Albtal

Ziegenproblem 1990-2008

Die wundersame Geschichte eines mathematischen Problems

Als Gero von Randow am 19. Juli 1991 in der ZEIT unter der Überschrift "Eingebung nützt nichts" einen Artikel zum "Ziegenproblem" (im Amerikanischen: "Monty Hall Problem" nach dem Namen eines Showmasters) schrieb, schien die Sache nach viel Wirbel in den USA schon gelaufen.

Doch die hitzige Debatte über eine Mathematikaufgabe, die auf den ersten Blick recht einfach erscheint, ging auch in Europa weiter. Einen Monat später schrieb von Randow schon den größeren Artikel "Eine überzeugende Logik", in dem er die Richtigkeit der umstrittenen Lösung Marilyn vos Savants, der intelligentesten Frau der Welt, begründete. Später schrieb er ein ganzes Buch mit dem Titel "Das Ziegenproblem" (Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg, 10. Auflage März 2001). Es folgten viele weitere Veröffentlichungen zum Thema, in denen die Lösung vos Savants verteidigt wird; darunter das Buch "The Power of Logical Thinking" von Marilyn vos Savant selbst (St. Martin's Press, New York, 1996), in dem das "Monty Hall Dilemma" einen großen Raum einnimmt.

Verlauf und aktuellen Stand der öffentlichen Debatte kann man folgendermaßen zusammenfassen: In der amerikanischen Zeitschrift "Parade" werden im September 1990 nach einer Leseranfrage das Problem und seine angebliche Lösung von Marilyn vos Savant vorgestellt. Tausende von Leserbriefen widersprechen dieser Lösung. Überall, wo die Aufgabe seither gestellt wird, läuft die Debatte nach diesem Muster ab: Veröffentlicht wird das Problem von Vertretern der Lösung vos Savants, und die erneut folgenden zahlreichen Proteste werden nur als Bestätigung dafür genommen, dass die "menschliche Intuition" in diesem Fall präziser mathematischer Begründung nicht standhalte.

Worum geht es?

"Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten 'Ich zeige Ihnen mal was' öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: 'Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?'"

So formuliert Gero von Randow die Aufgabe in seinem Buch (S. 7); und in einem weiteren ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 wird das analoge Problem gestellt. Auch diesem Artikel folgte bald ein weiterer von Gero von Randow, in dem er Marilyn vos Savants Lösung verteidigte:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür zwei steht, beträgt zwei Drittel."

Gleich nach dem ersten ZEIT-Artikel im Jahr 1991 habe ich vos Savant sowohl mit mathematischen Begründungen als auch mit anschaulichen Argumenten recht gegeben. Meinen Vorschlag, man spiele mit hundert anstatt nur mit drei Türen, hat von Randow damals in seinen zweiten Artikel und später in sein Buch (S. 10) übernommen.

Allerdings hatte ich damals hinzugefügt und in einem weiteren Brief ausführlich begründet, dass die Zwei-Drittel-Lösung nur richtig ist, wenn der Moderator nach der ersten Wahl durch die Spielregel zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür gezwungen ist.

Da das Problem im Jahr 1991 mit der Zwei-Drittel-Lösung als endgültig gelöst vorgestellt wurde, hatte ich angenommen, dass in der Original-Problemstellung, die Marilyn vos Savant veröffentlicht hatte, die erwähnte Spielregel enthalten war. Als ich vor einigen Jahren erneut auf das "Ziegenproblem" gestoßen bin, war ich überrascht zu sehen, dass das nicht der Fall gewesen war.

Ohne ausführlich zu werden, kann man leicht begründen, weshalb die Zwei-Drittel-Lösung ohne diese Spielregel falsch ist:

Man nehme an, dass der Moderator eine andere Tür nur dann öffnet, wenn der Kandidat mit der ersten Wahl recht hatte. Wenn dann die Show in der üblicherweise geschilderten Weise abläuft, verliert der Kandidat bei einem Wechsel hundertprozentig.

Auf diese Gedanken sind natürlich auch andere gekommen; und auch die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben davon erfahren. Und damit wären wir bei der eigenartigsten Phase der Debatte angelangt:

In Fußnoten, weiteren zusätzlichen Abschnitten oder bei der Begründung der Lösung wird inzwischen oft mitgeteilt, dass die Lösung vos Savants nur korrekt ist, wenn die erwähnte Spielregel gilt. In die Aufgabenstellung selbst, wie sie beispielsweise von Bildungsforschern Schülern vorgelegt wird (siehe DIE ZEIT, 18.11.2004), wird die Regel aber nicht aufgenommen. Trotzdem wird die Zwei-Drittel-Lösung als einzig richtige Lösung vorgestellt.

Das ist umso erstaunlicher, als schon am 21. Juli 1991 - zwei Tage nach dem ersten ZEIT-Artikel Gero von Randows - ein Artikel von John Tierney in der Sonntagsausgabe der New York Times erschien mit der Absicht, das Problem ein für alle Mal zu klären. Es wurden dazu die vier Personen befragt, denen man diese Klärung am ehesten zutraute: Martin Gardner, der bekannte Autor mathematischer Knobelaufgaben; Persi Diaconis, Professor für Statistik an der Stanford University; Marilyn vos Savant selbst sowie der Showmaster Monty Hall, von dem das Problem seinen Namen hat.

