Benutzer:Stephan2802/stetige Funktion

Verallgemeinerungen des Stetigkeitsbegriffs

Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion kann auf verschiedene Weise verallgmeinert werden. Die wichtigsten Varianten werden in diesem Kapitel vorgestellt. Dabei ist jede Variante eine Verallgemeinerung der jeweils davor beschriebenen. Die allgemeinste (und auch abstrakteste) behandelt Funktionen zwischen topologischen Räumen. Aus mathematischer Sicht ist dieser Zugang zum Stetigkeitsbegriff der natürlichste. Für Anwender der Mathematik mag es aber ausreichen, aus den folgenden Varianten diejenige auszuwählen, die für ihre Problemstellung genügend allgemein ist.
In allen Fällen wird zunächst die Stetigkeit in einem Punkt des Definitionsbereichs definiert. Dass eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist, als stetige Funktion bezeichnet wird, überträgt sich genauso wie die anderen für reelle Funktionen eingeführten Sprechweisen auf alle weiteren Varianten und wird nicht mehr gesondert erwähnt.

Auch können viele Ergebnisse für stetige reelle Funktionen auf die allgemeineren Situationen übertragen werden. Insbesondere lässt sich die Aussage über die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen direkt auf jeden der allgemeineren Stetigkeitsbegriffe übertragen. Sie wird daher im folgenden nicht mehr eigens aufgeführt.
Das selbe gilt für die Tatsache, dass konstante Funktionen immer stetig sind.

Eine Herausforderung bei der Verallgemeinerung stellen Aussagen dar, bei deren Formulierung die Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$, insbesondere also der Begriff des Intervalls, verwendet wurde. Eine solche Ordnungsstruktur ist nämlich in den anderen betrachteten Fällen nicht zwingend gegeben. Daher muss in den allgemeinen Fällen nach alternativen Formulierungen gesucht werden.

Die Begriffe "Funktion" und "Abbildung" sind in der Mathematik synonym. Mit zunehmendem Abstraktionsgrad wird der zweite Begriff gebräuchlicher. In diesem Artikel wird durchgehend die Bezeichnung "Funktion" verwendet. Ausgenommen sind spezielle Klassen von Abbildungen, bei denen es unüblich ist, den Funktionsbegriff zu verwenden, wie etwa die linearen Abbildungen.

Stetigkeit komplexer Funktionen

Sei $f$ eine komplexe Funktion, also eine Funktion $f\colon D_{f}\to \mathbb {C}$, deren Funktionswerte komplexe Zahlen sind und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset \mathbb {C}$ ebenfalls aus komplexen Zahlen besteht.
Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für reelle Funktionen ohne Änderung übernommen werden. Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für komplexe Funktionen oder Folgen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Analog zum reellen Fall folgt aus der komplexen Differenzierbarkeit die Stetigkeit. Somit sind alle rationalen Funktionen, alle Exponentialfunktionen und alle trigonometrischen Funktionen auch als komplexe Funktionen stetig.
Nicht so einfach übertragen kann man die Stetigkeit der Potenzfunktionen mit nicht ganzzahligen Exponenten und der Logarithmusfunktionen. Dies hängt damit zusammen, dass sich auch die Aussage über die Stetigkeit der Umkehrfunktion nicht direkt auf komplexe Funktionen übertragen lässt. Zum Beispiel ist die Funktion $x\mapsto e^{ix}$ eine stetige und injektive Funktion auf dem Intervall $D=[0,2\pi )$. Ihr Wertebereich ist die komplexe Einheitskreislinie $T=\{z\in \mathbb {C} ||z|=1\}$. Die Umkehrfunktion ist aber unstetig in 1. Tatsächlich kann eine stetige Funktion von $T$ nach $D$ weder injektiv noch surjektiv sein.

Die komplexe Betragsfunktion, die Konjugation, sowie die Funktionen, die einer komplexen Zahl ihren Real- bzw. ihren Imaginärteil zuordnen, sind stetige Funktionen. Alle diese Funktionen sind an keiner Stelle komplex differenzierbar. In der kompexen Analysis ist es also deutlich einfacher, Beispiele für nirgends differenzierbare stetige Funktionen zu finden, als im reellen Fall.
Allerdings sind diese Funktionen (mit Ausnahme der Betragsfunktion an der Stelle 0) alle reell-differenzierbar. Sie erfüllen jedoch nicht die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Die Beispiele verdeutlichen also eher einen grundlegenden Unterschied zwischen dem reellen und dem komplexen Differenzierbarkeitsbegriff als einen solchen zwischen dem reellen und dem komplexen Stetigkeitsbegriff.

