Diskussion:Achilles und die Schildkröte/Archiv/1

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Mangoldt/Knopp

Hallo ich habe den ersten Absatz mit Hilfe des leichtverständlichen Lehrbuchs von Mangoldt/Knopp; Einführung in die höhere Mathematik; 13. Auflage; Hirzel Verlag Stuttgart 1968 heute überarbeitet. Ich schlage vor alle nachfolgenden Absätz zu streichen. Bin aber hier zu neu, als daß ich mich das trauen würde. --Schnappedullrich 21:20, 3. Apr 2006 (CEST)

Hallo, ich habe es jetzt, mathematischer gemacht, bitte nochmal gegenlesen. Mangoldt und Knopp verfolgen den infinitesimalen Ansatz nach der geometrischen Reihe. In diesem Lehrbuch wird wohl auch erstmalig in der mehr verbreiteten Lehrbuchliteratur von einer Erklärung des Differentials abgesehen, statt dessen wird der Differentialaquotient an den Anfang gestellt, es wird nur formal nachgeholt. Damit übergehen sie aber die Sichtweise aller Mathematiker, die einen konstruktivistischen, positivistischen oder intuitionalistischen Ansatz verfolgen, wie hier unter kontinuierlicher Ansatz schlecht angedeutet und erwähnt. Aber ansonsten streiche fröhlich drauflos, die Administratoren werden sich schon melden.--Roomsixhu 00:50, 6. Apr 2006 (CEST)

Danke für die Überarbeitung. Der Titel scheint mir auch für Nichtmathematiker interessant und der Beweis sollte auch für Nichtmathematiker nachvollziehbar sein. Ich bin der Meinung, daß bei Wikipedia auch für Nichtfachleute die Artikel verständlich sein sollten, oder? --Schnappedullrich 10:52, 6. Apr 2006 (CEST)

Natürlich. Ich glaube bloß nicht, daß man den Streit zwischen Mathematikern einem Laien verständlich machen kann, weil viele Mathematiker Schwachsinn behaupten. Ich habe es übrigens ausprobiert, und im Rennen meinen Sohn eingeholt.

Annmerkung: Dein Ansatz ist einer nach Cantor, der Zahlen als Relationen auffasst und nicht gezählte Zahlen hat, wie noch Weierstraß. Außerdem geht in Deinem Ansatz mit der Erwähnung der Zahl 2 Deine Kenntnis des Grenzwertes als endlicher Wert ein, wonach Zenon aber gerade fragt.--Roomsixhu 23:10, 6. Apr 2006 (CEST)

Hallo Roomsixhu. Nach meiner Meinung sollte auch einem Zenon schon eingängig gewesen sein, daß in der "2er"- Folge das Glied a(i+1) =a(i)/2ist. Daher kann die Summe der Folge nicht über a(0) + a(1) +...+a(i)+a(i) wachsen. Dieser Wert ist aber 2. Der Mathematikerstreit kann ja in dem Punkt weiter unten dargelegt werden. Jemand der aber von dem anekdotischen Titel "Achilles und die Schildkröte" (klingt nach einer Fabel) angelockt wurde, sollte eine kurze Erläuterung erhalten. --Schnappedullrich 11:44, 7. Apr 2006 (CEST)

Ja, dann schreib das genauso in der Einleitung hin. Zenon fragt doch eher ob Achilles die Schildkröte bis zwei einholt und verneint es. Alles an dem Ansatz ist endlich: Die Reihe bis i, i selbst, 2. Zenon fragt doch nach den $a(i)\to 0$ und das Glied $a(\infty )$ ist doch wohl Blödsinn. Der Grenzwert ist die moderene Lösung--Roomsixhu 17:22, 8. Apr 2006 (CEST)

Hallo Moderatoren, ich schlage vor, daß man alles nach dem Inhaltsverzeichnis auf die Seite Teilungsparadoxon verschiebt und nur die Kurzerläuterung auf dieser Seite beläßt. Leider weiß ich nicht, wie man das macht. Beim Teilungsparadoxon ist nur eine Kurzerläuterung und hier unter der auch Nichtmathematiker interessierenden Überschrift eine ausführlich mathematisch-philosophische Erörterung. Es sollte gerade umgekehrt sein --Schnappedullrich 11:53, 7. Apr 2006 (CEST)

