Benutzer:Ttbya/Denjoy-Perron-Integral

Dieser Artikel befindet sich in der Übersetzung aus w:en:Henstock-Kurzweil integral.

In der Integralrechnung ist das Henstock-Kurzweil-Integral, auch als Denjoy-Perron-Integral bekannt, eine mögliche Definition des Integrals einer Funktion. Es ist eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals, die in manchen Situationen nützlicher als das Lebesgue-Integral ist.

Dieses Integral wurde zuerst von Arnaud Denjoy 1912 definiert. Denjoy suchte nach einer Definition, die es erlauben würde, Funktionen wie

f(x)={\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right).

zu integrieren.

Diese Funktion hat bei 0 eine Singularität, und ist nicht Lebesgue-integrierbar. Es erscheint sinnvoll, ihr Integral mit Ausnahme von $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$ zu berechnen, wobei $\varepsilon$ gegen 0 strebt (Dies wird Integration als Cauchyscher Hauptwert genannt). Effektiv stimmen die Definitionen von Denjoy und Lebesgue bei positiven Funktionen vollkommen überein.

Bei dem Versuch eine generelle Theorie aufzustellen wendete Denjoy Transfinite Induktion an den möglichen Typen von Singularitäten an, was die Definition recht kompliziert machte. Andere Definitionen wurden von Nikolai Luzin, der Variatonen des begriffes der Absoluten Stetigkeit benutzte, und von Oskar Perron funktionen beschäftigte,--> aufgestellt. Es dauerte jedoch etwas, bis klar wurde, dass Perron- und Denjoyintegrale identisch sind. Später, 1957, fand der tschechische Mathematiker Jaroslav Kurzweil eine neue Definition dieses Integrals, das er Gauge-Integral nannte, die in ihrer Natur Riemanns Originaldefinition elegant ähnelte; die Theorie wurde von Ralph Henstock entwickelt. Die Einfachheit von Kurzweils Definition führte dazu, dass manche Lehrer dafür eintraten, dass diese Integral das Riemannsche Integral in der Einführung in die Integralrechnung ersetzen sollte, aber diese Idee wurde nie populär genug.

Eine andere wichtige Eigenschaft dieses Integrals ist, dass jede Funktion, wie eine Ableitung einer anderen ist, auch Gauge-integrierbar ist, was dem Fundamentalsatz der Analysis entspricht. Insbesondere betrifft eine nichttriviale Folgerung das Lebesgue-Integral: Falls eine Funktion $f$ überall differenzierbar ist und ihre Ableitung Lebesgue-integrierbar, dann ist $f$ das Integral der Ableitung.

Definition

Henstocks Definition lautet wie folgt:

Gegeben sei eine tagged partition $P$ von $[a,b]$ , es gilt

a=u_{0}<u_{1}<\cdots <u_{n}=b,\ \ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]

und eine positive Funktion

\delta \colon [a,b]\to (0,\infty ),\,

die Gauge heißt, und P ist $\delta$ -fine wenn

\forall i\ \ u_{i}-u_{i-1}<\delta (t_{i}).

Für eine tagged partition $P$ und eine Funktion

f\colon [a,b]\to \mathbb {R}

definiert man die Riemannsumne als

\sum _{P}f=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}-u_{i-1})f(t_{i}).

Gegeben sei eine Funktion

f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ,

für die man jetzt eine Zahl $I$ als das Gauge-Integral von $f$ definiert, wenn für jedes $\varepsilon >0$ eine Gauge $\delta$ existiert, so dass immer wenn $P$ $\delta$ -fine ist,

{\Big \vert }\sum _{P}f-I{\Big \vert }<\varepsilon .

gilt.

Das Riemann-Integral kann als Sonderfall aufgefasst werden, das nur konstante Gauges erlaubt.Anzumerken ist, dass aufgrund von Cousin's lemma, das besagt, dass für jede Gauge $\delta$ eine $\delta$ -fine partition existiert, diese Bedingung nicht vollständig erfüllt werden kann.

Weblinks

References

Russell A. Gordon: The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock (= Graduate Studies in Mathematics, 4). American Mathematical Society, Providence, RI 1994, ISBN 0-8218-3805-9.

Robert M. McLeod: The generalized Riemann integral (= Carus Mathematical Monographs, 20). Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1980, ISBN 0-8838-5021-4.