Die Erstpreisauktion (auch Erstpreisausschreibung, engl. first price sealed bid auction) ist eine Auktion aus der Auktionstheorie, bei der die Bieter einmalig und verdeckt ihre Gebote abgeben. Der Bieter mit dem höchsten Gebot gewinnt die Auktion und muss sein eigenes, das höchste Gebot bezahlen.

Im Gegensatz zur Erstpreisauktion steht die Zweitpreisauktion, bei der die Bieter zwar auch ihre Gebote einmalig und verdeckt abgeben und der Bieter mit dem höchsten Gebot die Auktion gewinnt, jedoch muss er nur das zweithöchste Gebot bezahlen.

Ist das zu versteigernde Objekt von rein privatem Wert und die Bieter risikoneutral, so ist die Erstpreisauktion strategisch äquivalent zur Holländischen Auktion, während die Zweitpreisauktion zur Englischen Auktion strategisch äquivalent ist.[1]

Auktionsgeschichte

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Erste Auktionen tauchen erstmals in griechischen Dokumenten 500 v. Chr. auf. Zu dieser Zeit wurden Frauen in einer Art Holländischen Auktion versteigert. Während sehr hübsche Frauen relativ hohe Gebote bekamen, so musste der Verkäufer bei weniger attraktiven Frauen eine Mitgift oder andere Geldangebote dazu geben, um die Auktion erfolgreich abzuschließen. Tatsächlich war es aber verboten, Frauen außerhalb einer Auktion zu verkaufen.[2]

Zur Zeit Jesus Christus waren Auktionen im Römischen Kaiserreich beliebt, um Teile des Familienanwesens oder auch Kriegsbeute zu verkaufen. So versteigerte beispielsweise der römische Kaiser Mark Aurel Möbel, um seine Schulden zu begleichen.[2]

Auktionen in den Vereinigten Staaten von Amerika lassen sich bis zum Anfang des 17. Jahrhunderts zurückverfolgen, als die ersten Pilgerväter dorthin übersiedelten. Über Auktionen wurden Pflanzen, Importe, Dachschindeln, Tiere, Werkzeuge, Tabak, Sklaven und sogar ganze Farmen verkauft. Der Verkauf über Auktionen war der schnellste und effizienteste Weg aus Besitztümern Geld zu machen.[2]

Zur Zeit des Bürgerkrieges in den USA entstand der auch heute noch teilweise gebrauchte Name "Colonel" für einen Auktionator: Zu dieser Zeit verkauften üblicherweise die Colonels des Militärs Kriegsbeute.[2]

In Europa tauchen erstmals Aufzeichnungen über Auktionen im "Oxford English Dictionary" im Jahre 1595 auf. Im späten 17. Jahrhundert schrieb die London Gazette über Versteigerungen von Kunst in Kaffeehäusern und Wirtshäusern. Die berühmten Auktionshäuser Sotheby’s und Christie’s wurden 1744 bzw. 1766 gegründet.[3]

Erste Auktionen in den Niederlanden finden sich im Jahre 1887 um Früchte und Gemüse zu verkaufen. Zur gleichen Zeit verkauften Fischer in Deutschland ihren Fang über Auktionen.[3]

Auf Fischmärkten in Japan wurde früher über die Erstpreisauktion getrockneter Fisch versteigert. Das Verfahren war wie folgt: Die Bieter gaben ihre Gebote in einer Box auf einem Zettel ab. Nach einer vorher festgelegten Zeit öffnete der Auktionator die Box und verkündete den Gewinner.[4]

Heute verwenden viele Zentralbanken wie die deutsche Bundesbank, die Europäische Zentralbank oder auch das Finanzministerium der Vereinigten Staaten von Amerika die Erstpreisauktion, um Staatsanleihen zu vergeben. Hierbei wird meist das sogenannte Multi-Preis-Auktionsverfahren (engl. discriminatory auction) verwendet, bei dem es mehrere Zuschläge zu unterschiedlichen Zinssätzen geben kann.[5][6]

Zudem wird meist bei Vergabe von Bauaufträgen auch die Erstpreisauktion als Vergabeverfahren verwendet. Jedoch ist hier die Rolle von Käufer und Verkäufer vertauscht. Deshalb gewinnt der Bieter mit dem niedrigsten Gebot.[4]

