Diskussion:Äußere Ableitung

Im englischen steht dass sie nach Élie Cartan benannt ist, nicht also seinem Sohn Henri Cartan. --χario 00:34, 3. Nov. 2008 (CET)

Da hast du recht. Hab ich mich wohl vertan. Ich ändere das heute Abend noch ab. --Christian1985 18:46, 3. Nov. 2008 (CET)

Bitte um weitere Erläuterungen

Wer diesen sehr speziellen Artikel liest, wird sich sehr wahrscheinlich schon mit Differentialgeometrie auskennen und sich daher einiges zusammenreimen können. Dennoch halte ich es für einen guten Stil, verwendete Bezeichnungen zu erläutern. In der Definition tritt ganz unvermittelt ${\mathcal {A}}^{k}(U)$ auf. Das werden wohl die Differentialformen sein! Das sollte aber dort oder in der Einleitung erläutert werden. Desgleichen wird im Absatz Adjungierte äußere Ableitung der Hodge-Stern-Operator verwendet, ohne dass das dort erläutert würde. Erst im darauf folgenden Abschnitt wird dieser namentlich erwähnt und dann auch verwendet. Hier würde ich entweder den Hodge-Stern-Operator bereits im Absatz Adjungierte äußere Ableitung erwähnen oder den Artikel entsprechend umstellen.--FerdiBf 10:30, 24. Nov. 2008 (CET)

Gradient

Der Gradient ist keine Abbildung $\nabla :(\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} )\to (\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n})$, denn eine Funktion muss ja partial diffbar sein und sie kann auch nur auf Teilmengen von $\mathbb {R} ^{n}$ definiert sein. --Christian1985 16:07, 12. Sep. 2009 (CEST)

Poincacé differential

Hallo, ich lese gerade im Buch From holomorphic functions to complex manifolds von Fritzsche und Grauert, dass die Autoren die äußere Ableitung Poincacé differential nennen. Kennt sonst noch jemand den Begriff? Bei Google habe ich spontan nichts gefunden. Lohnt es sich das hier zu ergänzen? --Christian1985 (Diskussion) 22:40, 4. Feb. 2011 (CET)

Adjungierte Ableitung

Achtung, δ ist zu d nicht bezüglich der riemannschen Metrik g, sondern bezüglich des Skalarprodukts adjungiert. (nicht signierter Beitrag von 129.69.61.41 (Diskussion) 15:53, 18. Jul 2012 (CEST))

Die riemannsche Metrik ist doch ein Skalarprodukt. Was für ein anderes Skalarprodukt haben wir denn noch? --Christian1985 (Diskussion) 16:43, 18. Jul. 2012 (CEST)

Das durch die riemannsche Metrik induzierte $L^{2}$-Skalarprodukt

$\int _{M}g(\cdot ,\cdot )\ \mathrm {d\,vol} _{g}$

Dahinter steckt partielles Integrieren, bzw. die Produktregel für die äußere Ableitung und das Dachprodukt. Oder täusche ich mich? Punktweise ergibt die angegebene Beziehung keinen Sinn. --Digamma (Diskussion) 17:45, 18. Jul. 2012 (CEST)

Habe bei Abraham/Marsden/Ratiu nachgeguckt, in der Tat ist das bezüglich des $L^{2}$-Skalarproduktes zu verstehen und es stecken Produktregel und Satz von Stokes dahinter. Es wird dort eingeschränkt auf kompakte, orientierbare, unberandete Mannigfaltigkeiten (dafür Pseudo-Riemann’sch). Das Skalarprodukt für Differentialformen ist in der WP noch nirgends definiert, oder? --Chricho ¹ ² ³ 22:35, 10. Okt. 2012 (CEST)

Unter Graßmann-Algebra #Skalarprodukt steht etwas. --Digamma (Diskussion) 21:16, 12. Okt. 2012 (CEST)