Von den Aussagen zur Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen kann neben der Aussage zur Hintereinanderausführung auch die zu den algebraischen Operationen unverändert übernommen werden. Das punktweise Bilden von Maximum oder Minimum ist nur sinnvoll, wenn die beteiligten Funktionen nur Werte in $\mathbb {R}$ annehmen. Dann gelten die Aussagen ebenso weiter.

Die Ableitungsfunktion einer auf ganz $\mathbb {C}$ komplex differenzierbaren Funktion ist selbst wieder komplex differenzierbar. Also können stetige Funktionen, die nicht komplex differenzierbar sind, keine komplexen Stammfunktionen besitzen. Dies zeigt, dass sich der Fundamentalsatz der Analysis nicht einfach auf den komplexen Fall übertragen lässt.

Für die übrigen Hauptsätze über reelle stetige Funktionen gibt es Entsprechungen im komplexen. Deren Formulierung passt aber besser zum Stetigkeitsbegriff für Funktionen zwischen euklidischen Räumen und wird daher dort vorgestellt.

Stetigkeit für Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Sei ${\mathbb {K} }$ entweder die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, sowie $n$ eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man das kartesisches Produkt ${\mathbb {K} }^{n}$ als euklidischen Raum. Da $\mathbb {C} ^{n}$ natürlich mit $\mathbb {R} ^{2n}$ identifiziert wird, kann man den Fall ${\mathbb {K} }=\mathbb {C}$ auf den Fall ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ zurückführen. Für einige Aussagen ist es trotzdem sinnvoll, den komplexen Fall separat zu betrachten, da komplexe Multiplikation, Division und Differentation nicht einfach getrennt nach Real- und Imaginärteil durchgeführt werden können.

Sei $f$ eine Funktion $f\colon D_{f}\to {\mathbb {K} }^{m}$, deren Funktionswerte in einem euklidischen Raum liegen und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset {\mathbb {K} }^{n}$ Teilemenge eines (möglicherweise anderen) euklidischen Raums ist. Eine solche Funktion wird auch als $n$-stellige Funktion oder Funktion von $n$ Variablen bezeichnet.

Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für reelle Funktionen übernommen werden, wenn man den Absolutbetrag $|\cdot |$ durch die euklidische Norm $\|\cdot \|_{2}$ ersetzt. Da auf euklidischen Räumen alle Normen äquivalent sind, kann man in der Definition auch jede andere Norm (z.B. die Maximumsnorm) verwenden, ohne das Ergebnis zu ändern. Daher lässt man den Index 2 bei der Norm meist weg. Das Kriterium lautet dann:

$f$ heißt stetig in $x_{0}$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in D_{f}$ mit

$\|x-x_{0}\|<\delta$

gilt:

$\|f(x)-f(x_{0})\|<\varepsilon$.

Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in euklidischen Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Stetigkeit von Funktionen zwischen Produkträumen

Ist $f$ eine Funktion wie oben beschrieben, so gibt es (eindeutig bestimmte) Funktionen $f_{1},...,f_{m}:D_{f}\to {\mathbb {K} }$, so dass für $x\in D_{f}$ gilt: $f(x)=\left(f_{1}(x),...,f_{m}(x)\right)$.
Die Funktion $f$ ist genau dann stetig in ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$, wenn dies für alle $f_{1},...,f_{m}$ gilt. Damit kann man sich bei der Untersuchung der Stetigkeit vollständig auf die Untersuchung von skalarwertigen Funktionen (also von Funktionen mit Werten in ${\mathbb {K} }$) beschränken.
Die elementarsten derartigen Funktionen sind (neben den konstanten) die Projektionen, also die Funktionen, die einem Tupel $(x_{1},...,x_{n})\in {\mathbb {K} }^{n}$ die $i$-te Komponente $x_{i}$ für ein festes $i\in \{1,...,n\}$ zuweisen. Diese sind alle stetig.
Hieraus ergibt sich bereits, dass alle Funktionen, die sich durch Weglassen, Vertauschen und Wiederholen von Komponenten ergeben, stetig sind, etwa die Funktion $(x,y,z)\mapsto (z,x,x,z)$ von ${\mathbb {K} }^{3}$ nach ${\mathbb {K} }^{4}$.

