Beschränkte Kohomologie

Beschränkte Kohomologie ist ein Konzept der Mathematik. Die beschränkte Kohomologie diskreter Gruppen wurde ursprünglich im Zusammenhang mit Banach-Algebren eingeführt, fand ihre Anwendungen jedoch in der Differentialgeometrie nach M. Gromovs 1982 erschienener Arbeit Volume and Bounded Cohomology und in É. Ghys’ Klassifikation von Gruppenwirkungen auf dem Kreis. Seitdem wurde sie in einer Reihe von Anwendungen hauptsächlich in der geometrischen Gruppentheorie sowie in der Geometrie und Topologie von Mannigfaltigkeiten genutzt. Ihre Ausweitung auf topologische Gruppen als stetige beschränkte Kohomologie, deren Grundlagen in einer Monographie von N. Monod aus dem Jahr 2001 entwickelt wurden, war wichtig für die Untersuchung von Gittern in Lie-Gruppen und von Starrheitsfragen.

Definition

Für eine diskrete Gruppe $G$ betrachtet man den Kettenkomplex $(\mathbb {\mathbb {R} } [G^{n}],d_{n})$ mit

$d_{n}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i-1},\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n}).$

Die beschränkte Kohomologie $H_{b}^{*}(G)$ ist dann die Kohomologie des Komplexes $(C_{b}^{n},d^{n})$ mit

$C^{n}=\{f\colon G^{n+1}\to \mathbb {R} \mid f(\sigma \sigma _{1},\ldots ,\sigma \sigma _{n+1})=\sigma \cdot f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1}),\Vert f\Vert _{\infty }<\infty \}$

und

$(d^{n-1}f)(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i}f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{i-1},\sigma _{i+1},\ldots ,\sigma _{n+1}),$

wobei die Norm $\Vert f\Vert _{\infty }$ durch

$\Vert f\Vert _{\infty }:=\sup \left\{\vert f(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\vert \colon (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in G^{n}\right\}$

definiert ist. Sie induziert eine Halbnorm auf der beschränkten Kohomologie durch

$\Vert c\Vert =\inf \left\{\Vert f\Vert _{\infty }\colon \left[f\right]=c\right\}$

für $c\in H_{b}^{*}(G)$.

Äquivalent kann man $H_{b}^{*}(G)$ als Kohomologie der $G$-Invarianten einer beliebigen starken, relativ injektiven Auflösung des trivialen $\mathbb {R} \left[G\right]$-Moduls $\mathbb {R}$ definieren.

Insbesondere ist für einen CW-Komplex $X$ mit Fundamentalgruppe $\pi _{1}X=G$ die Kohomologie des Komplexes der $\pi _{1}X$-invarianten, beschränkten Koketten der universellen Überlagerung ${\widetilde {X}}$ (äquivalent der beschränkten Koketten auf $X$) isomorph zu $H_{b}^{*}(G)$.

Beispiele

• Beschränkte Kohomologie ist trivial für mittelbare Gruppen.
• Für hyperbolische Gruppen ist die Vergleichsabbildung $H_{b}^{*}(G)\to H^{*}(G)$ surjektiv für $*\geq 2$.
• Für kokompakte, irreduzible Gitter in Lie-Gruppen vom Rang $\geq 2$ ist die Vergleichsabbildung $H_{b}^{2}(G)\to H^{2}(G)$ injektiv.

Literatur

• Nicolas Monod: Continuous bounded cohomology of locally compact groups. Lecture Notes in Mathematics. 1758. Springer, Berlin 2001.
• Roberto Frigerio: Bounded cohomology of discrete groups. Mathematical Surveys and Monographs 227. Providence, RI: American Mathematical Society (2017).