Peirces Pferde
Alle Pferde sind Tiere, also sind Pferdeköpfe Tierköpfe.
Peirce meint das folge in einer Urteilslogik, deshalb sei sie einer Begriffslogik überlegen. Ich glaube Peirce wollte auffordern, das in einer Begriffslogik zu formalisieren, damit der Schwachsinn aufgedeckt würde.
Alles was folgt ist, mal wieder: Pferde, Tiere, Pferdeköpfe, Tierköpfe sind zusammen distributiv, komplementär und vollständig. Ja, genau so meine ich es.
Die vier Tricks sind wiederholt:
- Es wird gar keine Annahme gemacht, also muß man nichts abtrennen. Was folgt, folgt tautologisch (kann ich zeigen). Im weitesten Sinne wegen P(x) P(x), für alle vier Ausdrücke.
- Ein, in diesem Fall sogar zwei Subjekte werden eingeschränkt und es wird nur oder sogar falsch subalterniert (kann ich zeigen).
- Die Symmetrie des Ergebnisses wird vorweggenommen!...? (kann ich zeigen)
- Die für die Hypothese behauptete Wahrheit soll die Wahrheit sein (Geschmacksfrage).
Komisch, ich wußte aber schon vorher, daß ich in einem distributiven, komplementären vollständigen Verband bin, wenn ich mit vier Ausdrücken Prädikatenlogik treibe.
Da keine Annahme gemacht wird, braucht man nicht nach verborgenen Prämissen suchen und auch nicht abtrennen. Für Pegasus nimmt man die andere Hypothese: Alle Pferde sind keine Tiere. Q e d. --Roomsixhu 22:28, 19. Jul 2006 (CEST)
Eine bessere Formalisierung habe ich in Arbeit, sie wird als Vordiplomarbeit nachgereicht. Als Übungsaufgabe erstmal selber drüber nachdenken.--Roomsixhu 22:28, 19. Jul 2006 (CEST)
Die Formalisierung
Hier die genaue Formulierung: "All horses are animals; therefore, every head of a horse is the head of an animal."
Das ganze bleibt Schwachsinn, und ist nur eine Subalternation mit eingeschränktem Subjekt, weil:
(p k t) (p k 0) (t k 0)
(Alle Pferde und Köpfe sind Tiere) und (Pferde und Köpfe existieren) ist teilweise identisch mit (Einige Köpfe und Tiere existieren).
Aber auch:
(p t k) (p t 0) (t k 0)
(Alle Pferde und Tiere haben Köpfe) und (Pferde und Tiere existieren) ist teilweise identisch mit (Einige Köpfe und Tiere existieren).
Verschwiegen wurde, daß Pferde Köpfe haben, daß anscheinend ein Pferd als Tier mit Tierkopf der Person, die die Behauptung aufstellt, bekannt ist, und daß das Subjekt p ein unbestimmt eingeschränktes ist. Einmal haben nicht alle Tiere Köpfe. (Das kann man aus obiger Formulierung auch nicht erschließen). Undeutlich in dem Link ist, daß etwas für alle Köpfe geschlossen wird. Warum ist auf einmal der Kopf das Subjekt in der Hypothese??? Tier und Pferd ist auf jeden Fall etwas mit Pferdekopf. Dieses Wechselspiel Tier und Kopf ist mir schon bei meiner anderen Formalisierung anders aufgefallen. Es schränkt das Subjekt der Konsequenz gleich mit ein und nimmt deren Symmetrie voraus. Woher weiß man das aber, bevor man geschlossen hat, ob das geht?? Letztendlich kann dann aber in der zweiten Formulierung auch das Tier als Subjekt eingeschränkt sein. Also kann man zirkulär jeden der Ausdrücke einmal einschränken. Ist dann unser Ergebnis auch nur eingeschränkt?? Wo ist die nichteingeschränkte Voraussetzung? p ist es ja wohl nicht? Mein Geschmack ist das nicht. Das geht genauer mit der Rüchschlußmethode. Mitarbeit beendet. Den sauberen Rückschluß, auch für den armen Pegasus, mach ich zu meinem Vergnügen.--Roomsixhu 00:29, 20. Jul 2006 (CEST)
Urteilslogik
Die oben benutzte Formel hatte ich vor einiger Zeit umgedreht. V. Petzinger sagt in seinem Artikel zur Begriffslogik, jedenfalls verstehe ich es so: folge in einer Urteilslogik. Deshalb gebe ich jetzt etwas verspätet, den Satz an, der hier benutzt wird wenn man das Urteilsprinzip auf anwendet.