Es ist nicht möglich, sich auch auf der Seite des Funktionsarguments alleine auf die Betrachtung des skalaren Falls zu beschränken. Ist der Definitionsbereich der betrachteten Funktion der gesamte Raum ${\mathbb {K} }^{n}$ (oder eine vergleichbar "gutartige" Menge), so kann man für $(x_{2},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {K} }^{n-1}$ die Funktion

$f_{(x_{2},\ldots ,x_{n})}\colon {\mathbb {K} }\to {\mathbb {K} }^{m}$

$x\mapsto f(x,x_{2},\ldots ,x_{n})$

betrachten. $f$ heißt stetig im ersten Argument, wenn jede dieser Funktionen stetig ist.
Analog wird die Stetigkeit im zweiten, dritten, ... , $n$-ten Argument definiert.
Eine stetige Funktion ist auch stetig in jedem Argument.

Darstellung der im Punkt (0,0) nicht stetigen nebenstehenden Funktion f.

Umgekehrt folgt aus der Stetigkeit in jedem Argument jedoch nicht die Stetigkeit der Funktion, wie das folgende Beispiel zeigt:

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto {\begin{cases}0,&x=y=0\\{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Man überzeugt sich leicht, dass diese Funktion in beiden Argumenten stetig ist. Die Funktion ist im Punkt $(0,0)$ aber unstetig. Definiert man nämlich $a_{n}=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)$ für $n\in \mathbb {N}$, so ist $(a_{n})$ eine Folge, die in $\mathbb {R} ^{2}$ gegen $(0,0)$ konvergiert. Es gilt $f(a_{n})={\tfrac {1}{2}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Die Bildfolge hat also den konstanten Wert ${\tfrac {1}{2}}$ und konvergiert somit nicht gegen den Funktionswert 0 an der betrachteten Stelle.

Stetigkeit der algebraischen Verknüpfungen

Die algebraischen Verknüpfungen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können jeweils als Funktionen von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }$ (bzw. im Falle der Division von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\setminus \{0\}$) nach ${\mathbb {K} }$ aufgefasst werden. Die Addition z.B. als die Funktion $(x,y)\mapsto x+y$. Jede dieser Funktionen ist stetig.

Kombiniert man diese Erkenntnis mit den Überlegungen aus dem vorherigen Kapitel, so erhält man auch die Stetigkeit weiterer algebraischer Operationen, wie der Addition und Subtraktion von Vektoren (Funktionen von ${\mathbb {K} }^{n}\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }^{n}$), der Multiplikation mit einem Skalar (Funktion von ${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }^{n}$) oder des Skalarproduktes (Funktion von ${\mathbb {K} }^{n}\times {\mathbb {K} }^{n}$ nach ${\mathbb {K} }$).

Berücksichtigt man, dass man die Menge $M(m\times n,{\mathbb {K} })$ der $m\times n$-Matrizen über ${\mathbb {K} }$ in natürlicher Weise mit dem euklidischen Raum ${\mathbb {K} }^{mn}$ identifizieren kann, so erhält man auch die Stetigkeit der elementaren Rechenoperationen für Matrizen. Auch die Determinante ist eine stetige Funktion und damit dann auch die Invertierung von Matrizen.

Sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit identischem Definitionsbereich und gleicher Zielmenge ${\mathbb {K} }^{m}$ stetig in einem Punkt ihres gemeinsamen Definitionsbereichs, so gilt dies auch für die punktweise definierte Summe $f+g$. Dies folgt einfach, weil diese Funktion sich als Hintereinanderausführung der Funktion $x\mapsto (f(x),g(x))$ (Zielmenge ist ${\mathbb {K} }^{m}\times {\mathbb {K} }^{m}$) und der Vektoraddition (Funktion von ${\mathbb {K} }^{m}\times {\mathbb {K} }^{m}$ nach ${\mathbb {K} }^{m}$) auffassen lässt.
Analog kann man natürlich auch für die anderen genannten algebraischen Verknüpfungen argumentieren. Hieraus folgen insbesondere die bereits vermerkten Aussagen über die Stetigkeit (durch algebraische Operationen) zusammengesetzter reeller oder komplexer Funktionen. Diese Überlegung überträgt sich auch auf die weiteren diskutierten Stetigkeitsbegriffe und wird dort nicht mehr gesondert erwähnt.

