Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

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Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.[1]

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.[2]

Erste Ungleichung

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Im Folgenden seien   beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum  . Es bezeichne   die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses   und   die Vereinigungsmenge der Ereignisse  . Bekannterweise gilt:

 

Allgemeiner gilt:

 .

Es gilt auch allgemeiner:

 

Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Setzt man

 

dann sind die   paarweise disjunkt und es gilt

 

Damit folgt

 

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen   und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.[3]

Zweite Ungleichung

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Im Folgenden seien wieder   beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum  . Ferner bezeichne   das Komplement von  . Dann folgt:

 

Dritte Ungleichung

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Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):[4]

 

Beispiele

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  • Es ist   die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne   das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und   das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt   und  . Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also  ,
 
  • Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also  :
 
Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.
Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also  ,
 

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
  2. J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).Vorlage:EoM/id
  3. Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.
  4. Rosen et al: Handbook ... S. 433.