Bilipschitz-Äquivalenz

Der Begriff der Bilipschitz-Äquivalenz dient in der Mathematik dazu, die „grobe“ Geometrie metrischer Räume zu untersuchen.

Definition

Eine Bijektion

$f\colon M_{1}\to M_{2}$

zwischen metrischen Räumen $(M_{1},d_{1})$ und $(M_{2},d_{2})$ ist eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn es eine Konstante $L\geq 1$ gibt, so dass

${\frac {1}{L}}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq Ld_{1}(x,y)$

für alle $x,y\in M_{1}$ gilt.

Beispiele

• Eine lineare Abbildung $A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist genau dann eine Bilipschitz-Äquivalenz, wenn $\det(A)\neq 0$ gilt.
• $\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }$ ist bilipschitz-äquivalent zur Cantormenge, die Bilipschitz-Äquivalenz ist gegeben durch $f((x_{n})_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}$.
• Die zu verschiedenen endlichen Erzeugendensystemen S₁, S₂ einer Gruppe $G$ zugeordneten Cayley-Graphen sind bilipschitz-äquivalent.
• Es gibt Quasi-Isometrien, die keine Bilipschitz-Äquivalenzen sind.
• Wenn zwei gleichmäßig diskrete, nicht-mittelbare metrische Räume quasi-isometrisch sind, dann sind sie auch bilipschitz-äquivalent.