DER SPIEGEL beispielsweise bezieht sich zwar in der Ausgabe vom 19. August 1991 auf diesen Artikel, lässt jedoch folgende Einwände einfach weg:

"'The problem is not well-formed,' Mr. Gardner said, 'unless it makes clear that the host must always open an empty door and offer the switch. Otherwise, if the host is malevolent, he may open another door only when it's to his advantage to let the player switch, and the probability of being right by switching could be as low as zero.' Mr. Gardner said the ambiguity could be eliminated if the host promised ahead of time to open another door and then offer a switch.

Ms. vos Savant acknowledged that the ambiguity did exist in her original statement. She said it was a minor assumption that should have been made obvious by her subsequent analyses, and that did not excuse her professorial critics. 'I wouldn't have minded if they had raised that objection,' she said Friday, 'because it would mean they really understood the problem. But they never got beyond their first mistaken impression. That's what dismayed me.'

Still, because of the ambiguity in the wording, it is impossible to solve the problem as stated through mathematical reasoning. 'The strict argument, ' Dr. Diaconis said, 'would be that the question cannot be answered without knowing the motivation of the host.'

Which means, of course, that the only person who can answer this version of the Monty Hall Problem is Monty Hall himself. Here is what should be the last word on the subject:

'If the host is required to open a door all the time and offer you a switch, then you should take the switch,' he said. 'But if he has the choice whether to allow a switch or not, beware. Caveat emptor. It all depends on his mood.'"

Es ergibt sich nun die Frage, warum eine Problemstellung, die für jahrzehntelange Auseinandersetzungen sorgt, trotz solcher Einwände nicht so formuliert wird, dass die angebliche Lösung auch zur Aufgabe passt.

Mir fällt nur eine plausible Antwort ein: "Die meisten Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung haben das Problem zunächst nicht verstanden."

Je klarer die Bedeutung der Spielregel in der "Zwei-Drittel-Fraktion" wird, desto mehr scheint man sich in den "Forschungen" zum Ziegenproblem der Frage zu widmen:

"Wie können wir den Fehler in der Aufgabenstellung vertuschen?"

Marilyn vos Savant beginnt in ihrem Buch die Einleitung zum Thema mit der oben formulierten Aufgabe (übrigens ohne den Zusatz "Ich zeige Ihnen mal was"), die ihr von einem Leser gestellt worden war. Ihre erste Antwort lautete: "Yes, you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, the second door has a 2/3 chance. Here's a good way to visualize what happened: Suppose there are a million doors, and you pick door number 1. Then the host, who knows what's behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door number 777,777. You should switch to that door pretty fast, wouldn't you?"

Aus ihrer Beschreibung der sich anschließenden Phase, während der sie zehntausend Leserbriefe erhielt, von denen 90 Prozent ihre Lösung für falsch hielten, geht an einigen Stellen hervor, dass es Leser gab, die Kritik an der Aufgabenstellung übten. Aber weit davon entfernt, diesen Einwänden den Stellenwert einzuräumen, den sie verdienten, hebt vos Savant lediglich ihre These hervor, dass die große Mehrheit die Aufgabe so verstanden habe, dass die Zwei-Drittel-Lösung richtig gewesen wäre. Damit kann sie auch bei ihrem Leitgedanken zum Ziegenproblem bleiben: Dass es ein ideales Beispiel für eine Fragestellung sei, bei der die menschliche Intuition versagt.

Interessanterweise enthält das Buch vos Savants einen 25-seitigen Anhang von Donald Granberg von der University of Missouri, der die zehntausend Leserbriefe näher analysierte. Am Anfang fasst er den Stand der Diskussion zustimmend so zusammen, dass Marilyns Antwort unter sieben "hoch plausiblen Annahmen" im wesentlichen korrekt sei. Die vierte Annahme beinhaltet die Verpflichtung des Moderators, nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen, die letzte, dass der Showmaster vertrauenswürdig sein muss.

Auch einige der von Granberg vorgestellten Leserbriefe beinhalten durchaus stichhaltige Argumente gegen die Lösung vos Savants für die gestellte Aufgabe. Aber auch Granberg kann sich nicht zu der Forderung durchringen, dass die Spielregeln in die Aufgabenstellung gehören und nicht in die Begründung der Lösung.

Denselben Fehler enthält die erste Version aus dem Jahr 2002 zum Ziegenproblem im Internet-Lexikon Wikipedia. Bemerkenswert ist dann der kleine, etwas verloren wirkende Zusatz zur Aufgabe, der sich vom 18. auf den 19. Januar 2005 hineingeschlichen hat: "Der Ablauf ist dabei immer wie folgt." Eine spätere Version in Wikipedia enthielt dann einen separaten Abschnitt zur "Unschärfe" der ursprünglichen Problemstellung. Die neueste Version (21.8.2008) enthält jetzt sowohl wie bei Granberg eine Aufgabenstellung aus sieben Einzelpunkten als auch die "originale Problemstellung". Im Artikeltext werden die beiden Aufgaben allerdings so behandelt, als seien sie gleichwertig. Und das "Verständnisproblem" wird nach wie vor nur bei denen diagnostiziert, die der Zwei-Drittel-Lösung widersprochen haben (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem).

