Symmetrische Algebra

Eine symmetrische Algebra ist ein Hilfsmittel zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ . Weiter sei

T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}

das $k$ -fache Tensorprodukt von $V$ mit den Konventionen $T^{0}(V)=K$ und $T^{1}(V)=V$ . Die direkte Summe

T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)

ist die Tensoralgebra von $V$ .

Das zweiseitige, homogene Ideal $I(V)\subseteq T(V)$ sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:

I(V):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v\;{\Big |}\;v,w\in V\right\}

.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

S(V)=T(V)/I(V)

.

Die $k$ -te symmetrische Potenz von $V$ ist definiert als das Bild von $T^{k}(V)$ in $S(V)$ , sie wird mit $S^{k}(V)$ bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)

.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als $ab$ geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Beispiele

Für $V=K$ ist $S(V)$ isomorph zum Polynomring $K[X]$ .

Allgemein kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Elementen einer fest gewählten $K$ -Basis von $V$ interpretieren.

Speziell für $V:={\mathfrak {gl}}(n,K)=\operatorname {Mat} (n,K)$ , den Vektorraum der $n\times n$ -Matrizen über $K$ , kann man die Elemente von $S(V)$ als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

S({\mathfrak {gl}}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]

.

Polynome über Vektorräumen

Homogene Polynome vom Grad $k$ über einem $\mathbb {K}$ -Vektorraum $V$ sind – per Definition – die Elemente aus $S^{k}(V^{*})$ , wobei $V^{*}$ den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K}

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe $S_{k}$ invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte $P(x,x,\ldots ,x)$ für alle $x\in V$ bereits eindeutig festgelegt wird.)