustin-Formel, Trapezregel)	${{2-DT} \over {2+DT}}$	$1-A_{d}$

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Gegeben sei eine Differentialgleichung, wie sie z.B. für lineare zeitinvariante Systeme oder in der Zustandsraumdarstellung für dynamische Systeme Verwendung findet:

$x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)$

Die zugehörige homogene Differentialgleichung $x^{\prime }(t)=ax(t)$ hat folgende Lösung:

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}$

Die Lösung der inhomogenen DGL erfolgt mit der Methode Variation der Konstanten. Dazu wird auf die Lösung der homogenen DGL aufgebaut. Die Lösungs-Konstante $x_{0}$ wird "variiert" und im folgenden C(t) genannt:

Lösungs Ansatz:

$x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$

Ableitung mit Kettenregel:

$x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}$

Beides eingesetzt in die ursprüngliche inhomogene DGL und durch Multiplikation mit $e^{-a(t-t_{0})}$nach $C^{\prime }(t)$ aufgelöst:

$C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}=aC(t)e^{a(t-t_{0})}+bu(t)$

$C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}=bu(t)$

$C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_{0})}$

Beide Seiten dieser Gleichung werden integriert. Der linke Term ergibt sich aus der Überlegung, dass die Ableitung von $C(t)-C(t_{0})$ ja $C^{\prime }(t)$ ergibt:

$C(t)-C(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$.

Auflösung nach $C(t)$ und Verwendung von $C(t_{0})=x_{0}$:

$C(t)=\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau +C(t_{0})$

$C(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$

Eingesetzt in obigen Lösungs-Ansatz $x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$ergibt sich das Ergebnis nach einigen Umformungen:

$x(t)=(x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau )\cdot e^{a(t-t_{0})}$

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+e^{a(t-t_{0})}\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-t_{0})}e^{-a(\tau -t_{0})}d\tau$

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{at-at_{0}}e^{-a\tau +at_{0})}d\tau$

Die Lösung für die inhomogene DGL der Zustandsraumdarstellung ergibt sich schließlich zu:

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}bu(\tau )e^{a(t-\tau )}d\tau$

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https://www.mb.uni-siegen.de/mrt/lehre/dr/skript_dr.pdf S 35 https://www.mb.uni-siegen.de/mrt/lehre/dr/skript_dr.pdf

http://math-grain.de/download/m2/dgl/variation/variation-konst-1.pdf

https://www.eit.hs-karlsruhe.de/mesysto/teil-a-zeitkontinuierliche-signale-und-systeme/darstellung-von-systemen-im-zustandsraum/loesung-von-zustandsgleichungen/loesung-von-zustandsgleichungen-ueber-die-transitionsmatrix.html. Hier stehts drin, ist aber nicht erklärt !!!

Matrixexponential#Anwendungen. ok, t ist nicht tau, daher kann der Faktor in das Integral reingezogen werden !!! Siehe inhomogener Fall ... jetzt passt es

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Die homogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=ax(t)$

Die homogene Lösung ist:

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}$ .

Die inhomogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=ax(t)+bu(t)$

Ansatz nach "Variation der Konstanten", ausgehend von der homogenen Lösung:

$x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$

Ableitung:

$x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}$

Beides eingesetzt in die inhomogene DGL:

$x^{\prime }(t)=C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}+C(t)ae^{a(t-t_{0})}=aC(t)e^{a(t-t_{0})}+bu(t)$

$C^{\prime }(t)e^{a(t-t_{0})}=bu(t)$

$C^{\prime }(t)=bu(t)e^{-a(t-t_{0})}$

Durch Integration auf beiden Seiten dieser Gleichung folgt:

$C(t)={\int _{t_{0}}^{t}bu(t)e^{-a(t-t_{0})}dt}+C1$

Lässt man diese Integrationskonstante C1 weg, dann erhält man die spezielle Lösung:

Eingesetzt in den ursprünglichen Ansatz:

$x(t)=C(t)e^{a(t-t_{0})}$

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}\cdot {\int _{t_{0}}^{t}bu(t)e^{-a(t-t_{0})}dt}$

Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=xy(x)+xe^{\frac {x^{2}}{2}}$.

Die zugehörige homogene Gleichung $y^{\prime }(x)=xy(x)$ hat die Lösungen $y(x)=Ce^{\frac {x^{2}}{2}}$. Wir wählen deshalb den Ansatz

$y(x)=C(x)e^{\frac {x^{2}}{2}}$,

woraus sich für $C(x)$ die Differentialgleichung

$C^{\prime }(x)=x$

mit Lösung $C(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+D$ ergibt. Die Lösungen der inhomogenen Gleichung sind also von der Form

$y(x)={\frac {1}{2}}x^{2}e^{\frac {x^{2}}{2}}+De^{\frac {x^{2}}{2}}$.

Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Die homogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=a(t)x(t)$

mit Anfangswert $x(t_{0})=x_{0}$ hat die eindeutige Lösung

$x(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}a(s)ds}x_{0}$ .

Für den Fall, dass a konstant ist:

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}$ .

Die inhomogene lineare Differentialgleichung

$x^{\prime }(t)=a(t)x(t)+bu(t)$

mit Anfangswert $x(t_{0})=x_{0}$ hat die homogene Lösung

$x(t)=e^{\int _{t_{0}}^{t}a(s)ds}x_{0}$ .

Für den Fall, dass a konstant ist:

$x(t)=e^{a(t-t_{0})}x_{0}$ .

Partikuläre Lösung

Ausgehend von $u(t)\neq 0$ und $x_{0}=0$ folgt:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x(t)=A\,x(t)+b\,u(t)\end{aligned}}$

Die partikuläre Lösung sucht man in der Form:

${\begin{aligned}x_{p}(t)=\phi (t)\xi (t)=e^{At}\xi (t),\end{aligned}}$

wobei $\xi (t)$ ein unbekannter Funktionsvektor mit $\xi (0)=0$ ist. Aus den beiden oberen Gleichungen folgt:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}x_{p}(t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\xi (t){\frac {d}{dt}}\phi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,\phi (t)\xi (t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\A\,x_{p}(t)+\phi (t){\frac {d}{dt}}\xi (t)&=A\,x_{p}(t)+b\,u(t)\\\end{aligned}}$

Damit kann $\xi (t)$ bestimmt werden:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\xi (t)=\phi ^{-1}(t)bu(t)\\\end{aligned}}$

Man erhält durch Integration unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Fundamentalmatrix:

${\begin{aligned}\phi (t)\xi (t)&=\phi (t)\int _{0}^{t}\phi ^{-1}(\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )bu(\tau )d\tau \\x_{p}(t)&=\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$

Die Lösung einer linearen zeitinvarianten Differenzialgleichung lautet:

${\begin{aligned}x(t)=e^{At}x_{0}(t)+\int _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}bu(\tau )d\tau \\\end{aligned}}$