Meiner Ansicht nach wurde in der Zwei-Drittel-Fraktion nicht der Unterschied zwischen der bloßen Tatsache gesehen, dass der Moderator nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür öffnet, und dem Zwang zu dieser Handlung, der sich durch die erwähnte Spielregel ergäbe und der entscheidend ist für die Begründung der Zwei-Drittel-Lösung.

Während die große Mehrheit zwischen der ersten Wahl des Kandidaten und der Handlung des Moderators offensichtlich überhaupt keine Kopplung sieht und deshalb - bei der vorgelegten Aufgabenstellung durchaus akzeptabel - auf gleichen Chancen für beide verbleibenden Türen besteht, ging die Zwei-Drittel-Fraktion offenbar von einer Kopplung aus, die aber im Nebel geblieben und deshalb in der Aufgabe nicht explizit formuliert worden ist.

Diesen von mir vermuteten Denkfehler habe ich in meinem Brief 1991 so formuliert: "Ich denke mir Tür eins. Der Moderator öffnet Tür drei. Also habe ich jetzt mit Tür zwei eine Zwei-Drittel-Chance." Auf der Basis dieses Fehlers, der sich natürlich auch nicht so "explizit" zeigt wie in meiner Formulierung, lassen sich einleuchtend scheinende Fallunterscheidungen, dekoriert mit Bildern von Autos und Ziegen, zur Begründung der Zwei-Drittel-Lösung aufstellen. Und dieser Denkfehler dürfte der Grund dafür sein, dass die erforderliche Spielregel nicht in die Aufgabenformulierung aufgenommen worden ist.

Eine Bestätigung für diese Vermutung liefert ungewollt Gero von Randow, ein prominenter Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung:

Auf S. 52 seines Buchs "Das Ziegenproblem" schildert er unter "Mein Irrtum" eine Spielvariante von Dr. Bijan Sabzevari. Diese Variante enthält analog zu dem von mir beschriebenen "Denkfehler" auch einen Gedanken als ersten "Spielzug". Das Sabzevari-Spiel lässt von Randow zunächst glauben, dass die Zwei-Drittel-Lösung auch ganz ohne den Zwang einer Spielregel folgt.

Wäre für von Randow die erwähnte Spielregel tatsächlich eine "Selbstverständlichkeit" und entscheidende Voraussetzung für die Zwei-Drittel-Lösung gewesen, hätte er in dem bei der Sabzevari-Varianten "explizit" fehlenden Zwang sofort den entscheidenden Unterschied und den Grund für eine 50:50-Lösung gesehen. Nach seinem "Irrtum" schreibt er schließlich - auf Seite 57; d.h. 50 Seiten nach der oben wiedergegebenen Leitaufgabe des Buchs:

"Die Savant'sche Lösung ist also nur richtig, wenn der Moderator weder die Autotür noch die erstgewählte Tür aufmachen darf."

Nachdem er also die richtige Aufgabenstellung aus seiner Lösung hergeleitet hat, fordert er seltsamerweise nicht die explizite Formulierung dieser Spielregel für das Ziegenproblem, sondern weicht der Kritik an der fehlenden Spielregel mit Mathematikerwitzen aus.

In dem ZEIT-Artikel vom 18. November 2004 und in dem von Gero von Randow persönlich geschriebenen Folgeartikel fällt die Problematik der Aufgabenstellung jedoch völlig unter den Tisch.

Verständlich, dass sich beim Schulbesuch von Bildungsforschern an einem Berliner Gymnasium ausgerechnet die Schüler des Leistungskurses Mathematik der 13. Klasse dem Unterjubeln der Zwei-Drittel-Lösung am stärksten widersetzten (DIE ZEIT, 18.11.2004). Beim zweiten Versuch haben die "Mathe-Cracks" dann die Bildungsforscher durch Zustimmung zufriedengestellt.

Was die Vertreter der Zwei-Drittel-Lösung - auch ohne die erwähnte Spielregel - so sicher gemacht hat, ist die scheinbar ebenso einfache wie "einleuchtende" Begründung, die übrigens auch Donald Granberg allein nicht anerkennt. Sie lautet:

"Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 1 steht, beträgt 1/3. Wenn ich bei meiner ersten Wahl bleibe, gewinne ich also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3. Bei einem Wechsel beträgt daher meine Gewinnchance 2/3."

Diese Argumentation ist bei der vorgelegten Aufgabenstellung falsch. Zwar beträgt am Anfang die Wahrscheinlichkeit für "Tür 2 oder 3" zwei Drittel. Nach Öffnen von Tür 3 ist aber die Wahrscheinlichkeit für die beiden verbleibenden Türen jeweils gleich 1/2 - egal, ob der Kandidat vorher auf Tür 1 oder sonstwohin gezeigt hat oder auch nicht. Tür 2 "erbt" nur dann die Zwei-Drittel-Wahrscheinlichkeit, wenn das Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür durch den Moderator von der Spielregel erzwungen worden ist.

