Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$. Es bezeichne $\mathbb {P} (E_{i})$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{i}$ und $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse $E_{1},\dots ,E_{n}$. Bekannterweise gilt:

$\mathbb {P} \left(E_{1}\bigcup E_{2}\right)=\mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)-\mathbb {P} \left(E_{1}\bigcap E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)$

Allgemeiner gilt:

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)$.

Es gilt auch allgemeiner:

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(E_{i}\right)$

Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Beweis

Setzt man

$A_{i}=E_{i}\setminus \left(\bigcup _{j=1}^{i-1}E_{j}\right),$

dann sind die $A_{i}$ paarweise disjunkt und es gilt

$\bigcup _{i}A_{i}=\bigcup _{i}E_{i}.$

Damit folgt

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (E_{i}).$

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen $A_{i}\subseteq E_{i}$ und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$. Ferner bezeichne ${\overline {E_{i}}}=\Omega \setminus E_{i}$ das Komplement von $E_{i}$. Dann folgt:

$\mathbb {P} \left(\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left({\overline {E_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-(n-1)$

Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}{E_{i}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} \left(E_{i}\right)-\sum _{i,j=1,\ldots ,n \atop \;{\text{mit}}\;i<j}\mathbb {P} \left({E_{i}\cap E_{j}}\right)$

Beispiele

• Es ist $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne $E_{1}=\{2,4,6\}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und $E_{2}=\{5,6\}$ das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt $\mathbb {P} (E_{1})={\frac {1}{2}}$ und $\mathbb {P} (E_{2})={\frac {1}{3}}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4,5,6\}$,

$\mathbb {P} \left(E_{1}\cup E_{2}\right)\leq \mathbb {P} \left(E_{1}\right)+\mathbb {P} \left(E_{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}.$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also $E_{3}=\{6\}$:

$\mathbb {P} \left(E_{1}\cap E_{2}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left({\overline {E_{2}}}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {1}{6}}$

Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.

Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also $E=\{2,4\}$,

$\mathbb {P} \left(E_{1}\cap {\overline {E_{2}}}\right)\geq 1-\mathbb {P} \left({\overline {E_{1}}}\right)-\mathbb {P} \left(E_{2}\right)=1-\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(1-{\frac {2}{3}}\right)={\frac {1}{6}}.$

Siehe auch

• Prinzip von Inklusion und Exklusion

Literatur

• Frank B. Alt: Bonferroni Inequalities and Intervals. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Band 1. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 617–622, doi:10.1002/0471667196. 
• János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1.