Eine Variante der Erstpreisauktion ist die sogenannte "Schweizer Auktion": Diese Auktionsform wird auch bei der Vergabe von Bauaufträgen verwendet, jedoch mit dem Unterschied, dass der Gewinner der Auktion auch das ersteigerte Objekt ablehnen kann. Der Name kommt daher, dass die Schweizer Bauindustrie teilweise dieses Vergabeverfahren für Bauaufträge verwendet. Architekten bevorzugen diese Art von Auktion, da es bei Bauaufträgen immer wieder zu Änderungen des eigentlichen Auftrags kommt und es keinen Grund gibt, mit jemandem zu arbeiten, der die Arbeit nicht machen will.[4]

Optimale Bietstrategie für beliebig stetig verteilte Bewertungen

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Die optimale Bietstrategie eines Bieters für beliebig stetig verteilte Bewertungen lautet, die erwartete höchste Bewertung aller anderen Bieter abzugeben, gegeben diese erwartete höchste Bewertung ist kleiner als die eigene Bewertung des Bieters.

Annahmen

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  • Es gibt   Bieter für ein einzelnes Objekt. Jeder Bieter   bewertet das zu versteigernde Objekt mit  , also dem maximalen Betrag, den der Bieter bereit ist, für das Objekt zu bezahlen.
  • Jede Bewertung   ist identisch und unabhängig auf  , wobei  , verteilt mit entsprechender Verteilungsfunktion   und der dazugehörigen Dichtefunktion  .
  •  .
  • Die Bieter sind risiko-neutral und das zu versteigernde Objekt ist von rein privatem Wert.
  • Die Verteilungsfunktion   und die Anzahl  , der Bieter sind Common Knowledge, also jedem Bieter bekannt.
  • Die Strategie eines Bieters   ist eine Funktion  , die zu jeder Bewertung das eigene Gebot bestimmt.
  • Das Gleichgewicht ist ein symmetrisches Gleichgewicht, also jeder Bieter verfolgt die selbe Strategie:  .
  • Die Auszahlung des Bieters   mit Bewertung   des zu versteigernden Objektes und Gebot   ist
 

Herleitung der optimalen Bietstrategie

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Sei   das Gebot des Spielers  . Es ist niemals optimal, ein Gebot   zu wählen, da in diesem Fall der Bieter das Objekt auf jeden Fall bekommt, er aber durch Reduzierung seines Gebotes sich besser stellen kann, da er dann das Objekt trotzdem bekommt, aber weniger bezahlen muss. Daraus folgt, dass man nur den Fall   betrachten muss. Zudem würde ein Bieter mit Bewertung   niemals ein postives Gebot abgeben, da er dann ein Verlust machen würde, wenn er die Auktion gewinnen würde. Also gilt  .[7]

Bieter   bekommt das Objekt, wenn er das höchste Gebot abgibt, also  . Da   monoton wachsend ist, gilt:

 

mit   als höchste Bewertung der   übrigen Spieler.

Bieter   erhält den Zuschlag für das Objekt immer dann, wenn  .

Seine erwartete Auszahlung ist nun

 

mit   Verteilungsfunktion von  .

Maximierung der erwarteten Auszahlung über   führt zu

 

mit   Dichtefunktion von  .

Da das Gleichgewicht symmetrisch ist ( ), folgt nun folgende Differentialgleichung:

  oder
 

Mit der Anfangswertbedingung   erhält man nun die optimale Bietstrategie:

 

Oder mit Hilfe von partieller Integration:

 

Somit lautet die optimale Bietstrategie eines Bieters, die erwartete höchste Bewertung aller anderen Bieter abzugeben, gegeben diese höchste Bewertung ist niedriger als seine eigene Bewertung.

Erwarteter Erlös des Verkäufers

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Der erwartete Erlös des Verkäufers ist die erwartete zweithöchste Bewertung aller Bieter.