Damit läßt sich dann recht einfach, weil daraus folgt, die obige Subsumtion herstellen. Aber man befindet sich damit in einer Urteilslogik und diese ist sogar noch mehrwertig und hat keine Individuen vorausgesetzt. Deshalb gelten auch keine der prädikatenlogischen Kennzeichnung entsprechenden Axiome einer angewandten Begriffslogik, und Subalternationen folgen nicht, ebenso nicht die Regeln für Quantoren, die Subalternationen entsprechen oder ausdrücken. Anscheinend läßt sich die partikuläre Begriffsbeziehung prädikatenlogisch überhaupt nicht einwandfrei ausdrücken. Schließlich gilt das Tertium non datur für Pegasus. Wenn er einen Perdekopf hat und ebenso keinen Pferdekopf hat, ist Pegasus widersprüchlich. Es ist in keiner Weise nötig ein Individuum aufzusuchen, das die Eigenschaft einen Pferdekopf oder keinen Pferdekopf zu haben besitzt. Diese Art von verschärftem Tertium non datur gibt es erst unter der Voraussetzung einer angewandten Begriffslogik, in der man fordert, unter jeden widerspruchsfreien Allgemeinbegriff müsse mindestens ein Indivduum fallen.
--Roomsixhu 13:42, 23. Dez. 2006 (CET)
Nachgereicht:
Eine Variablenbedingung ist wohl nicht einzuhalten.
Variablenbedingung kann man hier nicht so genau angeben. Auf jeden Fall derjenige Ausdruck, der einschränkt, hier ja wohl erstmal k, darf nicht frei in p und t vorkommen. Aber hier auch irgendwie p nicht frei in k und t. Fragen?
Wie soll man die Bedingung einhalten, wenn man nicht weiß wo?--Roomsixhu 00:46, 20. Jul 2006 (CEST)
Der ganze Rückschluß
Die Kürzel bezeichnen die Urteile bei den hypothetischen Schlüssen für Hypothese und Konsequenz. X ist die gesuchte verborgene Prämisse. Xm ist eine minimale Lösung.
- aa: p t, X pk tk
- Xm: pk p +tk, t pk tk
- ao: p t, X pk
- Xm: (p ) + (pk tk) 0
- oa: p , X pk tk, hat nur die triviale Lösung pk tk.
- oo: p , X pk
- X*: p + pk, p (Diese Lösung ist nicht definitionsgemäß minimal, läßt sich aber über den aa-Fall als minimal erweisen)
Wenn man z. B. beim hypothetischen aa- Fall: pk = tk = k einsetzt kommt Schwachsinn:
k k heraus. Der Kopf ist widersprüchlich, auf jeden Fall potentiell. Beim ao-Fall sollte doch p existieren. Oder nicht? Der oo-Fall drückt eine gewisse Unabhängigkeit von Hypothese und Konsequenz aus. Herr Peirce könnte damit etwas anfangen.--Roomsixhu 04:42, 21. Jul 2006 (CEST)
Fragmente meiner Mitarbeit
Einsetzungsregel
Für Variablen gibt es eine sogenannte Einsetzungsregel. Für eine Variable darf überall wo sie vorkommt, ein und dieselbe andere eingesetzt werden. Was dann Variablen sind ist in jedem Formalismus anders, in der Logik sind sie sehr weit gefasst. Man kann sich denken, wenn ein und dieselbe Variable nicht sie selbst ist, daß dabei Unsinn herauskommt. Dazu das folgende Beispiel.
Einsetzungsregel: Für eine Variable darf überall, wo sie vorkommt ein und dieselbe andere eingesetzt werden.
Stellen wir uns vor, unsere Variable sei eine Zahl:
| 1. | y:= 2 + 3 | also y = 5 | Kein Problem |
| 2. | y:= 2 - y | also y = 1 | Kein Problem |
| 3. | y:= 2 + y | also 0 = 2 | Ein Problem? Ist die Variable überall dieselbe? |
| Ist sie überhaupt eine Zahl? Wenn 0 2, ist sie auch von sich verschieden. | |||
Punkt 3. ist in höheren Logikerkreisen üblich.