Ein entscheidender Grund dafür, dass von vielen aus der "Zwei-Drittel-Fraktion" dieser entscheidende Fehler nicht erkannt worden ist, dürfte auch gewesen sein, dass man durch häufiges "Nachspielen" oder entsprechende Computerprogramme die Zwei-Drittel-Lösung scheinbar "beweisen" kann. Dass dabei aber die nicht formulierte Spielregel als unausgesprochene Voraussetzung in den "Beweis" einfließt, wurde nicht erkannt.

Die Reaktion der großen Mehrheit auf die angebliche Zwei-Drittel-Lösung für das "Ziegenproblem" kann man durchaus so interpretieren, dass sie "intuitiv" richtig erkannte, dass an der Sache etwas faul ist - nur dass sie nicht genau sagen konnte, wo der Haken liegt.

Zur weiteren Klärung mag auch folgender pragmatische Aspekt beitragen: Sie stellen im Bekanntenkreis die Aufgabe und versuchen, die Zwei-Drittel-Lösung zu begründen. Dabei sagen Sie u.a.: "Der Moderator muss ja eine andere Tür öffnen." Darauf kommt die Frage: "Warum muss er das?". Dann sind Sie mit Ihrem Latein am Ende.

Mit der erwähnten Spielregel ergibt sich folgende Aufteilung:

1. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/6

2. Auto hinter Tür 1 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/6

3. Auto hinter Tür 2 - Moderator öffnet Tür 3  : p = 1/3

4. Auto hinter Tür 3 - Moderator öffnet Tür 2  : p = 1/3

Wahrscheinlichkeit für Tür 2 nach Öffnen von Tür 3: p = 2/3

Versuchen wir's doch mit folgender Aufgabe; auch auf die Gefahr hin, dass dann der ganze Spuk verschwindet:

"Sie sind Kandidat einer Fernsehshow und stehen vor drei verschlossenen Türen. Hinter einer der Türen, die nach dem Zufallsprinzip bestimmt wurde, befindet sich der Hauptgewinn; hinter den beiden anderen jeweils eine Niete. Der Showmaster weiß, hinter welcher Tür sich der Gewinn befindet. Sie müssen nun zwei Türen bestimmen, aus denen der Showmaster eine Nietentür auswählen und öffnen muss. Bleibt dem Showmaster dabei eine Wahlmöglichkeit, so bestimmt er die von ihm zu öffnende Tür nach dem Zufallsprinzip. Danach dürfen Sie eine der beiden verbleibenden Türen auswählen. Geben Sie für jede der beiden Türen die Gewinnchance an.

Beispiel: Sie lassen den Moderator zwischen Tür 2 und Tür 3 auswählen, und er öffnet die Nietentür 3. Geben Sie jeweils die Gewinnchance für Tür 1 und Tür 2 an."

--Albtal 14:04, 21. Aug. 2008 (CEST)

Hallo, Albtal, herzlich willkommen in der Wikipedia. Danke für den Artikel. Er ist interessant und gut zu lesen. Leider ist er, denke ich, stilistisch nicht für den Haupttext geeignet. Auf Deiner Nutzerseite sollte es aber keinerlei Probleme geben. Hier wird er auch nicht von anderen geändert. Im Haupttext kann jeder ändern, wenn er etwas verbessern will. Deshalb würde auch dieser Artikel dort nur kurze Zeit so bleiben, wie er ist.

In den Wikipedia-Artikeln geht man meist von einer kurzen Definition aus, die am Anfang steht, und in der wird das Problem kurz erläutert, möglichst allgemeinverständlich. Dann folgen die EInzelheiten. Die Kurzdefinition, die vor Überschriften steht, erscheint als Kurzfassung auch auf PDA's zuerst.

Es gibt in der originalen Aufgabenstellung zwei direkte und ein indirektes Problem. Das indirekte (nicht mathematische) ist, dass Monty Hall jederzeit die Regeln ändern kann. (Das können wir im weiteren Verlauf ausklammern). Das erste direkte Problem ist das angesprochene: es muss immer eine Tür geöffnet werden. Das zweite direkte Problem ist: Es muss eine sein, die der Teinehmer nicht gewählt hat. Beide sind nur deshalb implizit in der Aufgabenstellung, weil die Show schon längere Zeit lief und in dieser Form bekannt war. Deshalb wohl tauchten sie auch in der Frage nicht auf. - Ich habe das "ungenaue Fragestellung" genannt. Es ist ja nicht primär eine Mathe-Aufgabe sondern eine allgemeine Textaufgabe gewesen. Zur Matheaufgabe reduziert, ergeben sich die von Ihnen (oder Dir, wenn ich das sagen darf), angegebenen Probleme. Die Ergebnisse brauche ich ja nicht zu wiederholen. Sie sind in sehr vielen Varianten diskutiert worden.

Viele Grüße Bernd

PS: Ich habe mich Anfang der 1990er Jahre erstmalig mit dem Problem beschäftigt. Insbesondere die Frage, dass der Spielmeister immer eine Tür öffnen muss, war bekannt, aber meist nicht oder nur implizit (durch den bisherigen Verlauf - den der Spielmeister aber ändern könnte, weil er kein "Gesetz" darstellt) angegeben.

