Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck oder Dekagon (von altgriechisch δέκα déka, deutsch ‚zehn‘ und γωνία gōnía, deutsch ‚Winkel, Ecke‘)^[1] ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken.

Im Weiteren wird das regelmäßige Zehneck behandelt. Es hat gleich lange Seiten und seine Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

Der diesem Zehneck einbeschriebene, einzig mögliche Stern (grün) mit dem Schläfli-Symbol {10/3, 10/7} heißt Dekagramm.

Formeln

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zehneck
Seitenlänge	${\begin{aligned}a&=2\cdot r_{u}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{10}}\right)\\&=r_{u}\cdot \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$
Länge der Diagonalen	$d_{2}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1{,}902\cdot a$
	$d_{3}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {14+6{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 2{,}618\cdot a$
	$d_{4}=2\cdot r_{i}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 3{,}078\cdot a$
	$d=2\cdot r_{u}=(1+{\sqrt {5}})\cdot a\approx 3{,}236\cdot a$
Inkreisradius	$r_{i}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1{,}539\cdot a$
Umkreisradius	$r_{u}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}618\cdot a$
Zentriwinkel	$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{10}}=36^{\circ }$
Innenwinkel	$\delta =180^{\circ }-\alpha =144^{\circ }$
Flächeninhalt	$A={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 7{,}694\cdot a^{2}$

Berechnung des Flächeninhalts

Der Flächeninhalt $A$ eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge $a$ berechnet sich wie folgt:

A={\frac {10\cdot a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}\cdot {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 7{,}694\cdot a^{2}

Konstruktion eines Zehnecks

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis

Regelmäßiges Zehneck nach Euklid,
MG ist gleich der Seitenlänge a

Konstruktion nach Euklid

Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke E₃G bestimmt ist.^[2] In der vertikalen Achse des Achsenkreuzes ergeben sich dabei die Eckpunkte E₃ und E₈.
Übertrage die so bestimmte Fünfeckseite E₃G auf den Umkreis, es ergibt sich der erste Eckpunkt E₁ des entstehenden Zehnecks.
Halbiere den Winkel E₁ME₃ (Zentriwinkel eines Fünfecks), es ergibt sich der zweite Eckpunkt E₂ und somit die erste Seite E₁E₂ des Zehnecks.
Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Strecke E₁E₂ auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (1)

Vorüberlegung

Der Mittelpunkt M des Umkreises teilt die Strecke AG im Goldenen Schnitt. Darin ist der sogenannte Minor die Strecke MG, für diese gilt:

{\overline {MG}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}.

Für die Seitenlänge a des Zehnecks gilt:

a=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{10}}\right),

wegen

a-{\overline {MG}}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{10}}\right)-\left({\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=0,

gilt auch

a={\overline {MG}}.

Konstruktion

Führe die Konstruktionsschritte zu einem regelmäßigen Fünfeck nur soweit aus, bis dessen Seitenlänge durch die Strecke E₃G bestimmt ist. Die Länge der Strecke MG entspricht der gesuchten Seitenlänge a des Zehnecks.
Trage ab dem Punkt E₃ die Seitenlänge a neunmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Alternative (2)

Konstruiere die fünf Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks (Zentriwinkel ${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{5}}}$ = 72°), entsprechend der Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis.
Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises bis auf die Umkreislinie. Somit sind alle zehn Eckpunkte bestimmt.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge

