Benutzerin:Analemma/Besselsche Elemente

Umrisse des Kern- und Halbschattens (grün) auf der Erdoberfläche und in der Fundamentalebene (rot) während einer totalen Sonnenfinsternis

Die Besselschen Elemente sind geometrische Größen, die Friedrich Wilhelm Bessel in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts für die Beschreibung des eine Sonnenfinsternis verursachenden Schattens des Monds eingeführt hat. Dieser Schatten stellt die allgemeinen Bedingungen, die zu einer Finsternis auf der Erde führen, dar. Von ihnen ausgehend werden die Umstände einer Finsternis, die an jedem Punkt auf der Erdoberfläche verschieden sind, erst in einem zweiten, auch von Bessel beschriebenen individuellen Schritt ermittelt.

Besselsche Elemente können auch bei der Behandlung von Stern- oder Planetenbedeckungen durch den Mond sowie von Transiten der inneren Planeten Venus und Merkur vor der Sonne verwendet werden.

In den Besselschen Elementen für eine Sonnenfinsternis sind die Positionswerte (Ephemeriden) und die Durchmesser von Sonne und Mond verrechnet. Zu ihrer Angabe führte Bessel ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Erdmittelpunkt ein: das Fundamentale oder Besselsche Koordinatensystem. Dessen z-Achse ist zur Schattenachse parallel, so dass der Schatten rechtwinklig von der x/y-Ebene (fundamentale oder Besselsche Ebene) geschnitten werden. Die beiden Richtungswinkel der z-Achse im äquatorialen Koordinatensystem (rotierend) sind die beiden ersten, und die x- und die y-Koordinate der Schattenachse sind zwei weitere der insgesamt acht Besselschen Elemente.

Der Mondschatten besteht aus einem Halb- und einem Kernschatten-Kegel (koaxiale gerade Kreiskegel). Seine Form und Längs-Lage wird mit den vier weiteren Besselschen Elementen erfasst. Die Elemente Halbwinkel der beiden Schattenkegel werden über die Zeit der Sonnenfinsternis mit konstanten Werten in Näherung angegeben. Die restlichen Elemente sind die Radien der beiden Schattenkegelschnitte mit der x/y-Ebene, die zusammen mit den halben Kegelwinkeln die Lage der Kegel auf der gemeinsamen Achse bestimmen.

Die im Voraus berechneten Werte der sechs sich während der Finsternis verändernden Besselschen Elemente werden in einschlägigen Publikationen (Astronomische Jahrbücher u.ä.) für kurz aufeinander folgende Zeitpunkte (z.B. alle 10 Minuten) und zusammen mit den konstanten halben kegelwinkeln veröffentlicht. Sie sind die Grundlage für Vorausberechnungen dafür, wie sich die Sonnenfinsternis an jedem Ort auf der Erde zeigen wird. Bei einer individuellen Rechnung ist zusätzlich nur von der ins Fundamentalsystem umzurechnenden Lage des vorgesehenen Beobachtungsortes auszugehen. Eine umfassendere Rechnung auf Grundlage der Besselschen Elemente ergibt den Pfad, auf dem der Rand des Mond-Kernschattens die Erdoberfläche überstreichen wird (die Halbschatten-Wanderung ist mit bloßem Auge nicht erkennbar). Hierbei wird in einander folgenden Zeitpunkten die Durchdringung des Kernschattenkegels mit der Erdoberfläche bestimmt.

Die Ermittlung und Anwendung der Besselschen Elemente wurde später vor allem von William Chauvenet vervollkommnet. Spätestens seitdem (Ende des 19. / Anfang des 20. Jahrhunderts) wird der Begriff Besselsche Elemente gebraucht.

Geschichte

Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)

Dieses Verfahren, Stern- und Planetenbedeckungen sowie Sonnenfinsternisse zu beschreiben, wurde vom deutschen Wissenschaftler Friedrich Wilhelm Bessel in den 1820er Jahren ausgearbeitet. Die erste Arbeit Bessels zum Thema Sternbedeckungen findet sich in den Astronomischen Nachrichten Nr. 50 aus dem Jahre 1824, in der er einige Berechnungen auf Basis zuvor beobachteter Sternbedeckungen anstellte. Im Jahr 1829 veröffentlichte er eine verallgemeinernde Arbeit Ueber die Vorausberechnung der Sternbedeckungen in den Astronomischen Nachrichten Nr. 145. Noch im selben Jahr entwickelte er die Idee weiter, indem er das Verfahren mit dem Ziel der Anwendung für Planetenbedeckungen und Sonnenfinsternisse verallgemeinerte.

William Chauvenet (1820–1870)

Bis zu diesem Zeitpunkt wurden zur Berechnung zwei unabhängige Verfahren mit unterschiedlichen Zielen verwendet. Das erste Verfahren diente der Bestimmung der Gegebenheiten, wie sie sich einem Beobachter an einem konkreten Ort darstellten. Die hierbei verwendete Methode ging bereits auf Johannes Kepler zurück und war später von Jérôme Lalande und Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger weiterentwickelt worden. Das zweite Verfahren, das auf Joseph-Louis Lagrange zurückzuführen ist, diente der Berechnung des Zeitpunktes der Konjunktion. Da sich dieses Verfahren auf den Erdmittelpunkt bezog und keine Aussage über lokale Gegebenheiten auf der Erdoberfläche machen konnte, wurde es zur Berechnung von Finsternissen weniger häufig angewandt als das erste. Es vereinfachte jedoch viele andere astronomische Berechnungen. Bessels Ansatz bestand nun darin, Lagranges Verfahren so weiterzuentwickeln, dass damit auch die Berechnung der lokalen Gegebenheiten möglich wurde, womit er eine Kombination beider Verfahren erreichte.

