Bi-konservative Untermannigfaltigkeit

Bi-konservative Untermannigfaltigkeit ist ein Begriff aus der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Definition

Für eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten $u\colon M\to N$ definiert man ihre Bi-Energie als $E_{2}(u):={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \Delta u\vert ^{2}\mathrm {d} v_{g}$ mit zugehöriger Euler-Lagrange-Gleichung

$\tau _{2}(u):=-\Delta u-(\mathrm {Spur} (R^{N}(\mathrm {d} u,\tau (u))))\mathrm {d} u=0$,

wobei $R^{N}$ der Riemannsche Krümmungstensor und $\tau (u)=Spur(\nabla du)$ das Tensionsfeld ist. (Harmonische Abbildungen werden durch $\tau (u)=0$ definiert.)

Der Stress-Energie-Tensor der Bi-Energie ist definiert durch

$S_{2}(X,Y):={\frac {1}{2}}\vert \tau (u)\vert ^{2}\langle X,Y\rangle +\langle \mathrm {d} u,\nabla \tau (u)\rangle \langle X,Y\rangle -\langle \mathrm {d} u(X),\nabla Y\tau (u)\rangle -\langle \mathrm {d} u(Y),\nabla _{X}\tau (u)\rangle .$

Eine Untermannigfaltigkeit heißt bi-konservativ, wenn die sie definierende isometrische Immersion die Gleichung

$\operatorname {div} S_{2}=0$

erfüllt.

Biharmonische Untermannigfaltigkeiten

Eine Untermannigfaltigkeit heißt biharmonisch, wenn die sie definierende isometrische Immersion eine biharmonische Abbildung ist. In diesem Fall gilt

$\operatorname {div} S_{2}=-\tau _{2}(u)=0$,

weshalb biharmonische Untermannigfaltigkeiten stets bi-konservativ sind.

Literatur

• R. Caddeo, S. Montaldo, C. Oniciuc, P. Piu: Surfaces in three-dimensional space forms with divergence-free stress-bienergy tensor. Ann. Mat. Pura Appl. (4) 193, No. 2, 529–550 (2014).