--Hutschi 14:23, 21. Aug. 2008 (CEST)

PS: Ms. vos Savant acknowledged that the ambiguity did exist in her original statement. She said it was a minor assumption that should have been made obvious by her subsequent analyses.

Mir fiel folgender Vergleich hierzu ein: Hier haben wir ein typisches Induktionsproblem. Man schließt daraus, dass man bisher nur weiße Tauben gesehen hat, darauf, dass es keine blauen Tauben gibt. Dieser Schluss ist in der Wissenschaft nicht allgemeingültig zulässig. Allerdings ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Taube, die man sieht, wieder weiß ist, sehr groß, wenn man in einer Umgebung von lauter weißen Tauben sitzt. Wenn ein Schwarm blauer Tauben kommt, hat man zwei Möglichkeiten: 1. Man sagt: das sind keine Tauben, sie sind ja nicht blau. 2. Man erweitert die ursprünglichen Erkenntnisse. Wenn der Moderator bisher immer so gehandelt hat, als sei es eine Regel, dass er immer eine Tür wählt, und dann ändert er die Strategie für ein Spiel, nur eine Tür zu öffnen, wenn er die Wahl zwischen zwei Nieten hat, dann kann man das nicht mal erkennen. Aber in diesem einen Spiel ist die Wahrscheinlichkeit durch Wechsel zu gewinnen, gleich Null, man kann es aber von den sonstigen bisherigen Spielen nicht unterscheiden. Erst wenn der Showmaster keins der Tore öffnet, wird der Unterschied sichtbar.

Übrigens kann der Showmaster, wenn die Vergangenheit bekannt ist, und wenn er auch vorher weiß, welche Tür in den nächsten Spielen jeweils den Hauptgewinn enthält, für ein geeignet hinten liegendes Spiel Informationen übermitteln. Dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit drastisch. Zum Beispiel kann er, wenn er zweimal hintereinander die Wahlmöglichkeit hat - der kandidat also das Auto gewählt hat, für eine "0" Tor 2 und für eine "1" Tor 3 wählen (mit Tor "1" erstes nicht vom Kandidaten gewähltes Tor, Tor 2 zweites nicht vom Kandidaten gewähltes Tor). Dann reicht das bereits, um eindeutige Informationen für das nächste Spiel zu senden. (00=a, 10=b,11=c, keine Wahlmöglichkeit - es wird nicht berücksichtigt. Im nächsten Spiel ist dann die Stellung klar. Die Konstellation kommt aber selten vor und ist nur ein Beispiel.)

Um zu zeigen, welches Tor von a oder c es im nächsten Spiel nicht ist, reicht bereits ein Spiel mit Wahlmöglichkeit aus. Wenn der Teilnehmer dieses Verfahren kennt, kann er dann sein Tor geeignet wählen, um mit Sicherheit zu gewinnen. Das kann nur vermieden werden, wenn die Tore zufällig gewählt werden, was aber in der Originalaufgabe nicht steht. Die Beobachtung früherer Spiele ist ja nicht verboten. Auf diese Weise wäre eine Wahrscheinlichkeit von 100% (Nutzung der Information) bzw. von 66% (bei Wechselnotwendigkeit, weil im vorigen Spiel keine Information übertragen werden konnte.) möglich. All das wird durch die genauere Formulierung des Problems vermieden. (In den Artikel kann ich das wegen "Theorienfindung" nicht schreiben. Ist diese Lösung wissenschaftlich bereits untersucht worden?) (Ich habe es nur umrissen, noch nicht mathematisch exakt formuliert.) --Hutschi 16:47, 21. Aug. 2008 (CEST)

Hallo Bernd,

vielen Dank für Deine Hinweise.

Zu der Show bzw. den Shows, auf die sich die ursprüngliche Leserfrage an Marilyn vos Savant bezog, habe ich schon verschiedene Beschreibungen gelesen, die insgesamt kein einheitliches Bild ergeben, außer dass sie in die gleiche "Kategorie" von Spielen einzuordnen sind.

Ich gehe selbstverständlich davon aus, dass man den wiederholten Ablauf einer Spielshow durchaus (auch "implizit") als "Spielregel" bezeichnen kann, wenn alle Beteiligten danach handeln und sie als solche betrachten. Es ist wohl auch üblich, bei den ersten Sendeungen die Zuschauer explizit auf diese Regeln hinzuweisen. Dieser Hinweis wird dann sicher zumindest von Zeit zu Zeit wiederholt, z.B. "für die neuen Zuschauer", die Zuschauer in einem neu dazugeschalteten Sendegebiet usw..

Zur "Monty-Hall-Show": Ich habe u.a. gelesen, dass Monty Hall die Phase der Entscheidung einfach etwas spannender gemacht hat, indem er dem Kandidaten nicht gleich zeigte, ob er gewonnen hat oder nicht, sondern erst einmal eine nicht gewählte Ziegentür öffnete, aber ohne einen Wechsel anzubieten. Das erklärt meines Erachtens übrigens auch, dass Gardner und Monty Hall in ihrer Formulierung der erforderlichen Spielregel auf den Zusatz "and offer(s) a switch" Wert legen. Es könnte übrigens sein, dass sich die Frage des Parade-Lesers auf diese Situation bezog und seine Frage auch hätte lauten können: "Was wäre, wenn der Kandidat jetzt eine zweite Wahl hätte?" (Wie die korrekte(n) Antwort(en) auf diese Frage lauten müsste(n), wissen wir ...)