Im zweiten Band seiner Astronomischen Untersuchungen veröffentlichte Bessel 1842 eine vier Abschnitte umfassende Abhandlung mit dem Titel Analyse der Finsternisse. Darin fasste er seine bisher veröffentlichten Arbeiten zu diesem Thema zusammen und rundete sie durch einige Ergänzungen ab. Diese Veröffentlichung diente als Grundlage für viele Astronomen, die sich später mit diesem Thema auseinandersetzten. Peter Andreas Hansen verwendete in seinem 1858 veröffentlichten Werk Theorie der Sonnenfinsternisse und verwandter Erscheinungen abweichend von Bessel die Schnittgerade der Ekliptik mit der Fundamentalebene als $x$-Achse. Bessels Variante, die Verwendung der Äquatorebene statt der Ekliptik, besaß jedoch einige Vorteile, wie 1863 William Chauvenet hervorhob. Chauvenet, ein amerikanischer Astronom, folgte in seinem Manual of Spherical and Practical Astronomy größtenteils dem Verfahren Bessels, entwickelte aber für einige Teilprobleme eigene Lösungsansätze. Chauvenets Darstellung war daraufhin die Basis für viele weitere Entwicklungen auf diesem Gebiet.

Auch in der heutigen Zeit, in der die Berechnungen von Finsternissen nicht mehr manuell, sondern elektronisch erfolgen, haben die Besselschen Elemente ihre Bedeutung nicht verloren. Im Gegenteil, sie stellen das Bindeglied zwischen den Berechnungen des Zeitpunkts des Auftretens einer Finsternis sowie den Berechnungen der lokalen Gegebenheiten dar. Viele Computerprogramme sind auf eine der beiden Berechnungen spezialisiert, wobei die Besselschen Elemente sozusagen als Schnittstelle fungieren.

Sonnenfinsternisse

Die an einem Ort auf der Erdoberfläche beobachtbare gegenseitigen Bedeckung von Gestirnen hängt von den Bahndaten des bedeckten entfernteren sowie des bedeckenden näheren ab. Diese Daten (Ephemeriden) werden üblicherweise im geozentrischen rotierenden äquatorialen Koordinatensystem als Winkel Rektaszension und Deklination angegeben. Aus ihnen kann somit nicht unmittelbar auf die auf der Erdoberfläche sichtbare Gestirnsbedeckung geschlossen werden. Zur Vorbereitung der Umrechnung auf die Verhältnisse auf der Erdoberfläche hat Bessel aus den Bahndaten der beiden Gestirne den Schatten, der die Sicht auf das bedeckte Gestirn verhindert (Kernschatten) oder einschränkt (Halbschatten), in einem anderen geozentrischen Koordinatensystem ermittelt. Die daraus resultierenden Besselschen Elemente erleichtern die Berechnung für die Erdoberfläche, wobei sie für alle individuellen Orte gültig sind.

Die Bedeckung der Sonne durch den Mond stellt im Hinblick auf die Beschreibung der Gegebenheiten auf der Erde den kompliziertesten Okkultationstyp dar, da sowohl der bedeckte Körper – die Sonne – als auch der bedeckende Körper – der Mond – nicht zu vernachlässigende Sehwinkel haben. Zudem muss die scheinbare Bewegung der Sonne im Unterschied zu den Fixsternen während der Bedeckung berücksichtigt werden.

Definition der Besselschen Elemente einer Sonnenfinsternis

Fundamentalebene mit den Besselschen Elementen $x$, $y$, $l_{1}$ und $l_{2}$

Die $z$-Achse des von Bessel mit Ursprung im Erdmittelpunkt eingeführten rechtwinkligen Koordinatensystems (fundamentales oder Besselsches Koordinatensystem) ist parallel zur Schattenachse und zeigt zur Sonnenseite der Erdoberfläche. Ihre Richtungswinkel Rektaszension $a$ und Deklination $d$ im rotierenden äquatorialen Koordinatensystem sind zwei von acht Besselschen Elementen. In der Regel wird anstatt der Rektaszension $a$ der Stundenwinkel $\mu$ im ortsfesten äquatorialen Koordinatensystem als Stundenwinkel von Greenwich angegeben.

Auf der die Erde mittig schneidenden $x/y$-Ebene (Fundamentalebene) steht die Schattenachse (Verbindungsgerade der Zentren von Sonne und Mond) senkrecht. Die Koordinaten $x$ und $y$ des Schnittpunktes sind zwei weitere Besselsche Elemente. Als positive $x$-Achse ist die östliche Hälfte der Schnittgeraden der Fundamentalebene mit der Äquatorebene definiert, die $y$-Achse weist nach Norden (rechtshändiges Koordinatensystem).

Der Radius des Halbschattenkegels in der Fundamentalebene wird durch $l_{1}$ beschrieben, der des Kernschattenkegels durch $l_{2}$. $l_{2}$ ist dabei für eine totale Finsternis negativ, für eine ringförmige positiv.< Die Werte $x$, $y$, $l_{1}$ und $l_{2}$ werden in der Regel in Einheiten des Äquatorradius der Erde angegeben.