Der "infinitesimale", der "kontinuierliche Ansatz", der "Rückschluß", die dazugehörigen Unterabschnitte und die "logische Problematik des Paradoxons" sind von mir. Die kannst Du löschen, wenn sie Dich stören, aber ich bin hier kein Moderator, ich weiß also nicht ,was die machen werden--Roomsixhu 18:14, 30. Mai 2006 (CEST)

Überarbeiten

Hallo, ich habe hier ganz schönen Müll gescchrieben. Aber dennoch habe ich versucht die Bedeutung und das Paradoxon in den philosophischen Kontext der damaligen Zeit einzubetten. Aus den verschiedenen Ansätzen könnte man Unterpunkte zu dem Punkt "Lösungsmöglichkeiten" machen. Auch in finde, dass der Artikel zu lang ist, insbesondere die einzelnen Ansätze. Man sollte einfach nur das Paradoxon mathematisch modellieren und dann auf die entsprechenden Artikel (z.B. geometrische Reihe) verweisen. Falls es noch keine oder unzureichende Artikel mit dem mathematischen Hintergrund gibt, sollte man liebe jene ergänzen, als diesen Artikel aufzuplustern und allein durch die Text- und Bildermasse einen falschen Schwerpunkt zu verleihen. Dann bräuchte man hier auch nicht über die mathematischen Details zu diskutieren. --- Hegelkant

@Hegelkant: Schöner Name und widersprüchlich! Noch schöner, daß Du Dich hier des Artikels annehmen willst. Ich schreibe Dir jetzt weil ich diesen Artikel begonnen habe. Entrümpele den Artikel ganz hemmungslos! Eigentlich arbeite ich an der Wikipedia nicht mehr mit, aber der Zusatz zur Logik lag bei mir noch herum. Ich arbeite hier nicht mehr mit, weil ich von den hier tätigen Mathematikern als dumm dargestellt werde. Meinetwegen!

Deshalb skizziere ich wie der jetztige Zustand erreicht wurde, was meinen Anteil, und der ist sehr groß, betrifft.

1. Ich wollte latex üben und habe versucht eine schöne Lösung mittels der geometrischen Reihe hinzuschreiben.
2. Ich wollte den Artikel dann im weiteren Verlauf vervollständigen, alle Sichtweisen erwähnen, die es gibt.
3. Ich beschäftigte mich mit Geschichte der Mathematik (O.Becker), Exhaustion, Grenzwerten, Limes, Cauchy, Maß, Maßeinheiten, Zahl und Zählen, Konstruktivismus, Intuitionismus und Logik usw.
4. Mit Diskussionen über Grenzwerte, die leere Menge und Logik habe ich dann die Mathe-Wikipedianer gelangweilt, geärgert und gestresst und vor den Kopf gestoßen, so daß sie mich für dumm erklärten.
5. Auf diesem Hintergrund bildete sich meine Meinung zu der Lösung des Problems heraus. Ich erachte folgendes als wichtig.
   1. Die Lösung mit der geometrischen Reihe ist wichtig. Sie ist die heute vorherrschende Auffassung des Problems, in ihrer Nähe steht der Mengenbegriff und die moderne Aussagen- und Prädikatenlogik.
   2. Die andere ist die Zählende mit Einheit (hier unter kontinuierlich begonnen), oder messende. Man könnte sie als die historische bezeichnen, von der behauptet wird sie habe in einen gewissen Sinn versagt. Sie geht auf Descartes zurück, auf Weierstraß, die Konstruktivisten. Sie wurde mit dem Versagen von Hilberts Programm wegen Gödel zu Grabe gertragen.
   3. Interessanterweise haben trotz Gödel einige wichtige Mathematiker nicht von Hilberts axiomatischen Ansatz gelassen und ihn weiterverfolgt. Darunter fallen Ackermann, ja genau der Ackermann, H. Weyl, der verdächtige G. Gentzen, ein Brouwer wird von Weyl erwähnt und in der Moderne gab es noch Paul Lorenzen. Diese beschäftgten sich in einem logischen konstruktiven, man sagt dazu intuitionistischem Sinn mit Zahlen und Zählen. Um gewisse Themengebiete gibt es dort immer noch Diskussionen: Negation ,tertium non datur, Widerspruch (Dein Hegel), Mengenparadoxa und zirkuläre Definitionen.
   4. Dann kann man noch eine logische Untersuchung vertiefen. Ich habe dazu noch nichts gutes gefunden. Bolzano hat über Paradoxien des Unendlichen geschrieben. Doch gibt es über seine Auffasung von Inhalt und Umfang von Begriffen Streit. Begriffe wie Zahl, unendlich. Es gibt eine Logik von Port-Royal, die erstmalig Inhalt und Umfang zu "Allgemeingut" machte. Extrem viel philosophische Literatur beschäftigt sich damt. Zuletzt gesehen Umberto Eco: Kant und das Schnabeltier.
   5. Schließlich kann man raten.