Ein ähnliches Spiel gab es wohl auch in einer anderen Form: Nicht nur ein Kandidat darf auswählen, sondern zwei, jeder eine andere Tür. Der Moderator öffnet dann eine Nietentür der beiden ausgewählten Türen, deren Kandidat nun aus dem Spiel ausscheidet. Der übriggebliebene Kandidat darf nun die dritte Tür wählen, wenn er will.

Dieses Spiel wäre natürlich als Aufgabe viel "schöner" gewesen. Die "Mehrdeutigkeit" der "Originalproblemstellung" ist hier von vornherein ausgeschlossen, auch ohne "implizite Spielregel" bzw. Kenntnis der Spielshow. Allerdings wäre diese Aufgabe wohl nicht "um die Welt gegangen". Vielmehr ist zu vermuten, dass sie in zahlreichen Kolumnen ohne weiteres Aufsehen schon längst geklärt worden war ...

Hier wird auch noch einmal ein entscheidender Unterschied zur "Ziegenproblem-Debatte" deutlich: Wer beim Ziegenproblem (durchaus plausiblerweise) davon ausgeht, dass aus dem Ablauf selbst die späteren Gewinnwahrscheinlichkeiten folgen, wird durch "implizite Annahmen" des Aufgabenstellers "ausgetrickst".

Ich kann es nicht lassen, zu den "impliziten Annahmen" noch einaml zu sagen: Wer weiß ... (siehe meinen Artikel)

Denn: Jeder kennt tausend Situationen, in denen jemand merkt, dass ein anderer etwas falsch verstanden hat, und dann die Situation selbstverständlicherweise sofort klärt ...

Nicht nur der gesamte Aufbau der Bücher von Gero von Randow und von Marilyn vos Savant wäre nicht möglich gewesen, wenn sie die korrekt formulierte Aufgabe an den Anfang gestellt hätten.

Im Debattenverlauf haben sich drei Gruppen herausgebildet: 1. Die große Mehrheit mit einer 50-zu-50 Lösung; 2. Die exklusive Minderheit mit einer Zwei-Drittel-Lösung; 3. "A very small percentage of people", die bei der gegebenen Aufgabenstellung die Zwei-Drittel-Lösung für falsch halten.

Die drei Gruppen kann man folgendermaßen in Beziehung setzen:

Gruppe 3 hat recht und lässt die Antwort von Gruppe 1 durchaus plausibel erscheinen, während Gruppe 2 unrecht hat.

Gruppe 2 versucht die Situation nun folgendermaßen zu retten: Wir haben die Aufgabe so verstanden, dass die Zwei-Drittel-Lösung richtig ist. Die große Mehrheit hat die Aufgabe genauso verstanden wie wir, kommt aber zu einer falschen Lösung, weil sie nach ihrer Intuition urteilt und nicht auf Grund präzisen mathematischen Sachverstands.

Gruppe 1 kann nun sagen: Das mit dem mathematischen Sachverstand halten wir für eine sehr gute Idee. Wir schließen uns Gruppe 3 an, die bewiesen hat, dass wir mit unserer Intuition richtig lagen. Die Aufgabenstellung nachträglich zu korrigieren und uns zu unterstellen, dass wir unsere Antwort dann auch nicht ändern würden, ist lächerlich.

Deine Überlegungen zu den "Botschaften", die der Moderator durch sein Verhalten aussenden kann, wenn der Kandidat am Anfang die Auto-Tür gewählt hat, halte ich für korrekt.

Allerdings werden durch solche Annahmen die ohnehin schon zahllosen Möglichkeiten, die sich bei Überlegungen zur "Strategie des Moderstors" ergeben, durch "Öffnen einer weiteren Schleuse" ins Beliebige gesteigert. Denn, wenn ich es richtig verstehe, wäre der Moderator dann ja ein Schwindler, oder wie soll der Kandidat "das Verfahren" sonst erfahren? Oder hast Du gemeint, dass der Moderator diese Variante einbaut für die Zuschauer, die besonders gut aufpassen?

Meiner Ansicht nach sollte man "selbstverständliche" Annahmen stets als solche akzeptieren. (Und wenn es Missverständnisse gibt, kann man sie ja sofort klären.)

Geht man von den Beiträgen zum Ziegenproblem aus, könnte man selbst die einfachste aller Wahrscheinlichkeitsaufgaben im Nebel versinken lassen:

Der Würfel befindet sich unter einem von zwei Bechern. Mit welcher Wahrscheinlichkeit errät man den richtigen?

Wenn nun der 'Spielleiter' den Würfel immer unter den Becher auf 'Platz 1' legt: Wie groß sind dann die Chancen bei 'Platz 2'? usw. usf.

Die "übergenaue" Aufgabenformulierung, wie ich sie zum ersten mal bei Donald Granberg im Anhang von vos Savants Buch gelesen habe, ist doch nach folgendem Muster entstanden:

Wenn spitzfindige Mathematiker schon Einwände bringen, an die sonst keiner denkt, dann schreiben wir eben auch alles Selbstverständliche in die Aufgabe.

