Differenzenfolge

Die Differenzenfolge (früher: Differenzenreihe) einer gegebenen Zahlenfolge entsteht in der Mathematik durch Bilden der Differenzen von je zwei benachbarten Folgengliedern.

Definition

Ist $(a_{n})=a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\ldots$ eine Zahlenfolge, so ist die Folge $a_{1}-a_{0},a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2}\ldots$ die zugehörige Differenzenfolge. Die Differenzen $a_{n+1}-a_{n}$ werden mit $d_{n}$ bezeichnet und die Differenzenfolge entsprechend mit $(d_{n})$. Formal ist die Differenzenfolge $(d_{n})$ also definiert durch

$d_{n}:=a_{n+1}-a_{n}$.

Beispiel

Die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist immer 2. Also ergibt sich als Differenzenfolge der Folge $1,3,5,7,9,11\ldots$ die konstante Folge $2,2,2,2,2\ldots$ Dieser Zusammenhang lässt sich durch ein Differenzenschema veranschaulichen:

$1\$

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$...\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Differenzenfolgen höherer Ordnung

Das Bilden von Differenzen benachbarter Glieder erzeugt aus einer Folge $(a_{n})$ eine neue Folge $(d_{n})$. Bildet man aus der Folge $(d_{n})$ ebenfalls Differenzen benachbarter Glieder, so erhält man abermals eine neue Folge, die Folge der Differenzen 2. Ordnung oder kurz die 2. Differenzenfolge, die mit $(d_{n}^{(2)})$ bezeichnet wird. Die 2. Differenzenfolge ist also die „Differenzenfolge der Differenzenfolge“. Fährt man auf diese Weise fort, bildet also aus Differenzenfolgen immer weitere Differenzenfolgen, so erhält man die höheren Differenzenfolgen $(d_{n}^{(3)}),(d_{n}^{(4)}),(d_{n}^{(5)})$ usw.

Formal werden die Differenzen höherer Ordnung einer Folge $(a_{n})$ rekursiv definiert durch

$d_{n}^{(1)}=d_{n}=a_{n+1}-a_{n}\qquad {\text{und}}\qquad d_{n}^{(k)}=d_{n+1}^{(k-1)}-d_{n}^{(k-1)},\quad k\geq 2.$

Sie ergeben sich bequem aus dem Differenzenschema

Folge:

$a_{0}\$

$a_{1}\$

$a_{2}\$

$a_{3}\$

$a_{4}\$

$a_{5}\$

$a_{6}\$

$a_{7}\$

$...\$

1. Differenzenfolge:

$d_{0}\$

$d_{1}\$

$d_{2}\$

$d_{3}\$

$d_{4}\$

$d_{5}\$

$d_{6}\$

$...\$

2. Differenzenfolge:

$d_{0}^{(2)}$

$d_{1}^{(2)}$

$d_{2}^{(2)}$

$d_{3}^{(2)}$

$d_{4}^{(2)}$

$d_{6}^{(2)}$

$\cdots$

3. Differenzenfolge:

$d_{0}^{(3)}$

$d_{1}^{(3)}$

$d_{2}^{(3)}$

$d_{3}^{(3)}$

$d_{4}^{(3)}$

$...\$

$\vdots$

$\ddots$

k. Differenzenfolge:

$d_{0}^{(k)}$

$d_{1}^{(k)}$

$d_{2}^{(k)}$

$...\$

Beispiel

${\begin{aligned}(a_{n})&=(4,7,11,18,31,54,92,151,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,a_{n}={\frac {96+70n-n^{2}+2n^{3}+n^{4}}{24}}\\(d_{n})&=(3,4,7,13,23,38,59,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,d_{n}={\frac {18+2n+3n^{2}+n^{3}}{6}}\\(d_{n}^{(2)})&=(1,3,6,10,15,21,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,d_{n}^{(2)}={\frac {2+3n+n^{2}}{2}}\\(d_{n}^{(3)})&=(2,3,4,5,6,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,d_{n}^{(3)}=n+2\\(d_{n}^{(4)})&=(1,1,1,1,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,d_{n}^{(4)}=1\\(d_{n}^{(5)})&=(0,0,0,\ldots )&\quad &{\text{mit}}\,d_{n}^{(5)}=0\end{aligned}}$

Alle weiteren Differenzenfolgen sind ebenfalls konstant $0$.

Eigenschaften

Bildet man von einer Folge, die durch ein Polynom angegeben werden kann, wiederholt die Differenzenfolge, sind irgendwann alle weiteren Differenzenfolgen Nullfolgen.

Genauer gesagt: Die Differenzenfolge eines Polynoms $k$-ten Grades ist vom Grad $k-1$.

Nach Newton lässt sich jede Folge auch mit ihren Differenzenfolgen (genauer gesagt, mit jeweils dem ersten Folgeglied aller Differenzenfolgen) darstellen:

$a_{n}=a_{0}+n\cdot d_{0}+{n \choose 2}d_{0}^{(2)}+{n \choose 3}d_{0}^{(3)}+{n \choose 4}d_{0}^{(4)}+\cdots +{n \choose n}d_{0}^{(n)}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}d_{0}^{(k)}$

mit den Binomialkoeffizienten $\textstyle {n \choose k}$. Bei Polynomfunktionen ist dies keine unendliche Reihe, da nur für endlich viele $k$ die Startwerte der Differenzenfolgen $d_{0}^{(k)}$ ungleich $0$ sind.

Nicht für alle Folgen sind irgendwann alle Differenzenfolgen Nullfolgen: Betrachten wir die geometrische Folge $\!\ a_{n}=2^{n}$ so erhalten wir

$(a_{n})=(1,2,4,8,16,32,\ldots )$

$(d_{n})=(1,2,4,8,16,\ldots )$

$(d_{n}^{(2)})=(1,2,4,8,\ldots )$

$\ldots$

Alle Differenzenfolgen stimmen also mit der ursprünglichen Folge überein.

Anwendungen

Mit Hilfe der Differenzenfolge kann man entscheiden, ob es sich bei einer gegebenen Folge um eine arithmetische Folge handelt. Wiederholtes Bilden der Differenzenfolge erlaubt die Charakterisierung arithmetischer Folgen höherer Ordnung, deshalb sind Differenzenfolgen auch bei der Untersuchung figurierter Zahlen, z. B. Polygonalzahlen von Interesse.

In der mathematischen Forschung ist die Differenzenfolge der Folge der Primzahlen Gegenstand zahlreicher Untersuchungen. Terence Tao und Ben Green bewiesen 2004, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen von Primzahlen geben muss (Satz von Green-Tao). Die bislang (2010) längste bekannte dieser Folgen besteht aus 26 Elementen (AP-26).

Außerhalb der Mathematik haben sie Eingang in Intelligenztests und Denksportaufgaben gefunden.

Literatur

• John H. Conway, Richard Kenneth Guy: Zahlenzauber. Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen, Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 978-3-7643-5244-8. Besser ist hier die englische Originalausgabe: The Book of Numbers, Springer, Berlin, 2nd corr. Printing (März 1998), ISBN 978-0-387-97993-9
• Wolfgang Gohout: Mathematik für Wirtschaft und Technik, Oldenbourg Verlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58501-8, S. 126–128.

Weblinks

• Differenzen- und Summenfolgen bei Jutta Gut, mit Beispielen und Zusammenhängen zu Infinitesimalrechnung und Summenfolgen
• Eric W. Weisstein: Prime Arithmetic Progression. In: MathWorld (englisch).