Sekundäre charakteristische Klasse

Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

von -Prinzipalbündeln mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom , so dass

für jedes -Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform , wobei

die Krümmungsform des Zusammenhangs , die De-Rham-Kohomologieklasse von

,

und das Bild der charakteristischen Klasse unter dem kanonischen Homomorphismus

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

und jeder Kohomologieklasse

mit einen Differentialcharakter

.

Die Kohomologiegruppe ist eine Untergruppe von und im Fall flacher Bündel liegt in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus bildet die sekundäre charakteristische Klasse auf die charakteristische Klasse ab, deren Bild in verschwindet.

Existenz und Eindeutigkeit

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Gegeben seien eine Lie-Gruppe  , ein invariantes Polynom   und eine Kohomologieklasse   mit  . Wir bezeichnen mit   die Korand-Abbildung und mit   den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes  -Prinzipalbündel   mit Zusammenhangsform   gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

 

mit

  •  
  •  ,

so dass   unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Cheeger-Chern-Simons-Klassen

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Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome   seien definiert durch die Relation

 

für alle  . Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

 

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes   ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen   und für diese gilt

 .

Für ein  -Prinzipalbündel   gibt es nun eine klassifizierende Abbildung   und die Chern-Klasse von   ist  . Für eine Zusammenhangsform   definiert man nun

 .

Im Fall flacher Bündel   erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

 .

Falls   eine  -dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

 

des flachen Bündels   durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse  .

Literatur

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  • Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
  • Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
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