Die erwartete Zahlung des Käufers mit dem höchsten Gebot ist

 

Die ex ante erwartete Zahlung des Käufers ist

 

Der erwartete Erlös des Verkäufers ist nun

 

Mit Hilfe der Ordnungsstatistiken ergibt sich nun für den erwartete Erlös des Verkäufers:

 

mit   als zweithöchste Bewertung aller   Bieter. Der erwartete Erlös des Verkäufers ist gerade die erwartete zweithöchste Bewertung aller   Bieter.[8]

Erlösäquivalenz zur Zweitpreisauktion

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Das Erlösäquivalenztheorem besagt, dass bei Güter mit rein privatem Wert und risikoneutralen Bietern der erwartete Erlös des Verkäufers in Erst-und Zweitpreisauktion der gleiche ist.[1]

Beispiel: Optimale Bietstrategie für gleichverteilte Bewertungen des zu versteigernden Objektes

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Wenn die Bewertungen auf   gleichverteilt sind, dann gilt für die zugehörige Dichtefunktion:

 

Daraus folgt für Verteilungsfunktion:

 

Für die Verteilung   der höchsten Ordnungsstatistik der   übrigen Bieter gilt nun:

 

und damit ergibt sich folgende optimale Bietstrategie:

 

Insbesondere gilt:

 
 

Das Gebot ist streng monoton steigend in der Bieteranzahl und bei einer großen Bieteranzahl geht das Gebot gegen die eigene Bewertung   des Objektes und somit die Auszahlung gegen  .[9]

Erweiterungen

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Risiko-averse Bieter

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Bei risiko-aversen Bietern kommt es zu höheren Gleichgewichtsgeboten als bei risiko-neutralen Bietern.

Jeder Bieter hat nun als Auszahlungsfunktion eine von-Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion   mit  ,   und  . Anstatt wie im Falle der Risikoneutralität die erwartete Auszahlung zu maximieren, wird nun der erwartete Nutzen maximiert. Die Gleichgewichtsstrategien sind durch eine wachsende und differenzierbare Funktion   mit   gegeben. Das Optimierungsproblem eines Bieters   mit Bewertung   ist demnach durch

 

gegeben. Die Bedingung erster Ordnung lautet nun

 

Im symmetrischen Gleichgewicht gilt   für alle Bieter   und somit:

 

Sind die Bieter risikoneutral, gilt   und somit

 

Hierbei bzeichnet   die Gleichgewichtsstrategie für risikoneutrale Bieter. Da   streng konkav ist und  , gilt   und somit

 

Falls   gilt auch  . Da laut Annahme  , folgt nun  :

 

So kommt es bei risiko-aversen Bietern zu höheren Gleichgewichtsgeboten als bei risiko-neutralen Bietern. Der risiko-averse Bieter will sich durch ein höheres Gebot gegen die Wahrscheinlichkeit des Verlierens der Auktion versichern.[10]

Beispiel: Bieter mit konstanter relativer Risikoaversion und gleichverteilten Bewertungen

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Die Auszahlung des Bieters   mit Bewertung   des zu versteigernden Objektes und Gebot   ist nun

 

mit  .

Weiterhin gilt   und   und somit auch

 

Maximierung der erwarteten Auszahlung führt zur optimalen Bietstrategie

 

Vergleicht man die beiden Fälle der Risikoneutralität und Risikoaversion bei gleichverteilten Bewertungen, so gilt für  :  .

Verkäufer mit Reservationspreis

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Hat der Verkäufer einen Reservationspreis, also einen Preis, unter diesem er nicht bereit ist, das zu versteigernde Objekt zu verkaufen, so lautet die optimale Bietstrategie eines Bieters, das erwartete Maximum aus Reservationspreis und höchste Bewertung aller anderen Bieter zu bieten, gegeben diese höchste Bewertung ist kleiner als die eigene Bewertung des Bieters.

Hat der Verkäufer einen Reservationspreis  , so ist der erzielte Preis mindestens  , da kein Bieter   mit Bewertung   einen positiven Gewinn erzielen kann.[11] Zudem gilt im symmetrischen Gleichgewicht für die Bietstrategie  , da ein Bieter mit Bewertung   die Auktion nur gewinnt, wenn alle anderen Bieter geringere Gebote als   abgegeben haben und er dann auch mit einem Gebot in Höhe von   die Auktion gewinnt.[11] Für die optimale Bietstrategie im Fall   gilt:

 

Asymmetrische Bieter

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Bei 2 asymmetrischen Bieter, deren Bewertungen nicht gleich verteilt sind, bietet der Bieter im Gleichgewicht höher, dessen Bewertungen stochastisch niedriger verteilt sind.

