Abgeschlossene Abbildung

Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen, die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden.

Definition

Sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen $X$ und $Y$. $f$ heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Menge $A\subset X$ auch die Bildmenge $f(A)\subset Y$ abgeschlossen ist.

Beispiele

• Jede stetige Abbildung $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ von einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen. Auf unbeschränkten Intervallen gilt das nicht, so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens-Funktion $\mathrm {arctan} \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ nicht abgeschlossen, denn $A=[0,\infty )\subset \mathbb {R}$ ist abgeschlossen, aber die Bildmenge $\textstyle \mathrm {arctan} (A)=[0,{\frac {\pi }{2}})\subset \mathbb {R}$ ist nicht abgeschlossen.
• Allgemeiner ist jede stetige Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ von einem kompakten Raum $X$ in einen Hausdorffraum $Y$ abgeschlossen. Ist nämlich $A\subset X$ abgeschlossen, so ist $A$ als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild $f(A)$ kompakt. Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist $f(A)$ abgeschlossen.
• Homöomorphismen sind abgeschlossen. Genauer gilt, dass eine bijektive Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen genau dann ein Homöomorphismus ist, wenn $f$ stetig und abgeschlossen ist.
• Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen. Genauer ist eine stetige Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ genau dann eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und $f^{-1}(\{y\})\subset X$ kompakt ist für jedes $y\in f(X)$.
• Offene Abbildungen müssen nicht abgeschlossen sein. Die Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(s,t)\mapsto s$ ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge $\{(s,t)\colon s\geq 0,st\geq 1\}$ ist die nicht-abgeschlossene Menge $(0,\infty )$. Umgekehrt müssen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein, wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt.

Eigenschaften

• Kompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen.
• Sei $f\colon X\rightarrow Y$ eine abgeschlossene Abbildung, $B\subset Y$ und es sei $f^{-1}(B)\subset X$ offen. Dann ist $B$ offen.
• Eine Abbildung $f\colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen ist genau dann abgeschlossen, falls $f({\overline {A}})\supset {\overline {f(A)}}$ für alle Teilmengen $A\subset X$.

Abgrenzung

In der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Vektorräumen $X$ und $Y$, das sind solche linearen Operatoren, deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum $X\times Y$ ist. Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Räumen verwechselt werden. So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung $\iota \colon \ell ^{1}\rightarrow \ell ^{\infty }$ der Folgenräume mit ihren üblichen Normtopologien als stetiger, linearer Operator sicher abgeschlossen, aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehörigen topologischen Räumen, denn $A=\ell ^{1}\subset \ell ^{1}$ ist abgeschlossen, aber das Bild $\iota (A)\subset \ell ^{\infty }$ ist nicht abgeschlossen.