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Die Bures-Metrik ist eine Metrik auf dem Raum von Dichtematrizen auf einem endlich-dimensionalen Hilbertraum. Ein grosser Bures-Abstand zwischen zwei Dichtematrizen impliziert eine grosse Unterscheidbarkeit der Zustände. Sie wurde 1969 von Donald Bures eingeführt. Sie hat einen engen Bezug zur Fidelität der betrachteten Zustände.

Definition

Für zwei positive Operatoren $\rho _{1},\rho _{2}$ auf einem endlich-dimensionalen Hilbertraum ist ihr Bures-Abstand definiert als^[1]

D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})={\sqrt {\mathrm {tr} (\rho _{1})+\mathrm {tr} (\rho _{2})-2{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}}}

,

wobei $\mathrm {tr} (\cdot )$ die Spur bezeichnet und $F(\rho _{1},\rho _{2})$ die die (Uhlmann-)Fidelität der beiden Operatoren.

Eigenschaften

(unvollständig) Der Bures-Abstand ergibt sich als Verallgemeinerung des Hellingerabstands für Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den Raum der Dichtematrizen. Jedes Abstandsmass $D(p,q)$ auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsverteilungen (auf $N$ Punkten) lässt sich auf Dichtematrizen verallgemeinern. Dazu benutzt man, dass jede quantenmechanische Messung ${\mathcal {M}}$ jeder Dichtematrix eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zuordnet,^[2] nämlich die Verteilung auf der Menge $\{1,\dots ,d\}$ der möglichen Messergebnisse, die man erhält, wenn man die Messung ${\mathcal {M}}$ an einem im Zustand $\rho$ präparierten System vornimmt. Für gegebene Dichtematrizen $\rho ,\sigma$ definiert man nun ihren Abstand als den maximalen Abstand der so gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen $p_{{\mathcal {M}},\rho },p_{{\mathcal {M}},\sigma }$ maximiert über alle möglichen Messungen ${\mathcal {M}}$ .
Bezug zu Quantum Fisher Information and Unterscheidbarkeit von Quantenzuständen, vgl. Samuel L. Braunstein, Carlton M. Caves: Statistical distance and the geometry of quantum states. In: Phys. Rev. Lett. Band 72, 1994, S. 3439, doi:10.1103/PhysRevLett.72.3439.
Die Bures-Metrik ist eine monotone Metrik (und die kleinste solche Metrik) auf der Mannigfaltigkeit der komplexwertigen positiven $n\times n$ Matrizen. Eine Metrik heißt monoton, falls der dadurch definierte Abstand zwischen zwei Punkten unter vollständig positiven spurerhaltenden Abbildungen nicht zunimmt.^[3]^[4] Physikalisch bedeutet das, dass es durch deterministische quantenmechanische Operationen (Quantenkanäle) auf den Zuständen nicht möglich ist, ihre Unterscheidbarkeit zu erhöhen.

Geschichte

Die Bures-Metrik wurde von Bures im Zusammenhang mit unendlichen Produkten von W*-Algebren eingeführt und dann in einer Reihe von Arbeiten von Armin Uhlmann untersucht, der sie verwendete, um den Paralleltransport von Zuständen zu definieren und die Fidelität von reinen Zuständen für gemischte Zustände zu verallgemeinern. Dabei verwendete er, dass die Bures-Metrik eine Erweiterung der Fubini-Study-Metrik für reine Zustände ist.^[5] Seither hat der Abstand im Rahmen der Quanteninformatik Anwendungen gefunden, so zum Beispiel zur Bestimmung von Schranken zur Unterscheidbarkeit von Zuständen oder der Definition von Verschränkungsmaßen.

Literatur

Donald Bures: An Extension of Kakutani’s Theorem on Infinite Product Measures to the Tensor Product of Semifinite w*-Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 135, 1969, S. 199–212, doi:10.2307/1995012.
Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, 2007 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise

↑ Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, 2007, S. 242 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Die Messung ${\mathcal {M}}$ wird durch ein positiv-operatorwertiges Mass (POVM) beschrieben, d. h. einen Satz $(M_{1},\dots ,M_{d})$ von positiven Operatoren, die sich auf 1 summieren. Für ein im Zustand $\rho$ präpariertes System erhält man das Messergebnis $j$ mit Wahrscheinlichkeit $p_{{\mathcal {M}},\rho }(j)=\mathrm {tr} (\rho M_{j})$ .
↑ Michel-Marie Deza, Elena Deza: Dictionary of Distances. Elsevier, 2006, ISBN 978-0-08-046554-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ I. Bengtsson, K. Zyczkowski: In Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, 2006, Monotone metrics and measures, S. 339–362, doi:10.1017/CBO9780511535048.015.
↑ D. Spehner, F. Illuminati, M. Orszag, W. Roga: Geometric Measures of Quantum Correlations with Bures and Hellinger Distances. In: Felipe Fernandes Fanchini, Diogo de Oliveira Soares Pinto, Gerardo Adesso (Hrsg.): Lectures on General Quantum Correlations and their Applications. Springer, 2017, S. 105–157.

[1] Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, 2007, S. 242 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[2] Die Messung ${\mathcal {M}}$ wird durch ein positiv-operatorwertiges Mass (POVM) beschrieben, d. h. einen Satz $(M_{1},\dots ,M_{d})$ von positiven Operatoren, die sich auf 1 summieren. Für ein im Zustand $\rho$ präpariertes System erhält man das Messergebnis $j$ mit Wahrscheinlichkeit $p_{{\mathcal {M}},\rho }(j)=\mathrm {tr} (\rho M_{j})$ .

[3] Michel-Marie Deza, Elena Deza: Dictionary of Distances. Elsevier, 2006, ISBN 978-0-08-046554-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[4] I. Bengtsson, K. Zyczkowski: In Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement. Cambridge University Press, 2006, Monotone metrics and measures, S. 339–362, doi:10.1017/CBO9780511535048.015.

[5] D. Spehner, F. Illuminati, M. Orszag, W. Roga: Geometric Measures of Quantum Correlations with Bures and Hellinger Distances. In: Felipe Fernandes Fanchini, Diogo de Oliveira Soares Pinto, Gerardo Adesso (Hrsg.): Lectures on General Quantum Correlations and their Applications. Springer, 2017, S. 105–157.

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