Benutzer:Sigma^2/Mathematische Begriffe

Reihe (Mathematik)

Der Begriff Reihe wird nicht einheitlich verwendet und definiert.

Historische Verwendung

Der Artikel Reihe (Mathematik) enthält – leider bisher nur auf der zugehörigen Diskussionsseite – interessante Ausführungen und Quellen zum Wandel des Begriffs bis zur heutigen Verwendung. Ursprünglich wurde der Begriff 'Reihe' eher wie die umgangssprachlichen Begriffe 'Aneinanderreihung' oder 'Auflistung' verwendet. Als Reihe wurde teilweise auch das mathematische Objekt bezeichnet, das heute als Folge bezeichnet wird.

Heutige Verwendung

Der Begriff der Folge als Abbildung $x\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ ist klar. Die Werte $x(n)$ werden als $x_{n}$ notiert. Für $\{(i,x_{i})\mid n\in \mathbb {N} \}$ wird $(x_{1},x_{2},\dots )$ oder $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ geschrieben. Klar sind auch die Begriffe Partialsumme

$s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\quad {\text{für }}n\in \mathbb {N}$

und damit Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Der Begriff der Reihe ist weniger klar. Es gibt es drei Auffassungen.

Erste Auffassung

Die Summe mit abzählbar unendlich vielen Summanden (unendliche Summe)

$\sum _{n=1}^{\infty }x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ ...$

ist die aus der Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gebildete Reihe. Sie bezeichnet eine Anweisung zur sukzessiven Summenbildung $(\dots (((x_{1}+x_{2})+x_{3})+x_{4})+\dots )$ unabhängig davon, ob sich ein Wert als reelle Zahl oder erweiterte reelle Zahl zuweisen lässt oder nicht. Im Sinn der ersten Auffassung ist die aus der Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $x_{n}=1$ für $n$ ungerade und $x_{n}=-1$ für $n$ ungerade gebildete Summe

$\sum _{n=1}^{\infty }x_{i}=1+(-1)+1+(-1)+\dots$

eine Reihe, auch wenn der Wert der Partialsummen zwischen den beiden Werten 0 und 1 oszilliert, so dass der Summe kein Wert zugeordnet werden kann.

Zweite Auffassung

Die Folge der Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ heißt die zur Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gehörige Reihe. Es wird definiert

$\sum _{n=1}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }s_{n}$.

Dritte Auffassung

Die dritte Auffassung ist ein Mischung oder Vereinigung der ersten und zweiten Auffassung. $\sum _{n=1}^{\infty }x_{i}$ wird dabei sowohl als Symbol für die Reihe als unendliche Summe als auch als Symbol für deren Grenzwert verwendet.

Verwendung in der Wikipedia

• Im Artikel Reihe (Mathematik) wird eine Reihe als Folge von Partialsummen definiert.
• Im Artikel Umordnung von Reihen werden Reihen als unendliche Summen aufgefasst. Die erste Definition „Eine Reihe $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ in $X$ heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen $\textstyle \left(\sum _{n=1}^{N}x_{n}\right)_{N}$ konvergiert.“ ist bedeutungsarm, wenn eine Reihe die Folge der Partialsummen ist. Denn dann ist nur die Festlegung der Sprechweise: Eine Folge heißt konvergent, wenn sie konvergiert.
• Im Artikel Steinitzscher Umordnungssatz wird zwischen den beiden Auffassungen folgendermaßen laviert: „Man beachte, dass für die Reihe und ihren Grenzwert dieselbe Bezeichnung [nämlich $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$] verwendet wird.“

Filtration

Der Fachbegriff Filtration der Wahrscheinlichkeitstheorie für eine geschachtelte Folge von σ-Algebren wird in der Wikipedia unüblich – man könnte auch fälschlich sagen – als Filtrierung (Mathematik) eingeführt. Eine Problematisierung im Qualitätssicherungsbereich der Mathematik wurde nicht ernst genommen und relativ schnell archiviert Archiv-Diskussion zu Filtrierung versus Filtration. Dabei wurde die Quellendiskussion auf der Diskussionsseite in den Abschnitten Filtration anstelle von Filtrierung!, Verweis auf Filter (Mathematik) und Verwendung des Begriffs offenbar nicht zur Kenntnis genommen.