Neben diesen sechs Besselschen Elementen, die sich im Verlauf der Finsternis ändern und für kurz aufeinanderfolgende Zeitpunkte (z.B. alle 10 Minuten) angegeben werden, gibt es noch zwei als konstant zu betrachtende Elemente: Die Größen $f_{1}$ und $f_{2}$ sind die halben Öffnungswinkel des Halb- bzw. Kernschattenkegels (i.d.R als $\tan f_{1}$ und $\tan f_{2}$ angegeben).

Berechnung der Besselschen Elemente

Die für Sonnenfinsternisse gebrauchten Besselschen Elemente gehen aus vom zeitlichen Verlauf der geozentrischen Positionen von Sonne und Mond, die über deren Ephemeriden verfügbar sind.

Richtungswinkel der z-Achse

Ortsvektoren von Sonne und Mond sowie deren Differenzvektor, der der $z$-Achse entspricht

Der Einheitsvektor $\mathbf {k}$ der fundamentalen z-Achse ist mit dem auf seine Länge  $|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|$  bezogenen Differenzvektors  $\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}$  identisch.

$\mathbf {k} ={\frac {\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}.$

Die ihn darstellenden Vektoren $\mathbf {r} _{s}$ zur Sonne und $\mathbf {r} _{m}$ zum Mond haben die folgenden kartesischen Koordinaten im äquatorialen Koordinatensystem:

$\mathbf {r} _{s}=r_{s}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \alpha _{s}\cos \delta _{s}\\\sin \delta _{s}\end{pmatrix}},$

$\mathbf {r} _{m}=r_{m}{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \alpha _{m}\cos \delta _{m}\\\sin \delta _{m}\end{pmatrix}}.$

Mit den gesuchten Richtungswinkeln  $a$ und $d$   der fundamentalen z-Achse ausgedrückt lautet der Einheitsvektor $\mathbf {k}$ so:

$\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}\cos d\cos a\\\cos d\sin a\\\sin d\end{pmatrix}}.$

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für $\mathbf {k}$ und Einsetzen der kartesischen Koordinaten der Vektoren $\mathbf {r} _{s}$ und $\mathbf {r} _{m}$ entstehen drei Gleichungen (für jede Koordinate eine) zur Bestimmung (zwei Gleichungen genügen) der beiden Unbekannten $a$ und $d$.

Die übliche Einheit für die Entfernungen $|\mathbf {r} _{s}$ und $|\mathbf {r} _{s}$ ist der Äquatorradius der Erde. In den Ephemeridentafeln wird eine Entfernung oft nicht direkt, sondern durch die sich ebenfalls auf den Erdradius beziehende Parallaxe$P$ ausgedrückt. Eine Entfernung kann mit

$r=1/\sin P$

berechnet werden.

Die Umrechnung der Rektaszension $a$ in den Stundenwinkel $\mu$ von Greenwich erfolgt mit der Gleichung

$\mu =\theta -a$       ($\theta$ ist die Sternzeit von Greenwich).

x- und y-Koordinate der Schattenachse

Die zwei anderen Einheitsvektoren des fundamentalen Koordinatensystems sind:

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}-\sin a\\\cos a\\0\end{pmatrix}},\quad \quad \mathbf {j} ={\begin{pmatrix}-\cos a\sin d\\-\sin a\sin d\\\cos d\end{pmatrix}}.$

Sie ergeben sich daraus, dass sie zu  $\mathbf {k}$ senkrecht stehen und wie die Orientierung der fundmentalen x-Achse (in der Äquastorebene bzw. der äquatorialen x/y-Ebene liegend, nach Osten positiv) und y-Achse (Rechtshändigkeit) gewählt ist.

Das jeweilige skalare Produkt aus Einheitsvektor und Ortsvektor entweder der Sonne oder des Mondes ist die fundamentale $x$- bzw. die $y$-Koordinate der Schattenachse. In den folgenden Produkten ist der Ortsvektor $\mathbf {r} _{m}$ des Mondes (siehe oben) verwendet:

 $x=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {i} =r_{m}\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right),$

 $y=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {j} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right).$

($z_{m}=\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {k} =r_{m}\left(\sin \delta _{m}\sin d+\cos \delta _{m}\cos d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)\right),$   wird zur Berechnung der Schattenradien benötigt, siehe unten)

Öffnungswinkel der Schattenkegel

Bestimmung der halben Öffnungswinkel $f_{1}$ und $f_{2}$ der Schattenkegel

Die halben Öffnungswinkel $f_{1}$ und $f_{2}$ der Schattenkegel lassen sich in rechtwinkligen Hilfsdreiecken mit der Distanz  $|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|$  (siehe oben) zwischen Sonnen- und Mondmittelpunkt als Hypotenuse berechnen. Deren Ankatheten sind Parallelen zu den die Kegel bildenden Tangenten an Sonne und Mond. Die Gegenkatheten sind der um den Mondradius $\rho _{m}$ vergrößerte bzw. verkleinerte Sonnenradius $\rho _{s}$ :

$\sin f_{1}={\frac {\rho _{s}+\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}$

$\sin f_{2}={\frac {\rho _{s}-\rho _{m}}{|\mathbf {r} _{s}-\mathbf {r} _{m}|}}$

Radien der Schattenkegel in der Fundamentalebene

Um die letzten beiden noch fehlenden Besselschen Elemente - die Radien $l_{1}$ und $l_{2}$ von Halb- und Kernschatten in der Fundamentalebene - berechnen zu können, werden die Abstände $z_{V}$ der Kegelspitzen von der Fundamentalebene benötigt. Die Spitze V₁ des Halbschattens liegt auf der Schattenachse zwischen Sonne und Mond, V₂ des Kernschattens auf der entgegengesetzten Seite des Monds. Dabei gilt:

$z_{V_{1}}=z_{m}+{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{1}}}$

$z_{V_{2}}=z_{m}-{\frac {\rho _{m}}{\sin f_{2}}}$

$z_{m}$ ist die z-Koordinate des Monds (siehe oben).

