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Artikel Wendepunkt

Bisherige Einleitung (2025-01-08)

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dieser Wechsel wird auch Bogenwechsel genannt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion.

Ein Wendepunkt $W\left(x_{W}|f(x_{W})\right)$ an der Wendestelle $\ x_{W}$ liegt vor, wenn die Krümmung des Funktionsgraphen an der Stelle $x_{W}$ ihr Vorzeichen wechselt. Daraus lassen sich verschiedene hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten ableiten. Ein Kriterium fordert, dass die zweite Ableitung der differenzierbaren Funktion $f$ an der Stelle $\ x_{W}$ ihr Vorzeichen wechselt. Andere Kriterien fordern nur, dass die zweite Ableitung der Funktion Null ist und dass bestimmte höhere Ableitungen ungleich Null sind.

Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion $f$ als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als Extremstellen, das heißt lokale Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren.

Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Analog zum Begriff Extremwert scheint der Begriff Wendewert für den entsprechenden Funktionswert $f(x_{W})$ intuitiv plausibel und wird auch in manchen Quellen verwendet. Allerdings wird dabei direkt oder indirekt (durch Nutzung von bspw. Anführungszeichen) darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um eine tendenziell unübliche Bezeichnung handelt.

Vorschlag für eine neue (kompaktere) Einleitung

Wendepunkt mit Wendetangente

In der Mathematik ist ein Wendepunkt ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Das Wort „Krümmungsverhalten“ bedeutet hier die Unterscheidung der beiden Möglichkeiten, die beim Durchlaufen eines Funktionsgraphen ohne geradlinige Abschnitte von links nach rechts auftreten können:

• Linkskrümmung („Linkskurve“)
• Rechtskrümmung („Rechtskurve“)

Beispielsweise ist der Funktionsgraph in der ersten Abbildung (blau) links vom Punkt W rechtsgekrümmt und rechts vom Punkt W linksgekrümmt. Demnach ist W ein Wendepunkt. Die Ermittlung von Wendepunkten ist Bestandteil einer Kurvendiskussion. Die $x$-Koordinate eines Wendepunkts nennt man häufig Wendestelle (z. B. mit $x_{W}$ bezeichnet).

Tangenten durch einen Wendepunkt (im Bild rot gezeichnet) heißen Wendetangenten. Wendepunkte, in denen diese Wendetangenten horizontal verlaufen, werden Sattel-, Terrassen- oder Horizontalwendepunkte genannt.

Ist die gegebene Funktion $f$ zweimal differenzierbar, so nimmt an einer Wendestelle die Steigung des Funktionsgraphen, also die Ableitung $f\,'(x)$, einen Extremwert (ein lokales Minimum oder Maximum) an. Daher erfolgt die rechnerische Bestimmung von Wendestellen meist dadurch, dass man die zweite Ableitung $f\,''(x)$, also die Ableitung der Ableitung, gleich null setzt. In Abschnitten mit Linkskrümmung gilt $f\,''(x)>0$, in Abschnitten mit Rechtskrümmung $f\,''(x)<0$. Genaueres ist den Abschnitten über notwendige und hinreichende Kriterien für Wendepunkte zu entnehmen.

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Anmerkung: Die zweifelhaften und unbelegten Begriffe „Bogenwechsel“ und „Wendewert“ sind hier gestrichen. Der Begriff „Bogenwechsel“ kam durch diese Version des Artikels Bogenwechsel vom 1. Juli 2004 in die Wikipedia und einige Monate später in den Artikel zum Wendepunkt. Beim Begriff „Wendewert“ steht schon bisher im Artikel, dass der Begriff eher ungebräuchlich sei. Die dazu angegebenen WWW-Seiten sind als Belege unbrauchbar, da die eine Seite nicht mehr existiert und die andere auf den Wikipedia-Artikel verweist.

Artikel Prozent, Beispiel im Abschnitt „Begriffe“

Das Symbol $p$ sollte den Prozentsatz (z. B. 40 %) bezeichnen und nicht nur die Zahl vor dem Prozentzeichen (40). Eine solche Bezeichnung ist bei physikalischen Größen selbstverständlich. Wenn eine Masse $m$ den Wert $75\,\mathrm {kg}$ hat, gilt $m=75\,\mathrm {kg}$ und nicht etwa $m=75$.

Prinzip: Größe = Maßzahl mal Einheit

Dadurch werden die Formeln übersichtlicher:

Formeln:$\quad {\text{Prozentsatz}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}};\quad {\text{Prozentwert}}={\text{Prozentsatz}}\cdot {\text{Grundwert}};\quad {\text{Grundwert}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}}.$

Formeln (abgekürzt): $\quad p={\frac {W}{G}};\quad W=p\cdot G;\quad G={\frac {W}{p}}.$

Beispiel (übernommen): Prozentwert 7350 Einwohner, Grundwert 15000 Einwohner, Prozentsatz 49 %

${\text{Prozentsatz}}={\frac {7350}{15000}}=0{,}49=49~\%$

${\text{Prozentwert}}=49~\%\cdot 15000=0{,}49\cdot 15000=7350$

${\text{Grundwert}}={\frac {\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}}}={\frac {7350}{49~\%}}={\frac {7350}{0{,}49}}=15000$

Fazit: Sobald in einer Formel zur Prozentrechung Prozentzeichen auftreten, blickt niemand mehr durch.