Es existieren 2 Bieter mit Bewertungen   und  , die unabhängig auf   bzw.   mit Verteilungsfunktionen   bzw.   verteilt sind. Die Strategien im Gleichgewicht seien   und  . Diese Strategien sind monoton wachsend, differenzierbar und haben als Umkehrfunktion   und  . Es gilt wie im symmetrischen Fall   und ausserdem  , da, wenn beispielsweise   gelten würde, Bieter 1 die Auktion mit Wahrscheinlichkeit 1 gewinnt, falls seine Bewertung   ist, jedoch gewinnt er trotzdem, wenn er sein Gebot um einen infinitesimal kleinen Betrag   reduzieren würde.[12]

Gegeben Spieler   spielt seine Strategie  , die erwartete Auszahlung von Spieler   mit Bewertung   und Gebot   ist

 

Ableiten nach   führt zu

 

Im Gleichgewicht gilt   und mit  , folgt:

 

Zu diesem System von Differentialgleichungen kann man nur für einige Spezialfälle eine explizite Lösung angeben. Gilt aber zum Beispiel, dass die Bewertungen von Bieter 1 stochastisch höher sind als die von Bieter 2, d.h. für   und   gilt

 

so folgt

 

Der "schwache" Bieter 2 bietet aufgrund seiner stochastisch niedrigeren Bewertungen aggressiver gegenüber dem "starken" Bieter 1.[13]

Abhängige Bewertungen bzw. Versteigerung von Objekten mit allgemeinem Wert

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Bei Versteigerung von Objekten mit allgemeinem Wert unterliegt der Höchstbietende dem Fluch des Gewinners: Er bietet systematisch höher als er müsste um die Auktion zu gewinnen.

Es existieren   Bieter mit Bewertung  . Der wahre Wert des zu versteigernden Objekts sei   mit   gleichverteilt auf  . Jeder Bieter   hat eine Schätzung für den wahren Wert  . Der Wert   ist die Genauigkeit der Schätzung des Bieters   des wahren Wertes  , wobei die   unabhängig von   auf   gleichverteilt mit Dichtefunktion   sind.[14] Die Schätzungen der Bieter sind erwartungstreu, denn es gilt:

 [14]

Somit liegen alle Schätzungen der Bieter im Intervall   bzw. weiß Bieter  , dass der wahre Wert im Intervall   liegt. [14]

Maximierung der erwarteten Auszahlung führt zur optimalen Bietstrategie[15]:

 

Insbesondere gilt:

 
 .

Das optimale Gebot ist der kleinste Wert des Objekts   auf Grund der Schätzung   plus ein Zuschlag, der umso geringer ausfällt, umso mehr Bieter sich an der Auktion beteiligen.[16]

Der Gewinner der Auktion unterliegt dem Fluch des Gewinners: Würde der Bieter nur auf Grund seiner eigenen Schätzung des wahren Wertes,  , bieten, so ist das optimale Gebot das gleiche wie im Fall von Objekten mit rein privater Bewertung. Jedoch vernachlässigt diese Schätzung die Information, dass der Gewinner der Auktion die höchste Schätzung hatte und somit ist das abgegebene Gebot höher als das optimale Gebot.[16]

Vergleich Theorie und Empirie

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Obwohl die Holländische Auktion und die Erstpreisauktion bei Auktionen von Objekten mit rein privaten Bewertungen und risiko-neutralen Bietern strategisch äquivalent sind, ergeben sich bei Experimenten einige Unterschiede. So sind die erzielten Preise bei einer Erspreisauktion signifikant höher als bei einer Holländische Auktion.[17] Eine mögliche Erklärung hierfür ist, dass bei einer Holländischen Auktion der Preis in 50 Cent Schritten nach unten geht, während bei einer Erstpreisauktion Gebote nicht in 50 Cent Schritten abgegeben werden müssen.[18]

Erhöht sich die Bieteranzahl, so hat sich bei Experimenten gezeigt, dass dann auch die Höhe der abgegebenen Gebote steigen.[19]