Variablenbedingugen bei Gentzen:
- Untersuchungen über das logische Schließen S 179, 2.13. Ich glaube er schreibt hier an "einigen Stellen" weil das für a eingsetzte x eben variabel ist, nicht konstant und er Zirkularität wie hier oben vermieden wissen möchte.
- S 186 die Variablenbedingung explizit.
- S 192 oben zu den untenstehenden Schlußschemata
Abtrennungsregel: Aus zwei Formeln p und aus p folgt q gewinnt man als neue Formel q.
Das war der modus barbara.
Aus zwei Formeln nicht- q und aus p folgt q, gewinnt man als neue Formel nicht- p.
Das war der modus tollens.
Aus dem modus tollens gewinnt man mit zwei Prämissen p und r, die Formel nicht (p und r) (p und r geklammert). "Multiplizieren" wir aus, heißt das nicht- p oder nicht- r. Was beudeutet das, wenn wir herausbekommen wollen, ob ein Fehler bei p oder r liegt?
Der versprochene Merkvers auf deutsch
I. Barbara, Celarent die ersten, Darii, Ferio schließen.
II. Cesare, Camestres, Festino, Baroco die zweiten.
III. Die dritten lesen wir feierlich klingend vor: Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison.
IV. Die vierten sind Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison.
Zu Bach
Genialer Herr Gottschall, wie versprochen die
Analyse zu Bachs Krebskanon aus Hofstätter S.220. Das Sück ist sehr interessant, ich glaube Hofstätter hat da ein treffendes Beispiel seiner Methoden gefunden. Das Stück ist wirklich symmetrisch in den Tönen. Im Rhythmus nicht ganz: Aus "zickzack" wird "zackzick".
Das Stück steht in c-moll.
Bach hat erstens vier Elemente, Tonika (T), Subdominante(S) und Dominante(D) mit der halbsymmetrischen Erweiterung D7, sowie symmetrische Akkorde, sogenannte verminderte (v).
Eine Folge S T D nennt man plagal ebenso die Teilfolgen S T und T D, eine Folge D T S dominantisch, ebenso die Teilfolgen D T und T S und eine nicht kommutative Folge T S D T Vollkadenz. Also zwei dominantische Teilfolgen . Das Verhältnis S D ist unbestimmt, und ist der Raum des Komponisten. Also T D S T ist "verboten".
Und er hat zweitens drei Tonleitern natürlich Moll (nM), harmonisch Moll (HM), und melodisch Moll (MM), letzteres in einer etwas symmetrisierten Form, melodisch Moll aufwärts.
Das Stück hat einiges von Mozarts Unbestimmtheit und könnte glatt als Zwölftonmusik durchgehen.
Bach baut das Stück in melodisch Moll (aufwärts) aus der Mitte heraus auf:
D T D
T D T D T
Die dominantische Wendung dort stammt aus der Dur Harmonik und ist dort eine von vorneherein symmetrische Figur, Tritonus, vier Ganztöne und zu d symmetrisch. Es kommt im ganzen Mittelteil die Subdominte nicht vor! Lediglich die sogenannte Subdominatenparallele Sp als Sextakkord.
Jetzt kommt der interssante Teil, weil ein Ton eingeführt wird, um dessen Beutung es geht: das "b". Es ersetzt das "h"
Einzig im Stück (oder besser doppelt) wird hier natürlich Moll, und zwar eher statisch, verwendet. Ich behaupte Bach definiert hier nicht falsch zirkulär, weil bei ihm in diesem Stück melodisch Moll eine Konstane ist. Das "b" ist harmonisch konstant und zirkulär definiert.
Ich würde hier sagen erstarrtes Moll.
Das b kommt noch an einer einzigen anderen Stelle vor, dort aber im rein symmetrischen Zusammenhang. Also nach Gentzen wird an "einigen" Stellen (4) das "h" durch das "b" ersetzt. Gentzen hat auch nie "möglicherweise an allen Stellen" gesagt. Ich glaube sogar er hat irgendwann nicht zirkzulär geschrieben.