Der Mondradius ist  $\rho _{m}=0{,}2725076$ (mit Erdradiuas als Einheit). Da die Totalität einer Finsternis nicht vollkommen ist, solange durch das tiefste Mondtal scheinende Sonnenstrahlen den Beobachtungsort noch erreichen, wird zur Berechnung der Totalitätszone und -dauer gelegentlich der kleinere Wert $\rho _{m}=0{,}272281$ benutzt.

Mittels dieser Abstände und der Kegelwinkel lassen sich die Radien der Schattenkegel in der Fundamentalebene wie folgt ermitteln:

$l_{1}=z_{V_{1}}\tan f_{1}$

$l_{2}=z_{V_{2}}\tan f_{2}$

Veröffentlichung der Besselschen Elemente

Ein Werte-Satz Besselscher Elemente gilt für einen Zeitpunkt. Um einer Bedeckung zeitlich folgen zu können - eine Sonnenfinsternis dauert zum Beispiel mehrere Stunden, wobei sie sich dauernd verändert - werden weitere Werte-Sätze berechnet und veröffentlicht. Ausgenommen sind die als konstant angesehenen Öffnungswinkel der Schattenkegel.

Werte-Sätze für kurz aufeinanderfolgende Zeitpunkte

Häufig gewähltes Intervall sind 10 Minuten, zum Beispiel im Astronomical Almanac. Dort sind allerdings für den gesamten Finsternisverlauf näherungsweise als konstant angenommene stündliche Änderungen für $d$ und $\mu$ beigefügt ($d'$  bzw. $\mu '$). Außerdem sind die Werte für $d$ bereits für die bei der Anwendung vorkommenden Winkelfunktionen als  $\sin d$  und  $\cos d$  angegeben. Die als konstant angesehenen Öffnungswinkel der Schattenkegel werden als  $\tan f_{1}$  und  $\tan f_{2}$  veröffentlicht.

Werte-Sätze für einen Zeitpunkt und Änderungsraten

Der gewählte Zeitpunkt $t_{0}$ ist oft die dem Finsternismaximum nächstliegende volle Stunde in Terrestrischer Dynamischer Zeit (TDT). Werte-Sätze für dazwischen liegende Zeitpunkte berechnet der Benutzer beispielsweise mit Hilfe der ebenfalls veröffentlichen linearen Änderungsraten der veränderlichen Elemente.

Genauer sind in polynomialer Form angegebene Änderungen. Die Rechnung mit drei Polynomkoeffizienten ist folgende:

$\sum _{n=0}^{n_{max}}a_{n}t^{n}.$

$a$ ist eine der veränderlichen Größen, $t$ ist die Differenz zur Referenzzeit $t_{0}$.

Beispiel für in polynomialer Form veröffentlichte Werte sind die Besselschen Elemente des Goddard Space Flight Center der NASA.

Beispiel der Anwendung der Besselschen Elemente

In folgendem Beispiel werden zunächst die Werte für einen vorgegebenen Zeitpunkt (keine volle Stunde) aus in polynomialer Form veröffentlichten Besselschen Elementen ermittelt. Anschließend wird an Hand der damit in der Fundamentalebene gewonnenen Position und Größe des Kernschattens untersucht, ob ein vorgegebener Punkt auf der Erdoberfläche zu diesem Zeitpunkt im Kernschatten liegt.

Besselsche Elemente (Polynomkoeffizienten)
Referenzzeit $t_{0}$ = 11. August 1999 11:00:00 TDT

$n$	$x$	$y$	$d$	$l_{1}$	$l_{2}$	$\mu$
0	0,0700420	0,5028410	15,327340	0,5424690	−0,0036500	343,687410
1	0,5443035	−0,1184929	−0,012035	0,0001168	0,0001163	15,002982
2	−0,0000406	−0,0001158	−0,000003	−0,0000117	−0,0000116
3	−0,0000081	0,0000017
$\tan f_{1}$ = 0,0046129;       $\tan f_{2}$ = 0,0045900

Ermittlung der erforderlichen Werte für einen vorgegebenen Zeitpunkt aus in polynomialer Form veröffentlichter Besselscher Elemente

Der vorgegebene Zeitpunkt sei 12:34:03 MESZ (entspricht 10:34:03 UT).