Eine schöne Quelle ist Hermann Weyl: Das Kontinuum. (Er spricht von ineinanderfließendem Brei und Sauce, und zeigt wie euklidische Punkte diesen Brei widerspruchsfrei fassen).

Eine Feststellung ist noch hilfreich: Es gibt nicht die unendliche Zahl. Zahlen sind unendlich aber die Zahl $a=\infty$ gibt es nicht und man kann sie sich auch nicht vorstellen. Man setzt bei den beiden Lösungen auch nur endliche Konstruktionen oder endliche Grenzwerte ein! Unendliche Mengen lassen sich nur durch ein Konsruktionsverfahren angeben!

Also Vorschlag zur Gliederung:

• Einheitliche Problemstellung
• Lösung mit Reihe: darunter Mengenlehre, die Durchführung der Reihenrechnung kann raus.
• Lösung durch Messen: Darunter Zahl, Kinematischer Ansatz, etc. Der ganze kontinuierlich Ansatz kann raus. Hermann Weyl gibt dafür in seinen Aufsatz das Kontinuum ineinander übergreifende Intervalle an, die die reelen Zahlen fassen und die sicher eine gesuchte Zahl (das Ziel des Rennens) einschließen.
• Logisches: Grundlegung der Mathematik Gentzen, Lorenzen und Gegenpositionen etc.
• Vorschlag: Raten, leben, ausprobieren, Experimente, Genauigkeit.
• Historisches, Zitate. Darunter auch die Frage, warum Zenon das Paradox aufgestellt hat, obwohl die Griechen den Grenzwert einer Reihe kannten.

Für Rückfragen stehe ich zur Verfügung, mitarbeiten tue ich nicht mehr. Gruß --Roomsixhu 16:13, 24. Mär 2006 (CET)

Anfängliche Diskussion

Ist schon besser geworden. Da viel Mist von mir ist, sage ich dazu: Der mathematische Hintergrund in der Wikipedia zu Zählen, Zahlwert (Zahlgröße), Logik (insbesondere meine bevorzugte Begriffslogik) ist nicht vorhanden. Das ursprüngliche Problem ist wohl nicht mathematisch gemeint gewesen, wird aber heutzutage im Untericht so aufgefasst. Außerdem liegt auch hier etwas Zirkuläres vor. Wer beschreibt wen? Die Läufer das Rennen, ein Läufer und das Rennen den anderen. Das Rennen und ein Läufer einen Läufer? Es wird nicht herauszubekommen sein, welche Voraussetzung einen Widerspruch verursacht, weil immer zwei beschreibende Voraussetzungen im Schluß einen Widerspruch erzeugen.--Roomsixhu 08:23, 30. Nov 2005 (CET)

Hallo, ich habe versucht, einige der geäußerten Kritikpunkte in der Einleitung aufzugreifen. Insgesamt finde ich den Artikel aber viel zu lang. Wieso braucht man verschiedene Ansätze oder warum soll man beweisen, dass eine unendliche geometrische Reihe einen Grenzwert hat? Dazu gibt es meiner Meinung nach bereits entsprechende Artikel.

Interessant ist vielleicht noch der Punkt, der weiter unten geäußert wird: Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und der Wert 2 sind zwei verschiedene Dinge. In der heutigen Mathematik sind die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und die reelle Zahl 2 aber in der Tat dasselbe - so sind die reellen Zahlen gerade definiert!