Vergleicht man die Englische Auktion, Holländische Auktion, Erst- und Zweitpreisauktion bezüglich ihrer Effizienz im Sinne von Pareto-Optimalität, so ist die Englische Auktion am effizientesten, gefolgt von der Zweitpreisauktion, Erstpreisauktion und zum Schluß die Holländische Auktion.[20] [21]

Aus Sicht des Auktionators bzw. Verkäufers ist die Erstpreisauktion am wünschenswertesten, da sie von allen vier Auktionsarten die höchsten Preise erzielt.[20]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. a b Eichberger, Jürgen: Grundzüge der Mikroökonomik. 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S.300
  2. a b c d https://mikebrandlyauctioneer.wordpress.com/auction-publications/history-of-auctions/
  3. a b http://www.econport.org/econport/request?page=man_auctions_briefhistory
  4. a b c http://www.econport.org/econport/request?page=man_auctions_firstpricesealed
  5. http://www.newyorkfed.org/research/current_issues/ci3-9.pdf S.1-2
  6. http://www.deutsche-finanzagentur.de/de/institutionelle-investoren/primaermarkt/tenderverfahren/
  7. Krishna, Vijay: Auction Theory. 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.14
  8. Krishna, Vijay: Auction Theory. 1. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.18-19
  9. Eichberger, Jürgen: Grundzüge der Mikroökonomik. 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S.299
  10. Krishna, Vijay: Auction Theory. 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.40
  11. a b Krishna, Vijay: Auction Theory. 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.21
  12. Krishna, Vijay: Auction Theory. 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.46
  13. Krishna, Vijay: Auction Theory. 2. Auflage, Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a., 2010: S.47
  14. a b c Eichberger, Jürgen: Grundzüge der Mikroökonomik. 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S.302
  15. für eine ausführliche Herleitung, siehe Eichberger, Jürgen: Grundzüge der Mikroökonomik. 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S.305-311
  16. a b Eichberger, Jürgen: Grundzüge der Mikroökonomik. 2. Auflage, Mohr Siebeck, Tübingen, 2004: S.307-308
  17. Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.Theory and behavior of single object auctions. Research in experimental economics 2.1 (1982): S.26-27
  18. Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS. Economic Inquiry 18.1 (1980): S.16-17
  19. Kagel, John H., and Dan Levin. Independent private value auctions: Bidder behaviour in first-, second-and third-price auctions with varying numbers of bidders. The Economic Journal (1993): S.874
  20. a b Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS. Economic Inquiry 18.1 (1980): S.22
  21. Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.Theory and behavior of single object auctions. Research in experimental economics 2.1 (1982): S.28

Literatur

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  • Vijay Krishna: Auction Theory. 2. Auflage. Academic Press, Amsterdam, Heidelberg u.a. 2010, ISBN 978-0-12-374507-1.
  • Paul Milgrom: Putting Auction Theory to Work. 1. Auflage. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-53672-3.
  • Jürgen Eichberger: Grundzüge der Mikroökonomik. 1. Auflage. Mohr Siebeck, Tübingen 2004, ISBN 978-3-16-148167-3.
  • Paul Klemperer: Auctions: theory and practice. 1. Auflage. Princeton Univ. Press, Princeton u.a. 2004, ISBN 978-0-691-11426-2.
  • John H. Kagel, Alvin E. Roth: The handbook of experimental economics. 1. Auflage. Princeton Univ. Press, Princeton u.a. 1995, ISBN 978-0-691-05897-9.
  • Cox, James C., Bruce Roberson, and Vernon L. Smith.Theory and behavior of single object auctions. Research in experimental economics 2.1 (1982)
  • Coppinger, Vicki M., Vernon L. Smith, and Jon A. Titus. INCENTIVES AND BEHAVIOR IN ENGLISH, DUTCH AND SEALED‐BID AUCTIONS. Economic Inquiry 18.1 (1980)
  • Kagel, John H., and Dan Levin. Independent private value auctions: Bidder behaviour in first-, second-and third-price auctions with varying numbers of bidders. The Economic Journal (1993): S.868-879.
  • Kagel, John H., and Dan Levin. The winner's curse and public information in common value auctions. The American economic review (1986): S.894-920.
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Kategorie:Spieltheorie Kategorie:Auktion