Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe $\Gamma$ heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements $\gamma \in \Gamma$ liegen keine weiteren Elemente von $\Gamma$.

Eine Darstellung $\rho \colon \Gamma \to GL(n,\mathbb {C} )$ einer (abstrakten) Gruppe $\Gamma$ heißt diskret, wenn das Bild $\rho (\Gamma )$ eine diskrete Untergruppe von $GL(n,\mathbb {C} )$ ist.

Beispiele

• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$ ist keine diskrete Untergruppe
• $GL(n,\mathbb {Z} )\subset GL(n,\mathbb {R} )$ ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter

Sei $G$ eine lokalkompakte $\sigma$-kompakte topologische Gruppe, $\pi \colon G\rightarrow \Gamma \backslash G$ die Projektion und $\mu$ das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$ erzeugt das Haarmaß $\mu$ ein wohldefiniertes Maß $\mu _{\Gamma }$ auf $\Gamma \backslash G$ wie folgt: für alle Mengen $A\subset G$ mit $A\cap \gamma A=\emptyset \forall \gamma \in \Gamma -\left\{e\right\}$ definieren wir $\mu _{\Gamma }(\pi (A))=\mu (A)$.

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe $\Gamma \subset G$, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum $\Gamma \backslash G$ endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn $\Gamma \backslash G$ kompakt ist.

Ein Gitter $\Gamma \subset G$ heißt reduzibel, wenn sich $G$ als direktes Produkt $G=G_{1}\times G_{2}$ zerlegen lässt, so dass es Gitter $\Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}$ gibt, für die $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}$ eine Untergruppe von endlichem Index in $\Gamma$ ist. Insbesondere ist $\Gamma$ dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Springer, New York, Heidelberg 1972. 
• G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks

• Venkataramana: Lattices in Lie groups