Bessel-Filter

Ein Bessel-Filter (auch als Bessel-Thomson-Filter bezeichnet) ist ein Frequenzfilter, bei dessen Entwurf folgende (äquivalente) Eigenschaften angestrebt werden:

• optimales „Rechteckübertragungsverhalten“, d. h. eine Wellenform, deren Frequenzanteile innerhalb des Durchlassbereichs des Filters liegen, erscheint (bis auf eine Verzögerung) nahezu unverändert am Ausgang;
• konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich;
• linearer Phasengang im Durchlassbereich.

Dabei wird in Kauf genommen, dass der Amplitudenverlauf nicht so scharf wie beim Butterworth-Filter oder Tschebyscheff-Filter abknickt.

Das Filter wurde 1949 von W.E. Thomson als – hinsichtlich der Gruppenlaufzeit – optimales passives Verzögerungsnetzwerk entwickelt und nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) benannt.

In der digitalen Signalverarbeitung können Bessel-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden.

Übertragungsfunktion

Anmerkung:Die Eckfrequenz des Butterworth-Filters und der Tiefpasskaskade wurde dem Bessel-Filter angeglichen

Die Übertragungsfunktion ist darauf optimiert, die Gruppenlaufzeit von der Frequenz unabhängig zu machen.

Mit der Übertragungsfunktion für ein Filter n-ter Ordnung

${\underline {A}}={\frac {A_{0}}{1+\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\prime }P^{i}}}$

mit

$A_{0}$ Gleichspannungsverstärkung

$P={\frac {p}{\omega _{g}}}\Leftrightarrow j\Omega =j{\frac {\omega }{\omega _{g}}}$ und $\omega _{g}$ Grenzfrequenz

lässt sich für die Koeffizienten $c_{i}^{\prime }$ die Rekursionsformel

i = 1:	$c_{1}^{\prime }=1$
i = 2 … n:	$c_{i}^{\prime }={\frac {2(n-i+1)}{i(2n-i+1)}}\cdot c_{i-1}^{\prime }$

ermitteln.

Die Koeffizienten sind allerdings nicht auf die Grenzfrequenz normiert, sondern auf die Gruppenlaufzeit, d. h. bei $\Omega =1$ ist die Amplitude nicht um 3 dB abgesunken. In finden sich diese Koeffizienten auf die Grenzfrequenz umgerechnet sowie die Koeffizienten aller Einzelfilter bis zur zehnten Ordnung.

Eigenschaften

Das Bessel-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

• glatter Frequenzverlauf im Durchlassbereich
• geringe Steilheit des Amplitudengangs (geringer als beim Butterworth-Filter) im Bereich der Grenzfrequenz
• geringes Überschwingen bei der Sprungantwort, verringert sich mit der Ordnung
• konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

Normalisierte Bessel-Polynome

n	Bessel-Polynom
1	$1+P$
2	$1+P+{\frac {1}{3}}P^{2}$
3	$1+P+{\frac {2}{5}}P^{2}+{\frac {1}{15}}P^{3}$
4	$1+P+{\frac {3}{7}}P^{2}+{\frac {2}{21}}P^{3}+{\frac {1}{105}}P^{4}$
5	$1+P+{\frac {4}{9}}P^{2}+{\frac {1}{9}}P^{3}+{\frac {1}{63}}P^{4}+{\frac {1}{945}}P^{5}$

Siehe auch

• Tschebyscheff-Filter
• Cauer-Filter
• Butterworth-Filter

Literatur

• T. D. McGlone: Butterworth & Bessel Filters: A Tutorial Overview. CreateSpace Independent Publishing Platform, 2016, ISBN 978-1533172808.