Betrachtet man Maximum und Minimum als Verknüpfungen auf $\mathbb {R}$, so handelt es sich ebenfalls um stetige Funktionen (von $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$). Hier gilt entsprechendes.

Beispiele stetiger Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Durch Kombination der vorherigen Ergebnisse kann man bereits die Stetigkeit einer großen Klasse von Funktionen zeigen, zum Beispiel der Funktion $(x,y,z)\mapsto ({\sqrt {1+cos^{2}(x-y)}},e^{y+z})$ als Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$.
Auch sind alle Normen stetige (reellwertige) Funktionen.
Weiterhin folgt wieder aus der (totalen) Differenzierbarkeit einer Funktion deren Stetigkeit (im entsprechenden Punkt). Insbesondere sind alle lineraren Abbildungen (etwas allgemeiner: alle affinen Abbildungen) stetig.
Reellwertige konvexe und konkave Funktionen sind in allen inneren Punkten ihres Definitionsbereichs stetig. Dabei heißt ein Punkt $x_{0}$ innerer Punkt einer Teilmenge $D\subset {\mathbb {K} }^{n}$, wenn es eine offene Kugel $B$ gibt, die ganz in $D$ enthalten ist und ihrerseits $x_{0}$ enthält (also mit $x_{0}\in B\subset D$).
Offene Kugeln in ${\mathbb {K} }^{n}$ sind dabei Mengen, die sich darstellen lassen als Mengen der Form $B(a,r):=\{x\in {\mathbb {K} }^{n}|\|x-a\|_{2}<r\}$ mit $a\in {\mathbb {K} }^{n},r>0$.

Hauptsätze über stetige Funktionen zwischen euklidischen Räumen

Da der Intervallbegriff für euklidische Räume nicht zur Verfügung steht, muss man zur Formulierung der Hauptsätze auf einige Grundbegriffe aus der Topologie zurückgreifen, die hier (für den Fall eines euklidischen Raums) definiert werden.
Eine Teilmenge $D\subset {\mathbb {K} }^{n}$ heißt:

• offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht (äquivalent: wenn ihr Komplement in ${\mathbb {K} }^{n}$ eine abgeschlossene Menge ist)
• abgeschlossen, wenn ihr Komplement in ${\mathbb {K} }^{n}$ eine offene Menge ist (äquivalent: wenn die Grenzwerte von konvergenten Folgen mit Gliedern aus $D$ ebenfalls in $D$ liegen)
• beschränkt, wenn sie vollständig in einer offenen Kugel enthalten ist
• kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist
• zusammenhängend, wenn es unmöglich ist, zwei offene Mengen zu finden, so dass jeder Punkt von $D$ in genau einer der beiden Mengen enthalten ist und beide Mengen auch tatsächlich Punkte aus $D$ enthalten.
• wegzusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte aus $D$ immer durch einen Weg in $D$ verbinden lassen, wenn also zu $x,y\in D$ immer eine stetige Funktion $\gamma :[0,1]\to {\mathbb {K} }^{n}$ gefunden werden kann, mit $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$ und $\gamma ([0,1])\subset D$.
• konvex, wenn sie mit zwei Punkten auch stets deren Verbindungsstrecke enthält

Für Teilemengen von $\mathbb {R}$ sind die Eigenschaften zusammenhängend, wegzusammenhängend und konvex äquivalent und werden genau von den reellen Intervallen erfüllt. Im allgemeinen gilt: konvex $\implies$ wegzusammenhängend $\implies$ zusammenhängend.

Ist nun $f$ wie oben beschrieben eine stetige Funktion, dann gilt:

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ zusammenhängend/wegzusammenhängend/kompakt, so gilt das selbe für den Wertebereich $f(D_{f})$.

