Bernsteinpolynom

Die Bernsteinpolynome (nach Sergei Natanowitsch Bernstein) sind eine besondere Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Nutzen und Geschichte

Die Bernsteinpolynome haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault nutzten die Bernsteinpolynome bei ihrer Entwicklung von Bézierkurven und legten damit den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ heißen die reellen Polynome

$B_{i,n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {n \choose i}\,t^{i}\,(1-t)^{n-i}$

(mit $0\leq i\leq n$) die Bernsteinpolynome vom Grad $n$.

Durch affine Transformation (Abbildung des Intervalls $[0,1]$ auf ein beliebiges Intervall $[a,b]$) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

$B_{i,n}^{[a,b]}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\frac {1}{(b-a)^{n}}}{n \choose i}(t-a)^{i}\,(b-t)^{n-i}$.

Dabei bezeichnet

${n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}$

den Binomialkoeffizienten.

Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome $B_{i,4}$, $0\leq i\leq 4$ vom Grad $4$:

Eigenschaften

Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls $[0,1]$ haben folgende Eigenschaften:

• Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome $\{B_{i,n}:0\leq i\leq n\}$ sind linear unabhängig und bilden eine Basis von $\Pi _{n}$, dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich $n$.
• Positivität:

  $B_{i,n}(t)>0$ für alle $t\in (0,1)$.

• Extrema: $B_{i,n}$ besitzt im Intervall $[0,1]$ genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle $t={\frac {i}{n}}$. Man erhält insbesondere:

  $B_{0,n}(0)=B_{n,n}(1)=1$

• Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):

  $\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}=1$

(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus $(t+(1-t))^{n}$.)

• Symmetrie:

  $B_{i,n}(t)=B_{n-i,n}(1-t)$

• Rekursionsformel:

  $B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)+t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$, mit der Definition

  $B_{i,n}:=0$ für $i<0$ oder $i>n$

  $B_{0,0}:=1$

• Gradanhebung:

  $B_{i,n}(t)={\frac {i+1}{n+1}}\cdot B_{i+1,n+1}(t)+{\frac {n+1-i}{n+1}}\cdot B_{i,n+1}(t)$

• Ableitungen:

  $B'_{i,n}(t)=n\left[B_{i-1,n-1}(t)-B_{i,n-1}(t)\right]$, mit der Definition

  $B_{-1,n-1}=B_{n,n-1}:=0$

• Stammfunktion:

  $\int B_{i,n}\!\left(t\right)dt={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=i+1}^{n+1}B_{k,n+1}\!\left(t\right)$

Approximation durch Bernsteinpolynome

Für eine Funktion $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ heißt das durch

$B_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)\cdot f\left({\frac {i}{n}}\right)$

definierte Polynom $B_{n}(f)$ das $n$-te Bernsteinpolynom der Funktion $f$.

Ist $f$ eine stetige Funktion auf dem Intervall $[0,1]$, so konvergiert die Folge ihrer Bernsteinpolynome $B_{n}(f)$ gleichmäßig gegen $f$.

Der Beweis dieses Satzes kann mit Hilfe des schwachen Gesetzes der Großen Zahlen oder des Satzes von Korowkin durchgeführt werden.

Weblinks

• Bernsteinpolynome (Applet)

Literatur

• Bernstein, S.N., Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Commun. Soc. Math. Kharkov, Vol. 12, No. 2, pp. 1–2, 1912/1913.