Diesen letzten Punkt sollte man sicher in dem Artikel erwähnen, aber die ganze Epsilontik würde ich gerne streichen. --Christian Gawron 01:36, 5. Nov 2005 (CET)

So, ich habe den Atikel jetzt fertig im Großen und Ganzen, sind jetzt weniger math's und Zahl und Maß stehen jetzt weiter auseinanderm und noch zwei Anmerkungen. Ich hoffe es sind jetzt keine Rechenfehler drin.---Roomsixhu 01:02, 10. Nov 2004 (CET) Hatte ich eh vor und habe es jetzt gemacht. Vieleicht kann sie jemand flüssiger machen, also weniger math's setzen. Sorry, ich bevorzuge das ß und Achilles wurde grausam weil er eben unbesiegbar war, aber sein Größenwahn wurde eben durch seine doch verwundbare Ferse beendet, was hoffen läßt. --Roomsixhu 19:32, 9. Nov 2004 (CET)

Kann vielleicht jemand die Formeln in TeX umsetzen? Ich habe jetzt zunächst nur ein paar kleine Änderungen vorgenommen. --Oracle of truth 17:57, 9. Nov 2004 (CET)

So sieht es schon besser aus :) . Unabhängig von

persöhnlichen Präferenzen ist die ß-Schreibung bei "dass" etc. nach dem Duden nun mal falsch, außerdem wird in den restlichen Artikeln der Wikipedia auch die neue Rechtschreibung benutzt. Ach ja, versuche Änderungen doch einfach in einem Rutsch zu machen, sieht dann zumindest übersichtlicher aus. --Oracle of truth 14:47, 10. Nov 2004 (CET)

Das mit dem einfachen Rutsch ist auch mein Anliegen, aber da waren beim 20. Durchlesen noch große Fehler drin, und ich war nocht nicht so formelerfahren. Das ss und ß Problem ist schon ok, kommt aber gerade in dem Wort Maß , Maße und Masse vor.---Roomsixhu

Philosophisches

Hi, könnte man die Schilderung des Problems etwas historisch angemessenter machen? Sonst versteht man schlecht, warum an dieser Stelle die antike Mathematik am Ende war. Z.B. könnte man in der derzeitigen Formulierung denken, dass man doch einfach nur ein Weg-Zeit-Diagramm hätte zeichnen können um den Überholpunkt damit geometrisch zu bestimmen. Das geht nicht, weil es erst seit Descartes-Galilei üblich wurde, Zeit als Kontinuum aufzufassen und mit Strecken zu identifizieren. Auch gibt es, damit zusammenhängend, den Begriff der Geschwindigkeit in heutiger Lesart erst seit Newton/Leibniz, also nochmals 150 Jahre später. Grob gesagt hatten die antiken Griechen keinen Begriff davon, wie die Dauern der unendlich vielen Ereignisse "Achill erreicht die vorige Position der Schildkröte" miteinander zu vergleichen wären. Das ist auch der Kern der weiteren Paradoxa, im antiken geistigen Betriebssystem, dem "angeborenen" "A-priori der Erkenntnis" gab es weder eine universale Zeitgerade noch die Operation, die Vorgängen eine Strecke auf ihr zuordnete. Jedes Ding hatte seine eigene, von allem anderen separate Zeit.--LutzL 18:13, 10. Nov 2004 (CET)

In etwa so: ohne Geschwindigkeit: Während Achilles eine Strecke zurücklegt, legt die Schildkröte nur 1/10 dieser Strecke zurück.

Das Paradoxon: Irgendein Gott (damit O Reaktionszeit), z.B. Chronos, möchte den Moment festhalten, in welchem Achill die Schildkröte überholt (Nasenspitze zählt), ohne den genauen Zeitpunkt ausrechnen oder gar messen zu können. Dazu macht er eine Serie von Bildern, z.B. eins bei jedem Schritt von Achilles oder eins bei jedem Schritt der Schildkröte, aber egal wie er es anstellt, er verpasst fast sicher den genauen Augenblick. Dann die "geniale" Idee: Immer wenn Achilles die vorige Position der Schilkröte erreicht, wird ein Bild gemacht. Das Problem: Jetzt hat er zwar unendlich viele Bilder, die er wie im Daumenkino übereinanderlegen könnte, aber egal wie weit er blättert, nie hat Achill die Schildkröte überholt. Er ist in einem unendlichen "Freeze" gefangen.