Die ersten beiden Varianten sind dabei natürliche Verallgemeinerungen des Zwischenwertsatzes. Die dritte Variante ist eine Verallgemeinerung des Satzes vom Minimum und Maximum. Falls der Wertebereich von $f$ Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist, so folgt in der dritten Variante, dass $f$ seinen kleinsten und größten Wert tatsächlich annimmt, da kompakte Teilmengen von $\mathbb {R}$ Minimum und Maximum enthalten.

Eine direkte Übertragung des Zwischenwertsatzes auf konvexe Mengen ist nicht möglich. Tatsächlich wurde oben das Beispiel einer stetigen Funktion angegeben, die ein reelles Intervall (konvex) auf die komplexe Einheitskreislinie (nicht konvex) abbildet.

Es gibt aber einen Satz über konvexe Definitionsbereiche, der sich im Fall reeller Funktionen als äquivalent zum Zwischenwertsatz erweist, in höheren Dimensionen aber deutlich schwerer zu beweisen ist. Der Fixpunktsatz von Brouwer besagt (in allgemeiner Form):

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ kompakt und konvex (und nicht leer) und ist $f$ eine Selbstabbildung (gilt also $f(D_{f})\subset D_{f}$), so besitzt $f$ (mindestens) einen Fixpunkt.

Der Satz von Heine besagt:

Ist der Definitionsbereich $D_{f}$ von $f$ kompakt, so ist $f$ gleichmäßig stetig.

Der Fundamentalsatz der Analysis besitzt auch Verallgemeinerungen in höherdimensionalen Räumen (Satz von Stokes), die aber mehr als nur den Begriff der Stetigkeit voraussetzen. Der Fundamentalsatz enthält neben der Aussage über die Stammfunktion auch die Feststellung, dass stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind. Das Riemann-Integral besitzt in der mehrdimensionalen Analysis eine große Zahl von Verallgemeinerungen. Diese erlauben im Allgemeinen die Integration beliebiger stetiger Funktionen, wobei eventuell noch bestimmte Beschränktheitsbedingungen erfüllt sein müssen.

Wie bereits dargelegt, muss sich die Stetigkeit einer injektiven Funktion nicht auf ihre Umkehrfunktion übertragen. Ist $f$ injektiv, so kann in den folgenden beiden Fällen auf die Stetigkeit der Umkehrfunktion geschlossen werden:

• Der Definitionsbereich $D_{f}$ ist kompakt
• Der Definitionsbereich $D_{f}$ ist offen, und es gilt $n=m$

Die zweite Aussage ist deutlich schwerer zu beweisen. Sie ist auch bekannt als Satz von der Invarianz offener Mengen. Dieser Satz stellt auch sicher, dass der Wertebereich $f(D_{f})$ in diesem Fall ebenfalls eine offene Menge ist.

Es gibt auch eine Reihe von wichtigen Sätzen über stetige Funktionen, deren Formulierung überhaupt erst in höheren Dimensionen möglich ist. Beispielhaft seien genannt:

• Der Satz von Peano über die Lösbarkeit von Differentialgleichungen
• Die Existenz des brouwerschen Abbildungsgrades

Stetigkeit für Funktionen zwischen normierten Räumen

Sei $f$ eine Funktion $f\colon D_{f}\to W$, deren Funktionswerte in einem normierten Raum $W$ liegen und deren Definitionsbereich $D_{f}\subset V$ Teilemenge eines (möglicherweise anderen) normierten Raums $V$ ist. Zur Definition der Stetigkeit von $f$ in einem ${\displaystyle x_{0}\in D_{f}}$ kann das Epsilon-Delta-Kriterium für Funktionen zwischen euklidischen Räumen ohne Änderung übernommen werden. Alternativ kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in normierten Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Die euklidischen Räume sind gerade die endlichdimensionalen normierten Räume. In diesem Kapitel sollen daher die Unterschiede beschrieben werden, die sich ergeben, wenn man die Untersuchung auf Räume beliebiger Dimension ausdehnt.
Zunächst ist zu beachten, dass auf unendlichdimensionalen Räumen nicht mehr alle Normen äquivalent sind. Die Wahl der Norm ist daher für die Frage der Stetigkeit einer Funktion unter Umständen entscheidend.

