Bilipschitz-Äquivalenz

Geometrie metrische Räume

Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Definition

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Eine Bijektion

 

zwischen metrischen Räumen   und   ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante   gibt, so dass

 

für alle   gilt.

Beispiele

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  • Eine lineare Abbildung   ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn   gilt.
  •   ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch  .
  • Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S1, S2 einer Gruppe   zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
  • Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.[1][2]
  • Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume[3] quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.[4]

Einzelnachweise

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  1. D. Burago, B. Kleiner: Separated nets in Euclidean space and Jacobians of bi-Lipschitz maps. Geom. Funct. Anal. 8 (1998), no. 2, 273–282. online
  2. T. Dymarz: Bilipschitz equivalence is not equivalent to quasi-isometric equivalence for finitely generated groups. Duke Math. J. 154 (2010), no. 3, 509–526. online
  3. Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig diskret, wenn es eine Konstante   gibt, so dass für alle   die Ungleichung   gilt. Er heißt nicht-mittelbar, wenn es keine Følner-Folgen gibt.
  4. K. Whyte: Amenability, bi-Lipschitz equivalence, and the von Neumann conjecture. Duke Math. J. 99 (1999), no. 1, 93–112. online