Das beinhaltet natürlich "implizit" die These, dass die (wesentlichen) Einwände genauso spitzfindig sind wie die anderen, tatsächlich spitzfindigen.

Und später kann man dann sogar noch in den Nebel hinein sagen: "Wir haben doch längst alle Bedingungen aufgeführt. Schau doch in die Literaturangaben x, y, z...")

Womit wir wieder beim "Vertuschen" wären ...

Gero von Randow stellt die Einwände von Mathematikern (wie Gardner und Diaconis) einfach durch Mathematikerwitze in eine lächerliche Ecke.

Schön, dass von Randow im selben Buch (unbewusst) die Bestätigung dafür liefert, wie wichtig diese Einwände sind.

Viele Grüße aus dem Albtal

--Albtal 11:06, 22. Aug. 2008 (CEST)

Danke für die ausführliche Antwort. "Denn, wenn ich es richtig verstehe, wäre der Moderator dann ja ein Schwindler, oder wie soll der Kandidat "das Verfahren" sonst erfahren? Oder hast Du gemeint, dass der Moderator diese Variante einbaut für die Zuschauer, die besonders gut aufpassen?" Da es ein mathematisches Problem ist, ist das nicht relevant. Ich halte dem Moderator nicht für einen Schwindler. Allerdings kann er versteckte Hinweise auf diese Art geben für Zuschauer, die besonders gut aufpassen. Eine direkte Anwendung im wirklichen Spiel ist kaum möglich, da die Übermittlung nur klappt, wenn jemand die Tür mit dem Auto gewählt hat, also in einem Drittel der Fälle bei Zufallsverteilung. Mir gefällt der Artikel eigentlich gut. Ich habe die Stufen von Gruppe 2 (Intition) zu 1 sehr schnell durchlaufen, durch Probieren. (Erste Intuition war 1/3 zu 2/3, kurzes Nachdenken 1/2:1/2, aber ohne Beweis wollte ich es nicht gelten lassen. Einfaches Würfeln hat die Verteilung sehr schnell gezeigt, ebenso, warum es so ist.) Dann suchte ich nach Auswegen (Stufe 3). Nachdem erst mal die Originalaufgabenstellung die offenen Stellen zeigte, suchte ich nach weiteren Lösungen. Nicht um dem Moderator etwas zu unterstellen, sondern um das mathematische Problem zu lösen. Im Original gibt er Hilfestellung, warum soll er das nicht erweitern? (Die Frage der "Übermittlung von Botschaften" ähnelt dann der der Kooperation im iterierten Gefangenendilemma. - Allerdings würde der Sender schnell einen Strich durch die Rechnung machen, wenn es genügend viele Teilnehmer bemerken. Viele Grüße vom Elbtal ins Albtal. --Hutschi 11:26, 22. Aug. 2008 (CEST)

Bei der oben erwähnten Spielvariante, bei der zwei Kandidaten aus drei Türen auswählen, könnte man (egal, ob nun "spitzfindigerweise" oder "präziserweise") auf den Einwand kommen, dass ja gar nicht klar ist, ob der Moderator zum Zeitpunkt der ersten Wahl der Kandidaten den weiteren Ablauf in der beschriebenen Weise schon unabänderlich festgelegt hat. Aber ob spitzfindig oder nicht: Auch diese Mehrdeutigkeit lässt sich durch eine kleine Umformulierung ausschließen (und zwar innerhalb von einigen Sekunden und ohne jeden Streit ...).

--Albtal 09:57, 23. Aug. 2008 (CEST)

Weitere Ziegen

Wie ich bemerkt habe wird in fast alle Wikipedia der Welt das Ziegenproblem genannt und falsch erklärt. Und folglich wird in vielen Schulen diese falsche Erklärung gepredigt. Ich glaube im oben stehende Text wird eine kleine Minderheitsgruppe 3 erwähnt die das wissen, und darin recht haben. Weil sie das schreiben nehme ich an sie gehören zu dieser Gruppe. Ich jedenfalls. Auch in der deutsche Wikipedia wird die 'einfache Lösung' gegeben, die leider nicht die Lösung des Problems ist. Darüber hat sich wieder eine uferlose Diskussion mit mir gebildet, bis jetzt mit einige Teilnehmer die immer frühzeitig sich verärgert zurückzogen. Sie sind doch auch der Meinung die Artikel ist deshalb mangelhaft? (Entschuldige bitte mein Deutsch, ich bin Niederländer.) Nijdam 23:35, 14. Feb. 2009 (CET)

@Nijdam:

Was ich zum Ziegenproblem und zum Verlauf der "Debatte" dazu zu sagen habe, habe ich in meinen Diskussionsbeiträgen hier bei Wikipedia seit dem 20. August 2008 ausführlich dargestellt.

Ich teile Ihre Auffassung, dass das "Ziegenproblem" zusammen mit einer Lösung in die Öffentlichkeit und in Bildungsinstitutionen gebracht wurde, die bei der gestellten Aufgabe falsch war. Auch bei Wikipedia hat es lange gedauert, bis man die geeignete Aufgabenstellung, die zur 2/3-Lösung passt, gefunden hat.