Unklarheiten waren in der Diskussion auch durch die Verwendung des Wortes Begriff entstanden, das einerseits als Bezeichnung und anderseits als Konzept oder Bedeutungsinhalt verstanden werden kann. Auch wenn man von einem Fachbegriff spricht, steht zwar die sprachlichen Benennung im Vordergrund, es kann aber auch der Bedeutungsinhalt gemeint sein. Zur inhaltlichen Bedeutung des Begriffs Filtration gibt es keinerlei Unklarheit, es geht lediglich um die sprachliche Benennung als Filtrierung.

Wahrscheinlich geht die Benennung Filtrierung auf eine Rückübersetzung aus dem Englischen oder Französischen, jeweils die Bezeichnung filtration etabliert ist, wobei nicht beachtet wurde, dass im Deutschen bereits der Fachbegriff Filtration etabliert war.

Verbandstheorie und Sigmalgebren

Für eine verbandsgeordnete Menge $(M,\preceq )$, wobei $\preceq$ eine reflexive und transitive Relation auf $M$ ist, ist die induzierte Konjunktion (verbandtheoretische Vereinigung, engl. join) durch $a\vee b:=\sup\{a,b\}\in M$ und die induzierte Diskunktion (verbandstheoretischer Durchschnitt, engl. meet) durch $a\wedge b:=\inf\{a,b\}\in M$ gegeben.

Beispiel 1

Für eine Grundmenge $\Omega$ bildet die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$, deren Elemente Teilmengen von $\Omega$ sind, zusammen mit der mengentheoretischen Inklusion $\subseteq$ eine vollständig verbandsgeordnete Menge $({\mathcal {P}}(\Omega ),\subseteq )$. Dabei gilt

$\emptyset \subseteq A\subseteq \Omega \quad {\text{für alle }}A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\;.$

Die induzierte Konjunktion und Disjunktion sind mit der mengentheoretischen Vereinigung und dem mengentheoretischen Durchschnitt identisch (es gilt also $\vee =\cup$ und $\wedge =\cap$).

Beispiel 2

Für eine Grundmenge $\Omega$ bildet die Menge $\mathbb {A} :={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\Omega ))$, deren Elemente Teilmengen von ${\mathcal {P}}(\Omega )$ sind, mit $\subseteq$ eine vollständig verbandsgeordnete Menge $(\mathbb {A} ,\subseteq )$. Dabei gilt

$\emptyset \subseteq {\mathcal {A}}\subseteq \Omega \quad {\text{für alle }}{\mathcal {A}}\in \mathbb {A} \;.$

Dabei sind die die induzierte Konjunktion und Disjuktion mit der mengentheoretischen Vereinigung und dem mengentheoretischen Durchschnitt identisch (es gilt also $\vee =\cup$ und $\wedge =\cap$).

Beispiel 3

Für eine Grundmenge $\Omega$ bildet die Menge $\mathbb {S} :=\{{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )\mid {\mathcal {F}}{\text{ ist }}\sigma {\text{-Algebra auf }}\Omega \}$, deren Elemente Sigmaalgebren auf $\Omega$ sind, mit $\subseteq$ eine vollständig verbandsgeordnete Menge $(\mathbb {S} ,\subseteq )$. Dabei gilt

$\{\emptyset ,\Omega \}\subseteq {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )\quad {\text{für alle }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {S}$.

Die Disjunktion $\wedge$ in $(\mathbb {S} ,\subseteq )$ ist mit dem mengentheoretischen Durchschnitt identisch,

${\mathcal {F}}\wedge {\mathcal {G}}=\inf\{{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\}={\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}},$

da ${\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\in \mathbb {S}$ für alle ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \mathbb {S}$. Da aber für ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \mathbb {S}$ die Vereinigung ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ im Allgemeinen nicht in $\mathbb {S}$ liegt, ist die Konjunktion in $(\mathbb {S} ,\subseteq )$ nicht mit der mengentheortischen Vereinigung identisch, sondern durch

${\mathcal {F}}\vee {\mathcal {G}}=\sup\{{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\}=\sigma ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})$

gegeben.

Je nachdem, ob man zwei Sigmaalgebren ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ auf $\Omega$ als Elemente in $(\mathbb {A} ,\subseteq )$ oder in $(\mathbb {S} ,\subseteq )$ auffasst, ist die Konjunktion ${\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}$ oder $\sigma ({\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}})$. Dies hängt damit zusammen, da sich die Supremumsbildung auf die jeweilige Grundmenge $\mathbb {A}$ bzw. $\mathbb {S}$ bezieht.

