Boolescher Primidealsatz

mathematischer Satz

Der boolesche Primidealsatz sagt aus, dass jede boolesche Algebra ein Primideal enthält. Der Beweis dieses Satzes kann nicht ohne transfinite Methoden geführt werden, das bedeutet, dass er nicht aus den Axiomen der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom beweisbar ist. Umgekehrt ist das Auswahlaxiom nicht aus dem booleschen Primidealsatz beweisbar, dieser Satz ist also schwächer als das Auswahlaxiom. Außerdem ist der Satz (relativ zu den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) äquivalent zu einigen anderen Sätzen wie zum Beispiel Gödels Vollständigkeitssatz. (Das bedeutet, dass man aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem booleschen Primidealsatz dieselben Sätze beweisen kann wie aus den Axiomen der Mengenlehre plus dem gödelschen Vollständigkeitssatz.)

Ersetzt man die boolesche Algebra durch ihre duale boolesche Algebra, so wird der boolesche Primidealsatz zum Ultrafilterlemma.

Definitionen

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In einer booleschen Algebra kann auf natürliche Weise eine Ordnung eingeführt werden:

 

Ein Ideal   einer booleschen Algebra   ist eine echte Teilmenge von   mit folgenden Eigenschaften:

  •   und  
  •   und  

Ein Ideal   ist ein Primideal, wenn   die zusätzliche Eigenschaft hat, dass für jedes Element   aus   gilt, dass   entweder   oder   enthält.

  kann nicht sowohl   als auch   enthalten, da sonst

 

wäre, und da für ein beliebiges Element   stets

 

gilt, wäre dann auch   für alle  , also   im Widerspruch zur Definition eines Ideals.

Die Aussage des booleschen Primidealsatzes ist:

  • Jede boolesche Algebra besitzt ein Primideal.

Diese Aussage ist nur scheinbar schwächer als die folgende:

  • Jedes Ideal einer booleschen Algebra   liegt in einem Primideal.

Denn ist   ein Ideal, so lässt sich auf   eine Äquivalenzrelation definieren:

 , also
 

Der Quotient nach dieser Äquivalenzrelation (bzw. dem Ideal)   trägt durch die Definitionen

 

eine natürliche Struktur als boolesche Algebra und der kanonische Homomorphismus   bildet genau   auf   ab. Daher ist das Urbild   eines Primideals   von   ein Primideal von  , das   enthält.

Der Beweis ist eine Standardanwendung des zornschen Lemmas und somit des Auswahlaxioms. Die Menge aller Ideale ist über die Teilmengenrelation geordnet und die Vereinigung einer Kette ist wieder ein Ideal. Es gibt also ein maximales Element.

Nun Beweis durch Widerspruch: Angenommen, dieses maximale Ideal   ist kein Primideal. Dann gibt es ein   mit  .

Ist nun   für ein  , so gilt   für alle  : Denn, falls  , so wäre auch

 

Da   ein Ideal ist, liegen   und   in  , also auch  , was nicht sein kann.

Daher ist gilt also für alle   oder für alle  

Es gelte ohne Beschränkung der Allgemeinheit für alle

 

Das kleinste Ideal  , das   umfasst und   enthält ( ) ist echt größer als  .   ist also nicht maximal im Gegensatz zur Annahme, also Widerspruch.

  ist daher ein Primideal.

Äquivalente Aussagen

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Folgende Aussagen sind zum booleschen Primidealsatz äquivalent, wenn lediglich ZF angenommen wird:

Jede boolesche Algebra ist zu einer Mengenalgebra isomorph.

Jede konsistente Theorie besitzt ein Modell.

Eine Menge von Aussagen der Prädikatenlogik erster Stufe hat genau dann ein Modell, wenn jede endliche Teilmenge ein Modell hat.

Jeder Filter lässt sich zu einem Ultrafilter erweitern.

Jede konsistente Theorie der Prädikatenlogik erster Stufe lässt sich zu einer maximal konsistenten Theorie erweitern.

Folgerungen

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Aus den Axiomen der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom, aber mit booleschen Primidealsatz, kann unter anderem gefolgert werden:

Literatur

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  • Frithjof Dau: Diplomarbeit zum booleschen Primidealsatz. Abgerufen am 26. Dezember 2016 (Enthält unter anderem eine ausführliche Zusammenstellung verschiedener zum booleschen Primidealsatz äquivalenten Aussagen).