Sind $V_{1}$ und $V_{2}$ normierte Räume, so bieten sich auf dem kartesischen Produnkt $V_{1}\times V_{2}$ mehrere Normen an, die aber alle äquivalent und somit für Stetigkeitsbetrachtungen austauschbar sind. Ein Beispiel ist die durch $(v_{1},v_{2})\mapsto \|v_{1}\|+\|v_{2}\|$ definierte Norm.
Für normierte Räume, die sich auf diese Weise in kartesische Produkte zerlegen lassen, gelten die oben für Funktionen zwischen Produkträumen gemachten Aussagen sinngemäß weiter (wobei es auch möglich ist, dass die betrachteten Faktoren verschieden sind). Es ist aber zu berücksichtigen, dass sich unendlichdimensionale Räume auf diese Weise nicht in eindimensionale Bestandteile zerlegen lassen. Daher kann man die Stetigkeit von Funktionen mit Werten in einem unendlichdimensionalen normierten Raum nicht in analoger Weise auf die Stetigkeit skalarwertiger Funktionen zurückführen.
Weiterhin gültig ist allerdings die Aussage, dass die Vektoraddition ($V\times V\to V$) und die skalare Multiplikation (${\mathbb {K} }\times V\to V$) eines normierten Raumes $V$ stetige Funktionen sind.

Die im Kapitel über euklidische Räume eingeführten topologischen Begriffe können auf den Fall normierter Räume übernommen werden, wenn man sich auf die offenen Kugeln $B(a,r):=\{x\in V|\|x-a\|<r\}$ mit $a\in V,r>0$ bezieht.
Allerdings ist zu beachten, dass der Begriff der Kompaktheit nun nicht mehr äquivalent zur Beschränktheit und Abgeschlossenheit einer Menge ist. Eine mögliche Definition ist in diesem Fall:

Eine Teilmenge $D$ eines normierten Raumes heißt kompakt, wenn zu jedem System offener Mengen, dessen Vereinigung $D$ umfasst, (man spricht von einer offenen Überdeckung von $D$) ein endliches Teilsystem existiert, das die selbe Eigenschaft hat (also eine endliche Teilüberdeckung ist).

Der Satz von Heine-Borel besagt, dass diese Definition in euklidischen Räumen gerade von den abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen erfüllt wird. In unendlichdimensionalen Räumen ist die Bedingung der Kompaktheit allerdings deutlich restriktiver.

Unter Berücksichtigung dieser Änderungen können die oben angegebenen Verallgemeinerungen des Zwischenwertsatzes, des Satzes vom Minimum und Maximum und des Satzes von Heine auch auf den Fall beliebiger normierter Räume übertragen werden. Der Fixpunktsatz von Brouwer wird in diesem allgemeineren Kontext allerdings als Fixpunktsatz von Schauder bezeichnet.

Auch für beliebige normierte Räume gibt es einen Differenzierbarkeitsbegriff, der die Stetigkeit impliziert, nämlich den Begriff der Fréchet-Differenzierbarkeit. Es ist allerdings zu beachten, dass man bei der Definition dieses Begriffs bereits auf die Stetigkeit linearer Abbildungen verweist. Anders als im Fall euklidischer Räume ist nämlich nicht jede lineare Abbildung zwischen normierten Räumen stetig.
Genauer gesagt gilt: Sind $V,W$ normierte Räume, so sind äquivalent:

• Jede lineare Abbildung von $V$ nach $W$ ist stetig
• $V$ ist endlichdimensional oder $W$ ist 0-dimensional

Für lineare Abbildungen gibt es allerdings ein sehr einfaches Kriterium, das die Stetigkeit beschreibt. Diese Kriterium wird Beschränktheit genannt. Es ist zu beachten, dass dieser Begriff der Beschränktheit nicht mit dem normalen Begriff der Beschränktheit einer Funktion übereinstimmt.
Der Satz von Hahn-Banach stellt sicher, dass es "genügend viele" stetige lineare Abbildungen von $V$ nach $W$ gibt (sofern $W$ nicht 0-dimensional ist).

Stetigkeit für Funktionen zwischen metrischen Räumen

Im Epsilon-Delta-Kriterium wird Betrag bzw. Norm immer auf die Differenz zweier Werte angewandt. Dies kann aufgefasst werden als die Bestimmung des Abstands dieser Werte. Es liegt daher nahe, den Begriff der Stetigkeit auf Funktionen zwischen Mengen auszudehnen, in denen ein Abstandsbegriff zur Verfügung steht, also auf Funktionen zwischen metrischen Räumen.

