Crofton-Formel

mathematischer Satz

Die Crofton-Formel[1] (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Definition

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Die durch   definierte Gerade schneidet   zweimal, d. h.  .

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge   einer ebenen Kurve   durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte   mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei   (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei   (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist   ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene).   sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch   parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

 

Schätzung

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Anwendung der Crofton-Formel mit zufälligen Linien

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen   gleichverteilt im Volumen  .   sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen   gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

 

wobei   die Zahl der gezogenen Stichproben   aus dem Volumen   sind.

Beispiel

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Gerade entlang der x-Achse

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Für festes   schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke  , d. h. es muss   sein.

Die Formel kann plausibel gemacht werden,[2] wenn man als Beispiel für   eine Linie der Länge   auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

 .

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Einheitskreisline

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Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie  . Zu jedem   schneidet die Gerade mit Abstand   die Kreislinie genau für   und zwar zweimal für  . Daher ist

 ,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.

Einzelnachweise

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  1. Crofton On the theory of local probability. Transactions of the Royal Society, Bd. 158, 1868, S. 181
  2. Adam Weyhaupt, Cauchy-Crofton`s formula, Indiana University