Für eine endliche Filtration $\mathbb {F} =({\mathcal {F_{i}}})_{i=1,\dots ,n}$ auf $\Omega$ mit

$\{0,\Omega \}\subseteq {\mathcal {F}}_{1}\subseteq \dots \subseteq {\mathcal {F}}_{n}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$

gilt

$\bigcup _{i=1}^{n}{\mathcal {F}}_{n}={\mathcal {F}}_{n}\;.$

Für eine unendliche Filtration $\mathbb {F} =({\mathcal {F_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ auf $\Omega$ mit

$\{0,\Omega \}\subseteq {\mathcal {F}}_{1}\subseteq \dots \subseteq {\mathcal {F}}_{n}\subseteq {\mathcal {F}}_{n+1}\dots \subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ muss $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}$ keine Sigmaalgebra auf $\Omega$ sein.

Beispiel: Sei $\Omega =\mathbb {R} ,{\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (\{1,\dots ,n\})$ für $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt ${\mathcal {F}}_{1}=\{\emptyset ,\{1\},\mathbb {R} \setminus \{1\},\mathbb {R} \}$, ${\mathcal {F}}_{2}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\},\mathbb {R} \setminus \{1\},\mathbb {R} \setminus \{2\},\mathbb {R} \setminus \{1,2\},\mathbb {R} \}$ usw. $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}$ enthält $\{n\}$ für alle $n\in \mathbb {N}$, aber nicht die Menge $\mathbb {N} =\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\}$, so dass $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}$ keine Sigmaalgebra ist.

Der $\sigma$-Operator ist eine Abbildung von $\mathbb {A}$ nach $\mathbb {S}$.

Existenz

Auf den Mathematikseiten wird häufiger die Formulierung "existiert" verwendet, ohne dass sich die Autoren der grundsätzlichen Unschärfe und Unbestimmtheit bewusst sind.

Der Begriff ‚Existenz‘ in mathematischen Artikeln

• Im Artikel zum Grenzwert einer Funktion werden die Begriffe ‚existiert‘ und ‚Existenz‘ häufig (16-mal) verwendet. Oberflächlich betrachtet sieht es so aus, als würde ‚existiert‘ konsistent im Sinn von ‚existiert als reelle‘ Zahl verwendet. Aber im Abschnitt ‚Grenzwertsätze‘ wird dann ‚existiert‘ im Sinn von ‚existiert als erweiterte reelle Zahl‘ verwendet. Die Tabelle ‚Beispiele‘ suggeriert ebenfalls eine Verwendung im zweiten Sinn.
• Im Abschnitt ‚Rechenregeln‘ des Artikels zum Grenzwert einer Folge bedeutet die Existenz eines Grenzwertes die Existenz als reelle Zahl.
• Der Abschnitt ‚Mathematik/Logik‘ im Artikel Existenz ist nicht hilfreich, da die Formulierungen zu vage sind: ‚explizit angegeben‘ ist nicht inhaltlich gefüllt. Es genügt auch nicht, ein Objekt definitorisch auf existierende Objekte zurückzuführen, da z. B. in einer Definition zwei Eigenschaften verlangt werden können, die jede für sich erfüllbar ist, aber zusammen eine Widerspruch erzeugen.
• Wenn es um Existenz als Zahl geht, sollte systematisch zwischen ‚Existenz‘ und ‚Existenz im weiteren Sinn‘ unterschieden werden. Die ‚Existenz im weiteren Sinn‘ könnte auch als ‚erweiterte Existenz‘ (in Anlehnung an die erweiterten reellen Zahlen) oder als ‚Quasiexistenz‘ (in Anlehnung an die Unterscheidung integrierbar versus quasiintegrierbar) bezeichnet werden.

Zur Existenz von Gleichungslösungen

• Die Gleichung $x=x+1$ hat keine Lösung in $\mathbb {R}$, aber die beiden Lösungen $-\infty$ und $+\infty$ in ${\bar {\mathbb {R} }}$. Die Gleichung $x^{2}+4=0$ hat keine Lösung in $\mathbb {R}$, aber die beiden Lösungen $2\mathrm {i}$ und $-2\mathrm {i}$ in $\mathbb {C}$. Die ‚Existenz einer Lösung‘ muss also immer relativ zum Bereich der zugelassenen Objekte gesehen werden.