Aus den in nebenstehender Tabelle enthaltenen, in polynomialer Form für $t_{0}$ = 11:00:00 TDT veröffentlichten Besselschen Elemente der Sonnenfinsternis vom 11. August 1999 sind die Werte für diesen vorgegebenen Zeitpunkt zu ermitteln. Zunächst ist die Differenz zur Referenzzeit (11:00:00 TDT) zu bestimmen, wobei noch die Differenz $\Delta T$ zwischen TDT und Universal Time (UT), die zum Zeitpunkt der Finsternis 63,7 Sekunden betrug, zu berücksichtigen:

$t=10{,}5675-11{,}0+{\frac {63{,}7}{3600}}=-0{,}414805556$

$x$- und $y$-Koordinate der Schattenachse im Fundamentalsystem:

$x=0{,}070042+0{,}5443035\ t-0{,}0000406\ t^{2}-0{,}0000081\ t^{3}=-0{,}155744523$

$y=0{,}502841-0{,}1184929\ t-0{,}0001158\ t^{2}+0{,}0000017\ t^{3}=0{,}551972467$

Deklination $d$ und Stundenwinkel $\mu$ der $z$-Achse des Fundamentalsystems:
(in nebenstehender Tabelle fehlende Koeffizienten sind mit 0 zu berücksichtigen)

$d=15{,}32734-0{,}012035\ t-0{,}000003\ t^{2}=15{,}33233167$

$\mu =343{,}687410+15{,}002982\ t=337{,}4640897$

Radius $l_{2}$ des Kernschattens in der Fundamentalebene:

$l_{2}=-0{,}0036500+0{,}0001163\ t-0{,}0000116\ t^{2}=-0{,}003700238$

Prüfung, ob ein vorgegebener Punkt der Erdoberfläche in diesem Zeitpunkt im Kernschatten liegt

Der vorgegebene Punkt sei der Stuttgarter Schlossplatz.

Der Kernschatten in einer zur fundamentalen Ebene parallelen Ebene durch diesen Punkt ist mit seinem Mittelpunkt (Schnittpunkt der Schattenachse) und seinem gegenüber seinem Radius in der Fundamentalebene leicht vergrößerten Radius bestimmt. Zum Vergleich werden die Koordinaten des Schlossplatzes in fundamentale Koordinaten umgerechnet. Die Prüfung wird positiv ausfallen, wenn die Schlossplatz-Koordinaten in der fundamentalen Parallel-Ebene innerhalb des um den Schnittpunkt der Schattenachse geschlagenen (leicht vergrößerten) Kernschattenkreises liegen.

Weil der Kernschattenradius relativ klein ist (meistens kleiner als 100km), genügt es bei der vorliegenden Aufgabe nicht, die Erde als Kugel zu betrachten. Man nähert sie - wie schon von Bessel praktiziert - besser mit einem Rotationsellipsoid (Erdellipsoid) und verwendet die ellipsoidischen Koordinaten $\varphi$ = 48,77855° und $\lambda$ = 9,17991° des Schlossplatzes und beachtet zusätzlich seine ellipsoidische Höhe $h$ = 295 m.

Vor der Berechnung seiner fundamentalen Koordinaten werden die ellipsoidischen Werte des Schlossplatzes in geozentrische Werte ($\varphi '$ anstatt $\varphi$ und sein Abstand $\rho$ vom Erdmittelpunkt) umgerechnet (die Länge $\lambda$ bleibt unverändert). Hierfür wird die numerische Exzentrizität $e$ des Rotationsellipsoids der Erde benötigt, die in Form zweier aus ihr abgeleiteter und breitenabhängiger Hilfsgrößen in die Rechnung eingeht:

Zusammenhang zwischen ellipsoidischer Breite $\varphi$ und geozentrischer Breite $\varphi '$

$e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}=0{,}006694380$

Dabei ist $a$ der Äquatorradius und $b$ der Polradius.

$C={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=1{,}001899093$

$S=\left(1-e^{2}\right)C=0{,}995191999$

Mit dem Äquatorradius $a$ = 6.378.137 m werden die geozentrischen Werte für $\varphi '$ und $\rho$ wie folgt berechnet:

$\varphi ^{\prime }=\arctan {\frac {\left(aS+h\right)\tan \varphi }{aC+h}}=48{,}5877227^{\circ }$

$\rho ={\frac {\left(aC+h\right)\cos \varphi }{a\cos \varphi ^{\prime }}}=0{,}998156295$

Dabei drückt $\rho$ den Abstand des Schlossplatzes vom Erdmittelpunkt in Einheiten des Äquatorradius aus, $\varphi '$ ist der Winkel zwischen der Äquatorebene und dem vom Erdmittelpunkt zum Schlossplatz zeigenden Ortsvektor.

Geozentrische Winkel in der Äquatorebene: $a$ ist die Rektaszension der Schattenachse, $\lambda$ der Längengrad des Beobachters, $\theta _{0}$ die auf Greenwich bezogene Sternzeit, $\mu$ der Stundenwinkel der Schattenachse (bereits um $\Delta T$ korrigiert) und $\theta$ der Stundenwinkel des Beobachters gegenüber der Schattenachse

Als Hilfsgröße wird nun der Stundenwinkel $\theta$ des Beobachtungsorts gegenüber der $z$-Achse des fundamentalen Koordinatensystems ermittelt. Dabei ist zu beachten, dass bei den Besselschen Elementen der Stundenwinkel $\mu$ unter Annahme eines Ephemeridentags (entsprechend der Dynamischen Zeit, früher: Ephemeridenzeit) berechnet wird. Da aber die tatsächliche Erdrotation nicht ganz regelmäßig ist, muss $\mu$ zunächst um den Zeitunterschied zwischen Dynamischer Zeit und Universal Time korrigiert werden, der $\Delta T$ entspricht. Zur Berechnung der entsprechenden Winkelkorrektur ist die siderische Taglänge maßgeblich, der Unterschied zur synodischen Taglänge (Sonnentag) wird durch den Faktor 1,002738 berücksichtigt. Eigentlich muss die geographische Länge des Beobachters ($\lambda$) von $\mu$ abgezogen werden, da beide Winkel aber in entgegengesetzter Richtung gemessen werden, ist es eine Addition.

