Differentialcharakter

Differentialcharaktere sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie, der die Kohomologiegruppen verallgemeinert.

Sekundäre charakteristische Klassen, zum Beispiel die Cheeger-Chern-Simons-Klassen von Vektorbündeln, sind Differentialcharaktere. Im Fall flacher Bündel sind diese dann sogar Kohomologieklassen.

ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $k\geq 1$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der $\mathbb {Z}$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad $k$ ist

${\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} ):=\left\{h\in \mathrm {Hom} (Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\mid h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)\right\}$.

Hierbei bezeichnet $Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} )$ die Gruppe der $(k-1)$-Zykel und die Notation $h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)$ meint, dass es eine Differentialform $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ gibt, so dass

$h(\partial c)=\exp(2\pi i\int _{c}\omega )$

für jede glatte Kette $c\in C_{k}(X;\mathbb {Z} )$ gilt.

ℝ/ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $k\geq 1$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad $k$ ist

${\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} ):=\left\{h\in \mathrm {Hom} (Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} ),\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\mid h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)\right\}$.

Hierbei bezeichnet $Z_{k-1}(X;\mathbb {Z} )$ die Gruppe der $(k-1)$-Zykel und die Notation $h\circ \partial \in \Omega ^{k}(X)$ meint, dass es eine Differentialform $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ gibt, so dass

$h(\partial c)=\int _{c}\omega \ \mathrm {mod} \ \mathbb {Z}$

für jede glatte Kette $c\in C_{k}(X;\mathbb {Z} )$ gilt.

Kurze exakte Sequenzen

Korand-Abbildung

Man hat eine kurze exakte Sequenz

$0\to H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{k+1}(X)\to 0$.

Hierbei bezeichnet $A_{0}^{k+1}(X)$ die Gruppe der geschlossenen Differentialformen mit ganzzahligen Perioden und die Abbildung

$\delta \colon {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{k+1}(X)$

ordnet jedem $h\in {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ die eindeutige Differentialform $\omega \in \Omega ^{k}(X)$ mit $h(\partial c)=\int _{c}\omega \ \mathrm {mod} \ \mathbb {Z} \ \quad \forall c\in C_{k}^{smooth}(X;\mathbb {Z} )$ zu.

Insbesondere kann man $H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ als Untergruppe von ${\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ auffassen.

Sekundäre charakteristische Klassen von Vektorbündeln geben Invarianten in ${\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$, die im Fall verschwindender Krümmung sogar in $H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ liegen.

Bockstein-Homomorphismus

Es gibt einen Homomorphismus

$b\colon {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{k+1}(X;\mathbb {Z} )$,

dessen Einschränkung auf $H^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )$ gerade der Bockstein-Homomorphismus ist. Er passt in eine exakte Sequenz

$0\to A^{k}(X)/A_{0}^{k}(X)\to {\widehat {H}}^{k}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{k+1}(X;\mathbb {Z} )\to 0$.

Literatur

• Jeff Cheeger, James Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology. In: Lecture Notes in Math. 1167, Springer, Berlin 1985, S. 50–80.
• Christian Bär, Christian Becker: Differential characters. In: Lecture Notes in Mathematics. 2112. Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07033-9.