Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra versteht man unter einem Cohen-Macaulay-Ring einen noetherschen Ring, der nicht mehr unbedingt regulär ist, dessen Tiefe aber gleich seiner Krulldimension ist. Eine Cohen-Macaulay-Singularität ist eine Singularität, deren lokaler Ring ein Cohen-Macaulay-Ring ist. Benannt wurden die Ringe nach Irvin Cohen und Francis Macaulay.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definitionen

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Reguläre Folge

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Wenn   ein Modul über einem Ring   ist, so wird ein Element   regulär genannt, wenn aus   für ein   stets   folgt.

Eine Folge   von Elementen aus   heißt  -reguläre Folge, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  •  
  • Für   ist das Bild von   kein Nullteiler in  

Tiefe eines Moduls

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Wenn   ein Modul über einem Ring   ist, so ist die Tiefe   von   die Mächtigkeit einer maximalen  -regulären Folge von Elementen aus  .

Dimension eines Moduls

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Die Dimension   eines Moduls   über einem Ring   ist definiert als die Krulldimension von  . (  ist der Annihilator von M.)

Ist   ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschen Ring, so gilt:

 

(Zur Notation:   bezeichnet die Menge der zu   assoziierten Primideale,   den Träger des Moduls.)

Für einen endlich erzeugten Modul   über einem noetherschen lokalen Ring   gilt sogar:

 

Cohen-Macaulay

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Ein endlich erzeugter Modul   über einem noetherschen Ring   heißt Cohen-Macaulay-Modul, wenn für alle maximalen Ideale   von   gilt:

 

  heißt Cohen-Macaulay-Ring, wenn   als  -Modul ein Cohen-Macaulay-Modul ist.

Cohen-Macaulay-Ringe

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  • Jede Lokalisierung eines Cohen-Macaulay-Rings ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
  • Jeder 0-dimensionale noethersche Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
  • Jeder reduzierte noethersche eindimensionale Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
  • Jeder reguläre noethersche Ring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
  • Jeder Gorensteinring ist ein Cohen-Macaulay-Ring.
  • Jeder Cohen-Macaulay-Ring ist ein Kettenring.

Beispiele

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  • Ist   ein Körper, so wird die Varietät, die aus der X-Achse und der Y-Achse besteht, durch den Koordinatenring   beschrieben.
Der Schnittpunkt wird durch den Ring
 
beschrieben. Er ist eine Singularität, denn   ist eindimensional, aber das maximale Ideal von   kann nur durch zwei Elemente erzeugt werden. Andererseits ist   ein Cohen-Macaulay-Ring (sogar Gorenstein), da das maximale Ideal nicht nur Nullteiler enthält.
  • Eine kompliziertere Singularität besteht im Ring
 
Der zu der Singularität gehörige lokale Ring
 
ist kein Cohen-Macaulay-Ring. Er ist eindimensional, aber das maximale Ideal besteht nur aus Nullteilern, es gibt also keine reguläre Folge.

Literatur

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  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-201-00361-9.
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9.
  • Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993 (englisch).