$\theta =\left(\mu -1{,}002738\cdot {\frac {360^{\circ }}{86400\mathrm {s} }}\Delta T\right)+\lambda =346{,}3778563^{\circ }$

Damit lassen sich die kartesischen Koordinaten $\xi$, $\eta$ und $\zeta$ des Schlossplatzes im fundamentalen Koordinatensystem wie folgt ermitteln, wobei die Neigung der Fundamentalebene gegenüber dem geodätischen Koordinatensystem durch die Deklination $d$ berücksichtigt wird:

$\xi =\rho \cos \varphi ^{\prime }\sin \theta =-0{,}155501299$

$\eta =\rho \sin \varphi ^{\prime }\cos d-\rho \cos \varphi ^{\prime }\sin d\cos \theta =0{,}552271870$

$\zeta =\rho \sin \varphi ^{\prime }\sin d+\rho \cos \varphi ^{\prime }\cos d\cos \theta =0{,}816780948$

Der Radius der Schnittfläche des Kernschattenkegels in der durch den Schlossplatz gehenden, zur Fundamentalebene parallelen Ebene liegt näher an Sonne und Mond und ist deshalb etwas größer als der Kernschattenradius in der Fundamentalebene. Er lässt sich auf Basis des in den Besselschen Elementen angegebenen Konuswinkels des Schattenkegels ($\tan f_{2}$) und des Abstands des Schlossplatzes von der Fundamentalebene ($\zeta$) berechnen. Dabei ist zu beachten, dass der Kernschattenradius bei einer totalen Finsternis per Definition negativ angegeben wird.

$l_{2,\zeta }=l_{2}-\zeta \ \tan f_{2}=-0{,}007449262$

Der Abstand $r$ des Schlossplatzes von der Schattenachse in derselben Ebene lässt sich wie folgt ermitteln:

$r={\sqrt {\left(\xi -x\right)^{2}+\left(\eta -y\right)^{2}}}=0{,}000385746<0{,}007449262$

Da der Abstand des Schlossplatzes in dieser Ebene kleiner ist als der Radius des Schattenkegels, lag der Schlossplatz also zum gegebenen Zeitpunkt innerhalb des Kernschattens. Weil es zu dieser Zeit in Stuttgart regnete, war allerdings auf dem Schlossplatz keine Beobachtung der verfinsterten Sonne möglich.

Durch iteratives Durchführen dieser Berechnungen für einen Zeitraum lassen sich prinzipiell die Kontaktzeiten an einem bestimmten Ort ermitteln. Es gibt aber auch direkte Verfahren, um die Kontaktzeiten zu berechnen.

Weitere Bedeckungen durch den Mond

Sternbedeckungen durch den Mond

Schattenzylinder bei einer Sternbedeckung

Bei Sternbedeckungen kann die Berechnung der Besselschen Elemente gegenüber Sonnenfinsternissen stark vereinfacht werden, da es ausreichend genau ist, den bedeckten Himmelskörper als unendlich weit entfernt anzusehen. Diese Annahme ermöglicht es, die Lichtstrahlen des entfernten Objekts, die das Erde-Mond-System erreichen, als parallel zu betrachteten. Damit ergibt sich, dass die Richtung der Schattenachse, also die $z$-Achse des Besselschen fundamentalen Koordinatensystems, während des gesamten Verlaufs der Bedeckung immer genau in Richtung des Sterns zeigt und damit durch die äquatorialen Koordinaten des Sterns von vornherein gegeben ist.

Eine weitere Vereinfachung gegenüber einer Sonnenfinsternis besteht darin, dass kein Kern- und Halbschattenkegel beschrieben werden muss, sondern dass es ausreicht, den „Schatten“ als senkrecht auf der Fundamentalebene stehenden Zylinder aufzufassen. Der Radius dieses Zylinders entspricht dem Mondradius, der 0,2725 des Äquatorradius der Erde entspricht. Die Angabe von variablen Schattenradien sowie Öffnungswinkeln erübrigt sich damit.

Die Fundamentalebene wird analog zu den Sonnenfinsternissen gewählt, also die durch den Erdmittelpunkt gehende Normalebene dieser Schattenachse. Die Schnittlinie der Fundamentalebene mit der Äquatorebene ist die $x$-Achse und zeigt nach Osten, senkrecht auf dieser steht im Erdmittelpunkt die $y$-Achse und zeigt nach Norden. Wie bei Sonnenfinsternissen erfolgen alle Angaben in diesem Koordinatensystem in Einheiten des Äquatorradius.