Regelmäßiges Zehneck bei gegebener Seitenlänge^[3], Animation siehe

Bezeichne die Endpunkte der Seitenlänge a mit E₁ und E₁₀
Zeichne einen Kreisbogen um E₁ mit dem Radius E₁E₁₀ durch E₁₀.
Konstruiere eine Senkrechte zur Seitenlänge a ab E₁ bis sie den Kreisbogen um E₁ in A schneidet.
Zeichne einen Kreisbogen um E₁₀ mit dem Radius E₁E₁₀ durch E₁, es ergeben sich die Schnittpunkte B und C.
Zeichne eine gerade Linie ab C durch B (Mittelsenkrechte), sie schneidet die Seitenlänge a in D.
Verlängere die Seitenlänge a ab E₁.
Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius AD bis er die Verlängerung der Seitenlänge a in F schneidet.
Zeichne einen Kreisbogen um E₁₀ mit dem Radius E₁₀F, er schneidet die Mittelsenkrechte von E₁E₁₀ im Mittelpunkt M des Umkreises vom gesuchten Zehneck.
Zeichne den Umkreis des entstehenden Zehnecks um M mit dem Radius R = ME₁₀.
Bestimme die restlichen Eckpunkte durch Abtragen der Seitenlänge a auf den Umkreis entgegen dem Uhrzeigersinn.
Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, damit ist das Zehneck fertiggestellt.

Der Mittelpunktswinkel $\mu$ mit der Winkelweite ${\tfrac {360^{\circ }}{10}}=36^{\circ }$ ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks ${E_{10}DM}$ mit den Seiten ${\tfrac {a}{2}}={\tfrac {1}{2}}$ und $R={\overline {E_{10}F}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ (siehe nächsten Abschnitt Der Goldene Schnitt im Zehneck) nach dem Satz des Pythagoras:

\arcsin \left({\frac {\mu }{2}}\right)={\frac {\frac {a}{2}}{R}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}=18^{\circ },

daraus folgt

\mu =36^{\circ }.

Der Goldene Schnitt im Zehneck

Sowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis^[2] als auch in der bei gegebener Seitenlänge ist der Goldene Schnitt mittels äußerer Teilung der maßgebende Baustein.

In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis verlängert der Kreisbogen mit dem Radius |FE₃| um den Punkt F den Umkreisradius AM um die Strecke MG. Die somit erzeugte Strecke AG teilt der Mittelpunkt M im Goldenen Schnitt.

{\frac {\overline {AM}}{\overline {MG}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}

In der Konstruktion bei gegebener Seitenlänge^[3] bewirkt der Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius |DA| eine Verlängerung der gegebenen Seitenlänge E₁E₁₀ um die Strecke E₁F, damit ist die Strecke E₁₀F die längere Strecke des Verhältnisses (siehe hierzu die Definition des Goldenen Schnittes).

{\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1{,}618{\text{.}}

Parkettierung eines Zehnecks mit goldenen Dreiecken

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art (spitzwinklig) und Goldenen Dreiecken zweiter Art (stumpfwinklig).

Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.^[4]

Polyeder mit regelmäßigen Zehnecken

Einige Polyeder haben regelmäßige Zehnecke als Seitenflächen, zum Beispiel der Dodekaederstumpf und das Große Rhombenkuboktaeder. Die genannten Polyeder sind archimedische Körper.

Vorkommen

Architektur

Modell der Johanneskirche in Worms

Maria, Hilfe der Christen (Spandau)

Grundrisse: Maria, Hilfe der Christen (Spandau)

Das Dekagon der Kirche St. Gereon in Köln, errichtet 1219–1927, hat hingegen zwei unterschiedliche Kantenlängen (die eine achtmal, die andere zweimal) und zwei unterschiedliche Winkel (den einen viermal, den anderen sechsmal), weil es auf einen ovalen antiken Unterbau gestellt wurde.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Zehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Zehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Definition und Eigenschaften eines Zehnecks (englisch) Mit interaktiver Animation

Einzelnachweise

↑ Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).
↑ ^a ^b Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 11. Februar 2016.
↑ ^a ^b Jürgen Köller: Regelmäßiges Zehneck, → 3. Absatz, Formeln "Ist die Seite a gegeben …" In: Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Februar 2016.
↑ Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176/177

[1] Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 2. Juli 2024]).

[GoldenerSchnitt-2] Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 11. Februar 2016.

[Jürgen_Köller-3] Jürgen Köller: Regelmäßiges Zehneck, → 3. Absatz, Formeln "Ist die Seite a gegeben …" In: Mathematische Basteleien. 2005, abgerufen am 4. Februar 2016.

[4] Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176/177

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