Sei $f:X\to Y$ eine Funktion, deren Definitionsbereich und Zielmenge durch Metriken zu metrischen Räumen $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$ werden. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x_{0}\in X$, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x\in X$ mit

$d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta$

gilt:

$d_{Y}\left(f(x),f(x_{0})\right)<\varepsilon$.

Alternativ zu dieser Variante des Epsilon-Delta-Kriteriums kann man auch die Definition mittels Grenzwerten von Funktionen oder von Folgen nutzen, wenn man die entsprechenden Grenzwertbegriffe für Funktionen oder Folgen in metrischen Räumen eingeführt hat. Alle Kriterien sind weiterhin gleichwertig.

Im Gegensatz zu den bisherigen Stetigkeitsdefinitionen setzt diese voraus, dass der Definitionsbereich von $f$ ganz $X$ ist. Dies ist kein Verlust an Allgemeinheit, da jede Teilmenge eines metrischen Raums mit der eingeschränkten Metrik selbst ein metrischer Raum ist. Die Definition geht also davon aus, dass man sich ggf. bereits auf den Definitionsbereich eingeschränkt hat.

Zur Definition der topologischen Grundbegriffe in $X$ nutzt man nun die offenen Kugeln $B(a,r):=\{x\in X|d_{X}\left(x,a\right)<r\}$ mit $a\in X,r>0$. Für die Definition der Kompaktheit ist dabei die schärfere Bedingung aus dem Kapitel über normierte Räume zu verwenden. Da es in metrischen Räumen im allgemeinen nicht sinnvoll ist, von der Verbindungsstrecke zweier Punkte zu sprechen, ist es nicht einfach möglich, den Begriff der Konvexität auf metrische Räume zu verallgemeinern (der Begriff des metrisch konvexen Raums ist zu speziell, um hier erörtert zu werden).

Ist nun $f$ wie oben beschrieben eine stetige Funktion, dann gilt in direkter Verallgemeinerung der obigen Aussagen:

• Ist der Definitionsbereich $X$ von $f$ zusammenhängend/wegzusammenhängend/kompakt, so gilt das selbe für den Wertebereich $f(X)$.
• Ist der Definitionsbereich $X$ von $f$ kompakt, so ist $f$ gleichmäßig stetig.

Stetigkeit für Funktionen zwischen topologischen Räumen

Definition

Eine weitere Verallgemeinerung des Epsilon-Delta-Kriteriums in seiner Fassung für metrische Räume bietet sich nicht an. Man kann das Kriterium aber so umformulieren, dass es nur noch den fundamentalen topologischen Begriff der Umgebung benötigt. Damit kann der Begriff der Stetigkeit auch auf Funktionen zwischen topologischen Räumen ausgedehnt werden.

Sei $f:X\to Y$ eine Funktion, deren Definitionsbereich und Zielmenge topologische Räume sind. Die Funktion $f$ heißt stetig in $x_{0}\in X$, wenn für jede Umgebung $U$ von $f(x_{0})$ in $Y$ das Urbild $f^{-1}(U)$ eine Umgebung von $x_{0}$ in $X$ ist.

Wie in den anderen Fällen kann man auch eine äquivalente Definition finden, die sich auf das Konzept der Konvergenz stützt. Die Verallgemeinerung des Konzepts des Grenzwerts von Funktionen ist in der Topologie unüblich. Konvergenz von Folgen ist auch in beliebigen topologischen Räumen definiert. Eine direkte Übertragung des Folgenkriteriums führt aber zum Begriff der Folgenstetigkeit, der im Allgemeinen schwächer als der soeben definierte Stetigkeitsbegriff ist. Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (ist also z. B. ein metrischer Raum), so sind die beiden Begriffe allerdings gleichwertig.

Im allgemeinen kann man das Konzept der Konvergenz von Netzen benutzen:

Die Funktion $f$ ist stetig in $x_{0}\in X$, wenn für jedes in $X$ gegen $x_{0}$ konvergente Netz $(a_{i})$ das Netz $\left(f(a_{i})\right)$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Alternativ kann man das Kriterium auch über die Konvergenz von Filtern formulieren.

