In der Mathematik ist die Cartan-Invariante eine das Doppelverhältnis der klassischen projektiven Geometrie verallgemeinernde Invariante der komplex-hyperbolischen Geometrie, mit der insbesondere entschieden werden kann, ob Punkte in einem komplexen oder Lagrangeschen Unterraum liegen.

Definition

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Der Rand im Unendlichen   des komplex-hyperbolischen Raumes   ist

 

Für jedes Tripel   hat das Hermitesche Tripelprodukt

 

wegen

 

ein wohldefiniertes Argument, das nur von den Äquivalenzklassen der   abhängt. Man kann also definieren

 .

Die so definierte Funktion

 

heißt die Cartan-Invariante. Weil das Hermitesche Tripelprodukt negativen Realteil hat, liegen die Werte in  .

Eigenschaften

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Die Cartan-Invariante ist eine vollständige Invariante von Tripeln im Unendlichen: wenn für zwei Tripel unterschiedlicher Punkte

 

gilt, dann gibt es eine Isometrie  , welche das eine Tripel in das andere überführt. Die Isometrie ist eindeutig modulo Isometrien, die die vom ersten Tripel aufgespannte Ebene invariant lassen.

Ein Tripel liegt genau dann im Rand einer 2-dimensionalen komplexen Ebene, wenn

 .

Ein Tripel liegt genau dann im Rand einer Lagrangeschen Ebene, wenn

 .

Literatur

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  • Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. ISBN 0-19-853793-X
  • Parker, John R.; Platis, Ioannis D.: Complex hyperbolic quasi-Fuchsian groups. Geometry of Riemann surfaces, 309–355, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 368, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010.