Sei
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Körper und
V
=
Mat
(
n
,
K
)
{\displaystyle V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
allgemeine lineare Gruppe
GL
(
n
,
K
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )}
V
{\displaystyle V}
g
x
:=
g
x
g
−
1
{\displaystyle gx:=gxg^{-1}}
g
∈
GL
(
n
,
K
)
,
x
∈
Mat
(
n
,
K
)
{\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}
Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen
P
:
Mat
(
n
,
K
)
→
K
{\displaystyle P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }
P
(
g
x
g
−
1
)
=
P
(
x
)
{\displaystyle P(gxg^{-1})=P(x)}
g
∈
GL
(
n
,
K
)
,
x
∈
Mat
(
n
,
K
)
{\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )}
Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable
t
{\displaystyle t}
det
(
t
A
+
I
)
=
∑
k
=
0
n
c
k
(
A
)
t
k
{\displaystyle \det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}}
betrachten und erhält invariante Polynome
c
0
,
…
,
c
n
{\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
n
{\displaystyle c_{n}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein
c
k
{\displaystyle c_{k}}
elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von
A
{\displaystyle A}
Sei
G
{\displaystyle G}
Lie-Gruppe und
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Lie-Algebra . Ein Polynom auf
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Symmetrische Algebra .
Die Gruppe
G
{\displaystyle G}
c
g
(
h
)
:=
g
h
g
−
1
{\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}}
h
∈
G
{\displaystyle h\in G}
c
g
{\displaystyle c_{g}}
Ad
(
g
)
:=
D
(
c
g
)
e
:
g
→
g
{\displaystyle \operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}
dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung
G
{\displaystyle G}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
P
(
Ad
(
g
)
X
1
,
…
,
Ad
(
g
)
X
k
)
=
P
(
X
1
,
…
,
X
k
)
{\displaystyle P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})}
g
∈
G
,
X
1
,
…
,
X
k
∈
g
{\displaystyle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}}
erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit
I
∗
(
g
)
{\displaystyle I^{*}({\mathfrak {g}})}
In diesem Fall ist
g
=
Mat
(
n
,
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}
A
d
(
g
)
(
A
)
=
g
A
g
−
1
{\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}}
g
∈
GL
(
n
,
R
)
,
A
∈
Mat
(
n
,
R
)
{\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
P
k
2
{\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}
k
{\displaystyle k}
(
A
,
…
,
A
)
{\displaystyle (A,\ldots ,A)}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
det
(
λ
I
−
1
2
π
A
)
=
∑
k
P
k
2
(
A
,
…
,
A
)
λ
n
−
k
{\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}
erhält, für alle
A
∈
Mat
(
n
,
R
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )}
(
A
,
…
,
A
)
{\displaystyle (A,\ldots ,A)}
P
k
2
{\displaystyle P_{\frac {k}{2}}}
k
2
{\displaystyle {\frac {k}{2}}}
Pontrjagin-Polynom .
Die Algebra der invarianten Polynome wird von den
P
k
2
∈
I
k
(
g
l
(
n
,
R
)
)
{\displaystyle P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))}
Für
A
∈
o
(
n
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(n)}
A
=
−
A
T
{\displaystyle A=-A^{T}}
det
(
λ
I
−
1
2
π
A
)
=
det
(
λ
I
+
1
2
π
A
)
{\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)}
P
k
2
=
0
{\displaystyle P_{\frac {k}{2}}=0}
k
{\displaystyle k}
Die Algebra der invarianten Polynome wird von den
P
k
∈
I
2
k
(
o
(
n
)
)
{\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))}
Falls
n
=
2
m
{\displaystyle n=2m}
Pfaffsche Determinante , die für
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
a
i
j
=
−
a
j
i
{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}
P
f
(
A
,
…
,
A
)
=
1
2
2
m
π
m
m
!
∑
σ
∈
S
2
m
s
i
g
n
(
σ
)
a
σ
(
1
)
σ
(
2
)
…
a
σ
(
2
m
−
1
)
σ
(
2
m
)
{\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}}
Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen
P
k
∈
I
2
k
(
s
o
(
n
)
)
{\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))}
n
{\displaystyle n}
Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante
P
f
∈
I
n
2
(
s
o
(
n
)
)
{\displaystyle Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))}
Für
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
C
k
2
{\displaystyle C_{\frac {k}{2}}}
komplex-wertige homogene Polynom vom Grad
k
{\displaystyle k}
(
A
,
…
,
A
)
{\displaystyle (A,\ldots ,A)}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
det
(
λ
I
−
1
2
π
i
A
)
=
∑
k
C
k
(
A
,
…
,
A
)
λ
n
−
k
{\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}
erhält, für alle
A
∈
Mat
(
n
,
C
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )}
C
k
{\displaystyle C_{k}}
k
{\displaystyle k}
Chern-Polynom . Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung
i
k
C
k
(
A
,
…
,
A
)
=
P
k
2
(
A
,
…
,
A
)
{\displaystyle i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)}
Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den
C
k
∈
I
k
(
g
l
(
n
,
C
)
)
{\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))}
Für
A
∈
u
(
n
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {u}}(n)}
A
=
−
A
H
{\displaystyle A=-A^{H}}
det
(
λ
I
−
1
2
π
i
A
)
=
det
(
λ
I
−
1
2
π
i
A
)
¯
,
{\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},}
u
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}
Die Algebra der invarianten Polynome wird von den
C
k
∈
I
k
(
u
(
n
)
)
{\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))}
