Benutzer:PatrickC/Spielwiese

Eine Hida-Distribution, benannt nach dem japanischen Mathematiker Takeyuki Hida, ist eine Distribution, die in der Integrationstheorie unendlichdimensionaler Funktionen Anwendung findet. Ihre Definition erinnert an die Temperierten Distributionen, und die zugehörigen Testfunktionen (Hida-Testfunktionen) ähneln daher den Schwartz-Funktionen.

Für den Raum der Hida-Testfunktionen verwendet man häufig ein ${\mathcal {S}}$ als Formelzeichen, was an die entsprechende Notation $S$ für den Schwartz-Raum erinnern soll. Die Hida-Distributionen (als topologischer Dualraum von ${\mathcal {S}}$) werden entsprechend mit ${\mathcal {S}}^{\prime }$ bezeichnet. Wie in der Distributionentheorie üblich, bilden die Hida-Räume ein Gel'fand-Tripel mit einem Raum integrierbarer Funktionen. Hier haben wir die Inklusionskette ${\mathcal {S}}\subset L^{2}(S^{\prime }(\mathbb {R} ^{n});\mathbb {C} ;\mu )\subset {\mathcal {S}}^{\prime }$, wobei $S^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ der Raum der Temperierten Distributionen ist und $\mu$ eine unendlichdimensionale Verallgemeinerung des gaußschen Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Motivation

Hida-Distributionen spielen eine wichtige Rolle in der unendlichdimensionales Analysis, speziell in der Integrationstheorie. Ähnlich wie im endlichdimensionalen Fall nutzt man Distributionen als verallgemeinerte Funktionen, um Integrale zu berechnen, deren Integranden streng genommen nicht integrierbar sind (vgl. etwa mit der Delta-Distribution). So kann man Hida-Distributionen beispielsweise verwenden, um das Feynman'sche Pfadintegral zu konstruieren, das in der Form, wie Richard Feynman es ursprünglich definiert hatte, nicht existiert.

Definition

Definition der Hida-Räume

Ausgangspunkte sind einerseits das White-Noise-Tripel $S(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subset S^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ mit dem Schwartz-Raum $S(\mathbb {R} ^{n})$ und dem Raum $S^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ der temperierten Distributionen, sowie das White Noise Maß $\mu$ mit dem zugehörigen Hilbertraum $L^{2}(\mu ):=L^{2}(S^{\prime }(\mathbb {R} ^{n});\mu )$.

Parallelen zu den Temperierten Distributionen

Ähnlich wie im obigen Fall kann man den Schwartz-Raum als projektiven Limes der Räume

${\mathcal {H}}_{p}=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}):\|f\|_{{\mathcal {H}}_{p}}<\infty \},\|f\|_{{\mathcal {H}}_{p}}=\left\|\prod _{j=1}^{n}H_{j}^{p}f\right\|_{L^{2}},p\in \mathbb {N} _{0}$

konstruieren, wobei $H_{j}$ der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators

$H_{j}={\frac {1}{2}}(x_{j}^{2}-\partial _{j}^{2}+1)$

ist. Es gilt ${\mathcal {H}}_{q}\subset {\mathcal {H}}_{p}$ für $q>p$, und

$S(\mathbb {R} ^{n})=\bigcap _{p\in \mathbb {N} _{0}}{\mathcal {H}}_{p}.$