Jenseits davon und auch einmal ganz kurz dazwischen, befinden wir uns in harmonisch Moll. Das "b" kommt nicht vor und die Dominate ist symmetrisch.
Eine Struktur T D D T, kann in der Mitte durchgeschnitten werden und zu D T T D wieder zusammengetzt werden. Dieses Verhältnis nennt man plagal und ist eine subdominstische Kadenz, im Gegensatz zur Umkehrung einer dominatischen Kadenz, heutzutage bekannt aus einfachen Volksliedern, z.B. Hänschen klein:
Hänschen klein (T)
ging allein (D)
in die weite Welt hinein (T)
Stock und Hut (D)
stehn im gut (T)
Und er ist sehr (T) wohlge- (D) mut (T)
Warum schon wieder so ein Kinderkram? Erstens sind Volkslieder musikhistorisch interessant, zweitens: Hänschen klein kann man auch von hinten nach vorne spielen. Hab ich ausprobiert, es geht. Es hat nämlich die symmetrische Harmonieform: T D T. Man kann damit alle Volkslieder dieser Form T D T in Betracht ziehen, es gibt ihrer Unmengen. Womit ich wohl auch eine geniale Komposition beigetragen hätte. Es ist zwar kein Kanon, aber immerhin. Damit nähere ich mich meinen Idelen Bach und Hofstätter. Der letzte Satz war ein Scherz.
Man sieht, Gruppen wie T D T D T, kann man plagal klammern T (D T D) T.
verdreht man das ganze wird es ganz plagal: D T D T D. Das macht Bach auch. In der ersten Zeile weiß man nicht viel über das Verhältnis T D , es könnte auch S T sein. womit aber die Tonart gewechselt wäre. Bach erweitert dieses Spiel durch tonal nicht festgelegte chromatische Stimmführung, baut bei der "b" Einfürung harmonischen Druck auf, den er an der symmetrisch umgekehrten Stelle wieder abbaut. Ansonsten wechselt er einmal von Dur zu Moll, und zwar willkürlich (wie es jeder gute Komponist macht) und zurück dann von Moll zu Dur.
Mein persönlicher Geschmack ist, die "b" Einführung ist abstrakt und nicht stark genug (weil an rhythmisch unbetonter Stelle) um die Zweideutigkeit des Stückes aufzuheben. Die "b" Beseitigung klingt wesentlich besser.
Ich lege mich fest: Bach hat wirklich zirkulär das "b" definiert, aber weil er es in keinen Bezug zu vorher und nachher bringt, erlangt melodisch Moll keine Selbständigkeit und ist konstant. Ein Bezug zu D oder S ist für T aber entscheidend für ein tonales Verhältnis. Da ich am Anfang des Stückes D als tonales Zentrum höre und dieses symmetrisch ist , behaupte ich die Tonika ist D7 (der Dominantseptakkord über dem Grundton g) und symmetrisch von sich aus, c-moll ist die Subdominate.
Die Stuktur der Mollanteile:
(HM) (nM) (HM) (MM) (HM) (nM) (HM). In dem äußeren HM halte ich D für die klangliche Tonika T, c-Moll für die Subdominante S.
Bach nutzt die Möglichkeit uns im Ungewissen zu lassen bezüglich c-moll:
Steht es zu G7 (das ist die Dominate D) im Verhältnis T D oder S T?
Also kann c- moll S oder T sein, die Dominate D oder T. Im eindeutigen Mittelteil wird kein Bezug zu S aufgebaut, weil die Wendung an sich symmetrisch ist und überzeugt. Ist jedoch die Dominante T und symmetrisch, erklärt das die Symmetrie des Stückes.
Musik ist in einigen Teilen logisch. An der entscheidenen Stelle erhält man bei Bach eine plagalen Klang den man nur im Barock hört, nicht mehr später bei Mozart oder Beethoven.--Roomsixhu 05:13, 16. Jul 2006 (CEST)
Die Engel
Die Engel in einer Begriffslogik:
Alle Engel haben Menschengestalt
Alle Engel haben Flügel
also haben
Einige Wesen mit Flügeln Menschengestalt.
e mg, e fl fl .
Das Ergebnis schreibt sich dann symmetrisch so: fl mg 0 . Es gibt Wesen mit Flügeln und Menschengestalt.
