In der kommutativen Algebra wird ein Ring Kettenring oder ein katenärer Ring genannt, wenn nicht verfeinerbare Primidealketten zweier ineinanderliegenden Primideale immer dieselbe Länge haben. Katenäre Ringe haben einfache dimensionstheoretische Eigenschaften.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

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Ist   ein Ring, so ist eine Primidealkette eine Folge von Primidealen ( ):

 

Die Länge dieser Primidealkette ist  . Eine solche Primidealkette wird nicht mehr verfeinerbare Kette genannt, wenn es kein Primideal   gibt, sodass

 

eine Primidealkette ist.

Ist   ein Ring, so wird   katenär oder auch ein Kettenring genannt, wenn für alle Primideale   gilt, dass alle nicht verfeinerbaren Primidealketten, die mit   anfangen und mit   aufhören, dieselbe Länge haben.

Eigenschaften

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  • Ist ein noetherscher Ring katenär, dann auch jeder Restklassenring und jede Lokalisierung.
  • Katenär ist eine lokale Eigenschaft: Ein noetherscher Ring   ist genau dann katenär, wenn für jedes maximale Ideal   der Ring   katenär ist.
  • Wenn   noethersch, katenär und nullteilerfrei ist und außerdem alle maximalen Ideale von   dieselbe Höhe haben (z. B.  , s. u.), dann hat auch jeder Restklassenring   nach einem Primideal von   diese Eigenschaft. Für jedes Primideal   gilt dann:
 .

Beispiele

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  • Ist   ein Körper, so ist der Ring   katenär.
  • Jeder Cohen-Macaulay-Ring, insbesondere jeder reguläre Ring, ist katenär.

Literatur

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