Jedenfalls sollte im Artikel darauf hingewiesen werden, wie die IP richtig bemerkt. Ist die momentane Schreibweise mit dem $g$ denn üblich für das Skalarprodukt zweier Differentialformen? Ansonsten: Kennt jemand eine gute Quelle für das Skalarprodukt von Differentialformen? In AMR wird es anscheinend nicht als eigener Begriff eingeführt, sondern nur mal so benutzt, als Integral von $\alpha \wedge \star \beta$. Alternative wäre, über das im Graßmann-Algebra-Artikel angegebene Skalarprodukt zu integrieren, oder das Skalarprodukt der Tensoralgebra zu erben und darüber zu integrieren. Ist wohl alles kein großer Unterschied – aber was ist übliche Konvention, wie sind die Vorfaktoren? --Chricho ¹ ² ³ 18:47, 3. Nov. 2012 (CET)

Nochmal adjungierte Ableitung

Da wurde der Grad der Form erhöht statt verringert, habe es versucht, zu korrigieren, allerdings ist laut dem in den Einzelnachweisen einmal verwendeten Skript das Vorzeichen in der Definition durch $n(k+1)+k$ gegeben, laut Abraham/Marsden/Ratiu dagegen durch $nk+1$, sind das verschieden motivierte Definitionen oder ist da ein Fehler dabei? Vllt. ist es bei der einen Variante $*^{-1}\mathrm {d} *$ und bei der anderen dafür der adjungierte Operator? Was ich mich außerdem frage: Was soll das mit der Dimesion/Kodimension etc.? Was hat das mit Ableitungen zu tun, maßgeblicher Vermittler ist da doch der Hodgestern und nicht irgendeine Ableitung. --Chricho ¹ ² ³ 21:06, 10. Okt. 2012 (CEST)

Den Satz mit Dimension und Kodimension kann man getrost streichen. Er ist völlig unverständlich. Wegen des Vorzeichens habe ich in der englischen WP gesucht und en:Hodge dual#The codifferential gefunden. Dort steht:

The most important application of the Hodge dual on manifolds to is to define the codifferential δ. Let

$\delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star d\star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}d\star }$

where d is the exterior derivative or differential, and s=+1 for Riemannian manifolds.

Passt das zu einer der beiden von dir genannten Definitionen? --Digamma (Diskussion) 22:16, 10. Okt. 2012 (CEST)

Das passt zur zweiten Variante (da wir hier im Artikel von $k+1$ ausgehen, damit man das mit der Adjunktion machen kann, muss man in der Formel $k$ durch $k+1$ ersetzen, also $n(k+1)+n+1=nk+n+n+1=nk+1$). Dann scheint es wohl tatsächlich so zu sein, dass erstere Variante das einfache $*^{-1}\mathrm {d} *$ zulässt, die andere dafür für die Adjunktion sorgt. Dann beide Varianten erwähnen? --Chricho ¹ ² ³ 22:23, 10. Okt. 2012 (CEST)

Keine Ahnung. Ich müsste mich erstmal einarbeiten. Ich wusste auch bis eben nicht, dass es da zwei Varianten gibt. --Digamma (Diskussion) 22:26, 10. Okt. 2012 (CEST)

Naja, ich komme eben darauf, weil im AMR das mit der adjungierten Abbildung bewiesen wird und in der anderen Quelle davon überhaupt keine Rede ist. Habe sicherheitshalber noch $*$ und $\mathrm {d}$ verglichen, da sind keine Vorzeichenunterschiede. Müsste man mal schauen, ob das andere auch so machen mit $*^{-1}\mathrm {d} *$, vllt. ist das gar nicht nennenswert, habe da keinen Überblick. --Chricho ¹ ² ³ 21:55, 12. Okt. 2012 (CEST)

Also die Information in dem Skript scheint mir nicht selbstkonsistent zu sein, denn $**=(-1)^{k(n-k)}=(-1)^{k(n+1)}$, also auch $*d*=(-1)^{k(n+1)}*^{-1}d*$. Ich werd mich an das Buch halten. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 17:10, 9. Feb. 2013 (CET)