Die zweite Prämisse in einer Formulierung, des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten.
e fl, e e 0.
Aus dieser Ableitung bilden wir eine Formel mit der Deduktionsregel:
(e fl) (e (e 0).
Inkonsistente Triade (zweimalige Transportationsregel von Peirce.)
(e fl) (e 0) (e ).
Das Innere der Klammern (Ausdrücke) läßt man jetzt in Ruhe, also nicht e =
fl mg x y z einsetzen.
(e ) ist eine Schreibweise für:
(e 0) ist eine Schreibweise für:
. Etc.
Mit der Formel und den Annahmen trennen wir ab:(e fl), (e 0) , <-- da habt ihr eure Existenzvoraussetzung, gilt:
(e fl) , (e 0) ( e )
Kontraponiert ist das die Prämisse für darii:
( e ) = ( fl )
Nicht mit dem Gleichheitszeichen in die Klammern gehen!
Man beachte die Symmetrie.
Damit geht man oben wieder hinein.
e mg , fl fl .
Das war der Schluß nach Darapti.
Deduktionsregel:
(e mg) (fl ) (fl ) .
Schon wieder die Klammern.
Inkonsistente Triade (zweimalige Transportationsregel von Peirce.)
(e mg) (fl ) (fl )
Abtrennungsregel mit den Prämissen: e mg und fl .
e mg , fl fl .
Das war jetzt der Schluß nach Baroco mit der zur Prämisse des Schlusses nach Darapti widersprüchlichen Konlusion. Sie widerspricht einer Prämisse des Schlusses nach Darapti. Man beachte hier gibt es nur unnegierte Beziehungen im Gegensatz zu Darapti. Deswegen ist die Darstellung von Darapti so in einer Mengelehre nicht vorgesehen.
Zweimal Kontraposition:
(fl ) = (mg )
(fl ) = (e )
Nicht das Gleichheitszeichen in die Klammern hineinziehen! Das ganze Geklammerte ist der Ausdruck.
Dürfte nach einem Gesetz der Mengenlehre jeder die Gültigkeit des Schlusses anhand einer weiteren umgeformten Darstellung überprüfen können.
e mg, mg e .
Alle Engel haben Menschengestalt
Alle Wesen mit Menschengestalt haben keine Flügel .
Deshalb:
Alle Engel haben keine Flügel
Die Konklusion dieses Schlusses gilt natürlich nicht mit unserer oben gemachten Annahme zusammen, denn die beiden widersprechen sich, gerade auch mit existierenden Engeln, aber auch ohne, wegen des Satzes vom Widerspruch. In der Prädikatenlogik ist das nicht so! Und er wird auch nur gezeigt, weil er die andere Richtung eines partikulären Schlusses zeigt. Der oben formalisierte Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird dabei anders angewendet:
e 0, e e fl. Oder e 0. Es existieren Engel ohne Flügel.
In unserer Welt, in der wir fordern müssen, Wesen mit Menschengestalt sollen keine Flügel haben, haben Engel keine Flügel. Aber immerhin, ist die Existenzforderung für Engel aufrecht zu erhalten, auch in unserer Welt, das gibt keinen Widerspuch. Wir haben also nicht gezeigt, daß es keine Engel gibt. Es ist also ersichtlich, daß Engel existieren können, ohne Probleme: Wenn Du einem begegnest, hat er aber keine Flügel. Such ihn!
Q. e. d.
--Roomsixhu 03:36, 24. Jul 2006 (CEST)
Zur Syllogistik
Es gibt da diese Sätze von der Identität:
"A ist A."
"A ist nicht Nicht-A."
"Was nicht A ist, ist nicht A."
Das zweite ist Komplementarität. Das erste ist Identität des Positivum mit sich selbst. Das letzte ist Identität des Negativum mit sich selbst.