Anders als bei der Sonnenfinsternis wird als Bezugszeitpunkt $T_{0}$ für die Besselschen Elemente nicht eine volle Stunde, sondern der Zeitpunkt der Konjunktion in Rektaszension gewählt, also der Zeitpunkt, zu dem Stern und Mond dieselbe Rektaszension aufweisen. Zu diesem Zeitpunkt hat die $x$-Koordinate der Zylinderachse den Wert 0, so dass in Tabellen nur noch die $y$-Koordinate der Zylinderachse in der Fundamentalebene angegeben wird. Die Besselschen Elemente einer Sternbedeckung werden wie folgt festgelegt:

$\!\ T_{0}$	Der Zeitpunkt der Konjunktion in Rektaszension, angegeben in Universal Time (UT)
$\!\ H$	Der Stundenwinkel des Sterns zum Zeitpunkt $T_{0}$
$\!\ Y$	Der Wert für $y$ zum Zeitpunkt $T_{0}$
$\!\ x',y'$	Die zeitliche Änderung von $x$ und $y$ pro Stunde
$\!\ \alpha ,\delta$	Rektaszension und Deklination des Sterns (Sternort) und gleichzeitig Richtung der $z$-Achse

Für Prognosenberechnungen ist es ausreichend, $x'$ und $y'$ während des gesamten Verlaufs der Bedeckung als konstant zu betrachten.

Bedeckung der Planeten durch den Mond

Das Verfahren der Besselschen Elemente lässt sich auf beliebige Gestirnsbedeckungen anwenden, wenn beide Gestirne hinreichend genau kugelförmig sind. Es sind lediglich die Position und Größe der Sonne durch die des betreffenden Planeten zu ersetzen. Als Ausnahmen gab Bessel 1842 lediglich die Planeten Jupiter und Saturn an, da deren Abweichung von der Kugelgestalt damals messbar war. Um das Sichtbarkeitsgebiet für Bedeckungen von Planeten durch den Mond vorherzusagen, kann dasselbe vereinfachte Verfahren wie bei Sternbedeckungen angewandt werden (siehe oben).

Sollen jedoch die Kontaktzeiten genau bestimmt werden, ist eine gegebenenfalls vorhandene Abweichung des Planeten von der Kugelform zu berücksichtigen und auch, welcher Teil der Planetenscheibe zum Zeitpunkt der Bedeckung von der Sonne angestrahlt wird. Dieses Verfahren wurde 1865 von Chauvenet beschrieben, da Bessels Verfahren für die zwischenzeitlich präziser gewordenen Beobachtungsmethoden nicht mehr genau genug war. Dabei wird der von der Sonne beschienene und von der Erde sichtbare Teil des Planeten direkt betrachtet und nicht in eine Fundamentalebene abgebildet.

Transit der inneren Planeten

Beim Transit der unteren Planeten Venus und Merkur vor der Sonne ist der bedeckende Himmelskörper der Planet. Dieser kann die Sonne niemals vollständig bedecken, denn der Kernschatten ist viel zu kurz, um auf die Erde zu fallen. Auch für diese astronomischen Ereignisse werden Besselsche Elemente zur Berechnung der lokalen Gegebenheiten verwendet. Es kann dabei genau dasselbe Berechnungsverfahren wie bei Sonnenfinsternissen verwendet werden, der Planet übernimmt dabei die Rolle des Mondes.

Da die Entfernung der unteren Planeten von der Erde wesentlich größer ist als die des Mondes, besteht bei Transiten die Möglichkeit einer vereinfachten Berechnung der Zeitpunkte des Ein- und Austritts der Planetenscheibe vor der Sonne. Dieses Verfahren kommt ohne die Umrechnung der Ephemeriden in das Besselsche fundamentale Koordinatensystem aus. Dabei macht man sich zu Nutze, dass die quadrierte oder zu höherer Potenz erhobene Parallaxe der Planeten so klein wird, dass sie vernachlässigt werden kann. Ausgehend von den auf den Erdmittelpunkt bezogenen Kontaktzeiten können auf diese Weise die entsprechenden Zeitpunkte an jedem Punkt der Erde berechnet werden. Das Prinzip dieser vereinfachten Berechnung geht auf Lagrange zurück und wurde von William Chauvenet verbessert, indem er die Erdabplattung berücksichtigte.

Berechnung von Mondfinsternissen

Man beschreibt eine Mondfinsternis quantitativ mit Hilfe von Sehwinkeln, deren Referenzachse die von der Sonne aus durch den Erdmittelpunkt führende Schattenachse ist. Die positive Pol-Achse eines mit Ursprung im Erdmittelpunkt errichteten sphärischen Referenzsystems zeigt in Richtung der Gegensonne. Ihre äquatorialen Winkelkoordinaten a und d ergeben sich aus den Ephemeriden α_s und δ_s der Sonne zu:

$a=\alpha _{s}+180^{\circ };\quad \quad d=-\delta _{s}$

Bei der Übertragung (Koordinatentransformation) der äquatorialen Winkel α_m und δ_m des Mondes in seine Winkel im Bezugssystem werden im Zwischenschritt für die kartesischen Bezugskoordinaten x und y folgende, auch für die Berechnung von zwei Besselschen Elementen gebrauchte Gleichungen verwendet:

$x=\cos \delta _{m}\sin \left(\alpha _{m}-a\right)$

$y=\sin \delta _{m}\cos d-\cos \delta _{m}\sin d\cos \left(\alpha _{m}-a\right)$

$m={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Die Koordinaten x und y repräsentieren den gesuchten Sehwinkel zwischen Schattenachse und Mondmittelpunkt, jede allein einen Winkel in der xz- bzw. in der yz-Ebene. Der gesuchte Gesamtwinkel σ ist in guter Näherung folgende einfache Funktion der Diagonalen m:

$\sigma =\arcsin(m)$

Geometrie des Kernschattens bei einer Mondfinsternis

Die Größe der Radien von Halb- und Kernschatten werden ebenfalls als geozentrische Sehwinkel angegeben. Die Größen $f_{1}$ und $f_{2}$ beschreiben hierbei den Sehwinkel der Schattenradien in der Mondumlaufbahn. In nebenstehender Abbildung deutet die gestrichelte Linie die Mondumlaufbahn an. Der Winkel $\pi _{m}$ ist der Sehwinkel des Erdradius vom Mond aus gesehen und entspricht somit der Parallaxe des Mondes. Da dieser Winkel ein Außenwinkel des Dreiecks $\Delta EM'V_{2}$ ist, gilt für den Sehwinkel $f_{2}$ des Kernschattens in der Mondumlaufbahn

$f_{2}=\pi _{m}-v_{2}\!\,$,

wobei $v_{2}$ der halbe Öffnungswinkel des Kernschattenkegels ist. Analog kann über das Dreieck $\Delta ES'V_{2}$ eine weitere Winkelbeziehung hergeleitet werden: Der Außenwinkel $r_{s}$ entspricht dem Sehwinkel des Sonnenradius von der Erde, der Winkel $\pi _{s}$ der geozentrischen Parallaxe der Sonne. Somit gilt:

$v_{2}=r_{s}-\pi _{s}\!\,$

Aus beiden Winkelbeziehungen lässt sich nun durch Eliminierung des Konuswinkels $v_{2}$ der gesuchte Winkel ermitteln:

$f_{2}=\pi _{s}+\pi _{m}-r_{s}\!\,$

In analoger Weise kann auch der geozentrische Sehwinkel des Halbschattenradius im Mondorbit ermittelt werden. Für diesen ergibt sich folgende Beziehung:

$f_{1}=\pi _{s}+\pi _{m}+r_{s}\!\,$

Besselsche Elemente für die Kontaktzeiten einer Mondfinsternis

Um die Ermittlung der Kontaktzeiten der Finsternis zu unterstützen, werden aus den Größen des Kern- und Halbschattens und dem Mondradius drei weitere Hilfsgrößen abgeleitet. Dies sind die Sehwinkel für den Abstand des Mondmittelpunkts von der Schattenachse während eines bestimmten Kontakts, die aus den Sehwinkeln der Schattenradien und dem Sehwinkel $r_{m}$ des Mondradius berechnet werden:

$L_{1}=f_{1}+r_{m}\!\,;$ Ein- und Austritt des Mondes für den Halbschatten

$L_{2}=f_{2}+r_{m}\!\,;$ Ein- und Austritt des Mondes für den Kernschatten

$L_{3}=f_{2}-r_{m}\!\,;$ Beginn und Ende der totalen Finsternis

Die Größen $x\!\,$, $y\!\,$, $m\!\,$, $L_{1}\!\,$, $L_{2}\!\,$, $L_{3}\!\,$, $f_{1}\!\,$ und $f_{2}\!\,$ sowie ${\dot {x}}$, ${\dot {y}}$ und ${\dot {m}}$ – die stündliche Änderungsraten für die korrespondierenden Größen werden für eine Referenzzeit angegeben, beispielsweise den Zeitpunkt der Mondopposition. Sie werden gelegentlich unpassend und zu Verwechslungen führend als Besselsche Elemente einer Mondfinsternis bezeichnet. Wenn aber berechnet werden soll, wann bestimmte Mondkrater – also markante Punkte der Mondoberfläche – in den Kernschatten der Erde ein- oder austreten, kann anstatt einer von der Erde aus gesehenen Mondfinsternis eine an einem Punkt auf der Mondoberfläche gesehene "Erdfinsternis" berechnet werden, was mit Hilfe von auf ein im Mondmittelpunkt errichtetem Besselschen Fundamentalsystem bezogenen ordentlichen Besselschen Elementen erfolgt.

Bei Überprüfung der auf beide Arten berechneten Kontaktzeiten und insbesondere der Kernschatten-Ein- und Austrittszeitpunkte bestimmter Mondkrater zeigen die Ergebnisse keine brauchbare Übereinstimmung mit der Realität. Dies liegt zum einen daran, dass die Erde aufgrund ihrer Abplattung keinen ausreichend kreisförmigen Schatten wirft. Zum zweiten liegt es an der Erdatmosphäre, durch die sich die Schattenkegel vergrößern. Um diese Effekte zu kompensieren, ist es üblich, in die Formeln zur Berechnung der Größe des Halb- und Kernschattenkegels zwei Korrekturfaktoren einzuführen:

$f_{1}=1{,}02\left(\pi _{s}+0{,}998340\ \pi _{m}+r_{s}\right)$

$f_{2}=1{,}02\left(\pi _{s}+0{,}998340\ \pi _{m}-r_{s}\right)$

Aber auch auf diese Weise berechnete Daten zeigen noch keine besonders präzise Übereinstimmung mit der Realität. Dies wird vor allem darauf zurückgeführt, dass die Abplattung der Erdatmosphäre noch deutlich größer ist als die der Erdoberfläche. Es wird versucht, anhand der Beobachtungsdaten verschiedener Mondfinsternisse ein genaueres Korrekturverfahren zu entwickeln.

Literatur

• P. Kenneth Seidelmann (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Sausalito 2006, ISBN 1-891389-45-9
• Robin M. Green: Spherical astronomy. Cambridge University Press, Cambridge 1985, ISBN 0-521-23988-5
• William Chauvenet: A manual of spherical and practical astronomy. J. B. Lippincott & Co, Philadelphia 1863 (online)