Die "Nachwirkungen" der falschen Aufgabenstellung und des fehlenden Problemverständnisses sind auch im aktuellen Artikel (7. April 2009) und in den Diskussionen dazu noch deutlich zu erkennen.

Neben zahlreichen verschwommenen, umständlichen und auch falschen Formulierungen ist besonders zu erwähnen, dass Gero von Randows Buch auch jetzt noch als erstes in der Literaturliste erwähnt wird, obwohl es von der falschen Aufgabenstellung ausgeht. Entsprechendes gilt für den Weblink "Die Zeit: Das Rätsel der drei Türen".

Aufschlussreich ist in diesem Zusammenhang auch folgender Link im Artikel "Monty Hall problem" in der englischen Wikipedia:

http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html?_r=1#

Dort heißt es u.a.:

"But before Monty Hall opens the door you chose, he wants to make the game more interesting. He opens one of the other doors to reveal a goat."

Wenn aber der Moderator nicht durch die Spielregel gezwungen ist, eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen, ist die 2/3-Lösung falsch.

Zu Ihrer Kritik an der "Einfachen Erklärung": Ich habe sie zusammen mit dem Abschnitt "Detaillierte Begründung" am 3. September 2008 folgendermaßen in den Artikel eingefügt:

"Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen."

Diese Aussagen sind aus meiner Sicht ebenso einfach (und, wie ich hoffe, allgemein verständlich) wie mathematisch 100%ig korrekt.

Ihre Kritik bezieht sich offensichtlich darauf, dass damit die konkrete Situation vor der zweiten Wahl mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nicht berücksichtigt wird.

In der Tat abstrahiert meine "Einfache Erklärung" davon und erläutert auf einfache Weise den ebenfalls einfachen Satz: "Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle."

In der Tat wird es komplizierter, wenn man die konkrete Situation vor der zweiten Wahl betrachtet. Ich bin in meinen Diskussionsbeiträgen auch darauf eingegangen und habe in diesem Zusammenhang auch auf den Artikel von Marc Steinbach hingewiesen.

Wer diese detaillierten mathematischen Überlegungen nicht nachvollziehen will, kann unter Bezug auf die "Einfache Erklärung" durchaus zurecht und mathematisch exakt sagen: Wenn ich (immer) wechsle, gewinne ich in zwei Drittel der Fälle.

Man kann es auch so sagen: Wer die "Einfache Erklärung" als Begründung nennt, drückt auf andere Weise aus, was als letzter Satz in der "Detaillierten Begründung" im nächsten Abschnitt (3. September 2008) steht:

"Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Tür 1 ist eine Invariante des Spiels; ebenso die Gewinnwahrscheinlichkeit für "Tür 2 oder 3"".

Wie Sie richtig erkannt haben, betrachte ich unter "Detaillierte Begründung" auch die Situation, die Sie unter "Einfache Erklärung" vermissen. Sie haben ja auch folgenden Satz gegen Kritik verteidigt:

"Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle."

Leider wurde der Abschnitt "Einfache Erklärung" vom 3. September 2008 durch andere Autoren, auch durch fragwürdige Zusätze, wieder vernebelt.

Vielleicht wollen einige immer noch nicht glauben, dass das Ziegenproblem bei korrekter Aufgabenstellung so einfach zu lösen ist.

Aufschlussreich ist vielleicht auch folgende scheinbare Kleinigkeit: Ich hatte in der "Einfachen Erklärung" geschrieben: "... Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, ...". Das Wort "Zeigt" wurde inzwischen durch das Wort "Wählt" ersetzt.

Ich hatte aber aus gutem Grund "Zeigt" geschrieben. Denn bei richtigem Verständnis der Aufgabe ist die erste Aktion überhaupt keine "Wahl", sondern die Aufforderung an den Moderator, eine der beiden anderen Türen (mit einer Niete) zu öffnen. Und der Kandidat weiß ja laut Spielregel, dass die (eigentliche) Wahl erst danach kommt.

Der Abschnitt wurde auch völlig unnötigerweise und unter Verlust an Verständlichkeit aufgebläht. So hatte ich z.B. auf die "Symmetrie" dezent durch die Formulierung "Am Beispiel" hingeweisen, und die gesamte hinzugefügte erste Hälfte des Abschnitts erhöht unnötigerweise die Redundanz. Andererseits wurde das Wort "muss", das sich auf die entscheidende Stelle der Spielregel bezieht, gestrichen ...

Warum der Abschnitt "Detaillierte Begründung" jetzt unter der Überschrift "Begründung über Wahrscheinlichkeiten" nach unten gerutscht ist, kann ich nicht nachvollziehen, zumal schon vorher von Wahrscheinlichkeiten die Rede ist.

An der Diskussion zum Artikel und am Artikel selbst beteilige ich mich schon seit längerem nicht mehr. Dazu müsste sich schon die gesamte "Wellenlänge" ändern. Aber Ihre Nachricht wollte ich nicht unbeantwortet lassen.

Viele Grüße --Albtal 12:06, 7. Apr. 2009 (CEST)

Usurpation of user en:User:Albtal on 10th May, 2012

--Albtal (Diskussion) 13:25, 10. Mai 2012 (CEST)

Meinungsbildung im Internet. Blog-Artikel

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