Dann beginnen wir mit einem universellen (assertorischen) Syllogismus. Interessant ist, daß in der dritten Figur der Modus mit "C" am Anfang fehlt, aber der Satz vom Widerspruch so eine Form haben kann. Sollen wir über die Symmetrie des e-Urteils Celarent benutzen? Dann betrachten wir das symmetrische e-Urteil und die drei, oder fast vier, verschiedenen daraus ableitbaren partikluären Urteile:
Aristoteles sagt, daß die partikulären Urteile über das konträre Verhältnis und das kontradiktorische entstehen. Da wir schon fleißig Subjekte und Prädikate negieren können, jedoch nur universell bleiben, bleibt
uns nur noch übrig das Urteil selbst zu negieren, also das kontradiktorische Verhältnis zu negieren:
"Wenn A keinem B zukommt, wird B auch keinem A zukommen, denn wenn es einem zukommen würde, z. B. C, wäre es nicht wahr, daß A keinem B zukommt; denn C ist eines der B. -- Wenn A jedem B zukommt, wird auch B einem A zukommen. Denn falls keinem, dann wird auch A keinem B zukommen. Es wurde aber angenommen, daß es jedem zukomme. -- Wenn A einem B zukommt, muß auch B einem A zukommen. Denn wenn keinem, auch A keinem B."
Man ist hier im Bereich der "impliziten Definitionen". Innerhalb der Logik ist das nicht gut zu definieren.
Wenn wir in einer symmetrischen universellen Prämisse nicht wissen, was Subjekt und was Prädikat ist, dürfen wir uns nicht wundern, wenn wir in einer ebenso symmetrischen partikulären Konklusion auch nicht wissen, was Subjekt und was Prädikat ist, und ebensowenig wissen, wo eine Existenzforderung angebracht ist.
Dann fangen wir das Urteilsquadrat mit dem e-Urteil an und nutzen die Kontraposition, die keine syllogistische Schlußregel ist, obwohl die Symmetrie ersichtlich ist:
(A ) = (B )
Anders geschrieben:
A 0, (A B 0) A 0
Das gilt noch nicht mal in einer Begriffslogik, sondern schon in einem vollständigen booleschen Verband!
Ersteres ergibt nach dem fehlenden Modus der Dritten Figur oder dem Satz vom Widerspruch:
A B, (A ) A 0
Das ergibt zwei partikuläre Urteile mit Existenzforderung und Widerspruchsfreiheitsforderung für A:
A B, A 0 (A )
A 0, (A ) A B.
Das symmetrische e-Urteil ergibt fast dasselbe, aber nur fast:
B A, (B ) B 0
Das ergibt zwei partikuläre Urteile mit Existenzforderung und Widerspruchsfreiheitsforderung für B:
B A, B 0 (B )
B 0, (B ) B A.
Man sieht, daß bei den beiden je ersten die Konklsuion bis auf die unterschiedliche Existenzforderung identisch ist. Jedoch setzen sie unterschiedliche a-Urteile voraus. Für dies alles gibt es den Satz vom ausgeschlossenen Dritten.
Mein Wunsch:
Da der Satz vom Widerspruch hier in Prosaform schon vorhanden ist, wünsche ich mir auch eine Erwähnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. Man kann an der Formalisierung ersehen, daß mit einem e-Urteil allein, ohne zusätzliche Voraussetzungen, die Existenzforderungen und a-Urteile zweideutig sind. Mir stellt sich die Frage zu Luksiewicz und Patzig: Wird modallogisch angesetzt, weil die Negation einer A-Existenz keine B-Existenzforderung ergibt?
Man kann die Existenz dann auch gleich für beide fordern und "leibnizsch" subalternieren z.B. der erste Fall oben:
A B B, A B 0 A .
Für einen ai-Fall wie oben: B sollte nicht frei in B vorkommen, also kein "Lügner". Das sieht sehr trivial aus und läßt die Frage nach Subjekt und Prädikat weiter offen.
Für einen minimalen ai-Rückschluß:
A B B, X 0 A .
sollte für X gelten
(A B B) + (A ) 0.
Da das A B B links nichts anderes als 0 bedeutet, steht da nur, daß A nur zusammen mit B auftritt, oder B in einem gewissen Sinn von A unabhänigig ist, wie man es aus der Aussagenlogik gewohnt ist.
Das heißt auch prädikatenlogisch: Prämisse oder Konklusion muß gelten!
Faßt man ihn als ii-Fall auf ist er ein weinig trivial, weil die minimale Lösng die Konklusion wäre.
--Roomsixhu 16:55, 2. Aug 2006 (CEST)