Alternative Charakterisierungen der Stetigkeit

Bei der Einführung des topologischen Raumes legt man üblicherweise einen Grundbegriff der Topologie axiomatisch fest und leitet dann alle anderen Begriffe von diesem ab. Der Umgebungsbegriff ist dabei einer dieser Grundbegriffe, der als Ausgangspunkt genommen werden kann. Es stellt sich die Frage, ob man die Definition der Stetigkeit auch genauso auf die anderen möglichen Grundbegriffe stützen könnte. Es zeigt sich, das dies für den Begriff der Stetigkeit in einem Punkt schwierig ist, für den Begriff der (überall) stetigen Funktion dagegen sehr einfach ist.

• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede offene Menge $O\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(O)$ offen (in $X$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede abgeschlossene Menge $A\subset Y$ das Urbild $f^{-1}(A)$ abgeschlossen (in $X$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild der abgeschlossenen Hülle (also $f({\overline {M}})$) Teilmenge der abgeschlossenen Hülle des Bildes (also von ${\overline {f(M)}}$) ist.
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset Y$ das Urbild des offenen Kerns (also $f^{-1}({M^{\circ }})$) Teilmenge des offenen Kerns des Urbilds (also von ${f^{-1}(M)^{\circ }}$) ist
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild des Randes (also $f(\partial M)$) Teilmenge der Vereinigung von Bild und Rand des Bildes (also von $f(M)\cup \partial f(M)$) ist
• Die Funktion $f$ ist stetig, wenn für jede Menge $M\subset X$ das Bild der Ableitung (also $f(d(M))$) Teilmenge der Vereinigung von Bild und Ableitung des Bildes (also von $f(M)\cup d(f(M))$) ist

Da man sich in der allgemeinen Topologie nur selten für die Stetigkeit in einzelnen Punkten interessiert und da die Definition von topologischen Räumen über den Begriff der offenen Menge die verbreitetste Variante ist, findet man in der Literatur auch gelegentlich die erste dieser Aussagen als Definition der Stetigkeit.
Formuliert man die erste bzw. die zweite Aussage als Bedingung an das Bild anstatt an das Urbild, so kommt man zur Definition einer offenen bzw. einer abgeschlossenen Funktion/Abbildung. Diese Begriffe sind weniger wichtig als der Begriff der stetigen Funktion. Es gibt aber einige wichtige Sätze, die sicherstellen, dass eine stetige Funktion unter bestimmten Zusatzannahmen auch offen oder abgeschlossen ist.

Zentrale Aussagen über Stetigkeit in der Topologie

Stimmen die topologischen Räume $X$ und $Y$ als Mengen überein, so ist die identische Abbildung von $X$ nach $Y$ genau dann stetig, wenn die Topologie auf $X$ feiner ist als die auf $Y$ oder mit ihr übereinstimmt.

Generell ist die Bedingung der Stetigkeit umso leichter zu erreichen (und damit umso weniger aussagekräftig), je feiner die Topologie auf dem Definitionsbereich bzw. je gröber die Topologie auf der Zielmenge ist. Insbesondere ist die Bedingung immer erfüllt, wenn der Definitionsbereich die diskrete Topologie oder die Zielmenge die triviale Topologie trägt.

Die oben für stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen formulierten zwei Ergebnisse können wörtlich übertragen werden. Bei der zweiten Aussage (dem Satz von Heine) muss aber noch gefordert werden, dass die beteiligten Räume Hausdorff-Räume sind. Außerdem ist zu berücksichtigen, dass der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit nicht für allgemeine topologische Räume sondern nur für uniforme Räume definiert werden kann. Da aber jeder kompakte Hausdorff-Raum in eindeutiger Weise zu einem uniformen Raum gemacht werden kann und weil sich die Kompaktheit auch auf den Wertebereich der stetigen Funktion überträgt, kann man die Aussage so formulieren.

Die oben formulierten Aussagen zur Stetigkeit von Funktionen zwischen Produkträumen bleiben gültig, wenn man unterstellt, dass auf den Produkträumen die Produkttopologie betrachtet wird. Dabei gilt die Verallgemeinerung sogar für unendliche Produkte.