Cayley-Menger-Determinante

In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.

Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.

Definition

Sei $S$ ein Simplex mit Ecken $v_{1},\ldots ,v_{n+1}$ im $n$-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$.

Sei $B$ die symmetrische $(n+2)\times (n+2)$-Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte $(0,1,\ldots ,1)$ sind und deren Einträge für $2\leq i,j\leq n+2$

$b_{ij}=\|v_{i-1}-v_{j-1}\|^{2}$

sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von $B$.

Volumenberechnung von Simplizes

Allgemeine Formel

Das Volumen des Simplexes $S$ berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch

$(\operatorname {Vol} (S))^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}\det(B).$

Beispiele

Fläche eines Dreiecks

Allgemeines Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen $a,b,c$ berechnet sich als Quadratwurzel aus

$-{\frac {1}{16}}\det \left({\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{array}}\right).$

Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.

Volumen eines Tetraeders

Allgemeiner Tetraeder

→ Hauptartikel: Volumenformel des allgemeinen Tetraeders

Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen $d_{ij},1\leq i,j\leq 4$ berechnet sich als Quadratwurzel aus

${\frac {1}{288}}\det \left({\begin{array}{ccccc}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{41}^{2}&d_{42}^{2}&d_{43}^{2}&0\end{array}}\right).$

Insbesondere gilt $\det(B)=0$ wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.

Charakterisierung euklidischer Räume

Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben. Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.

Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.

Symmetrien

Die Gruppe der linearen Abbildungen des $\mathbb {R} ^{6}$, welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe $D_{6}$.

Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.

Literatur

• A. Cayley: A theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal, II:267–271 (1841). online
• L. Blumenthal: Theory and applications of distance geometry. Clarendon Press, Oxford (1953). Kapitel IV.40
• M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin (1987). Kapitel 9.7

Weblinks

• Cayley-Menger Determinant (MathWorld)
• Simplex Volumes and the Cayley-Menger Determinant (MathPages)
• Cayley-Menger-Determinante im Raum (Beweis der 3-dimensionalen Volumenformel)