Dazu ist wie oben anzumerken, dass, im Prinzip bis zur Renaissance, nur der Augenblick absolut war, Zeitabstände aber relativ und damit nicht miteinander vergleichbar. So unterteilten die antiken Griechen zwar den Tag, aber eben von Sonnenauf- bis -untergang. Zenon konnte hier also die unendlich kleinen Zeitabstände gar nicht aufsummieren, um Endlich- oder Unendlichkeit festzustellen, da diese gar nicht mit einem gemeinsamen Maß gemessen werden konnten. Die Frage des Grenzübergangs taucht also gar nicht auf, und wäre evtl. analog zu Archimedes' Exhaustationsmethode zumindest "intuitiv" zu beantworten gewesen (falls Zenon diese kannte).--LutzL 13:21, 12. Nov 2004 (CET)

Ich kann zu diesem ganzen Komplex, genau mein Thema, leider nur zwei ältere Links anbieten. 1. Descartes http://members.aol.com/_ht_a/roomsixhu/cartesius.htm, erst seit ihm kann man überhaupt mit Längen, Größen und Zahlen gemeinsam rechnen, weil er sie auf die Einheitslänge normiert hat, dabei aber in gewissem SInn die Individualität opfert (dort auch Auszug aus seiner Geometrie, 1637 o.s.ä), und 2. Leibniz http://members.aol.com/_ht_a/roomsixhu/leibniz.htm mit seiner neuen Rechenmethode ohne auf den Begriff Differential einzugehen (dort Auszug aus seiner Über die Analysis des Unendlichen, Neue Methode der Maxima, Minima..., 16-17xx) , aber ehrlich gesagt die vielen Formeln schrecken mich noch ab.--Roomsixhu 22:45, 10. Nov 2004 (CET)

Mathematischer Firlefanz

Ich halte diesen Artikel für ziemlich schlecht. Erstmal hört sich der Titel "Achilles und die Schildkröte" wie ein Kinderbuch an. Das was beschrieben wird, ist das Paradoxon von Zenon. Zweitens wird hier mit erschlagender Maschinerie ein Beweis erbracht, der formal korrekt ist, aber völlig am Thema vorbeigeht. Die Frage ist nähmlich nicht, ob irgendwas konvergiert, sondern: Hat das mathematische Objekt "Grenzwert" eine reale Bedeutung? Wer beweist, dass der Grenzwert, der berechnet wird, wirklich die Strecke ist, die Archilles in der berechneten Zeit zurücklegt? Wittgenstein (siehe Philosophische Untersuchungen) hat diesen Fehler bemerkt, auf den so ziehmlich alle Mathematik-Studenten hereinfallen, und anscheinend auch die Schreiber hier. Die geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und der Wert 2 sind zwei verschiedene Dinge. Das letzter ist ein Teil der allgemeinen menschlichen Erfahrung (2 Meter sind real messbar). Das erstere nicht. In der Mathematik sind beide zwar gleich, aber das sagt nichts über die Realität aus. Das ist der Punkt über den man schreiben sollte und n icht ellenlage Formeln. 128.97.70.87 01:51, 9. Mär 2005 (CET)

Paßt an dieser Stelle besser (statt ganz unten), denn die Kritik, soweit ich es verstehe, deckt sich mit meinem Ausgangspost.--LutzL 09:12, 9. Mär 2005 (CET)

Wo bitte genau steht die Stelle bei Wittgenstein? Könnt Ihr den Link unten, Aufatz über Zenon, eine ps-datei, nicht lesen, dann biete ich an ihn in eine pdf Datei umzuwandeln. Das ist ein Artikel aus der Universität Erlangen Mathematikgeschichtliches Institut. Dort steht auch warum die diversen Ansätze immer wieder krepieren, so zum Beisplei der mit der Geschwindigkeit und wie zum Beispiel das Problem mengentheoretisch aufgefaßt werden kann, und warum Aristoteles Zenon nicht widerlegt hat, und wie überhaupt die Quellenlage ist. Wem das gefällt, der kann ja daraus für den Artikel übernehemen. --Roomsixhu 17:07, 15. Mär 2005 (CET)

Ja ich fände pdf besser, kann ps nicht öffnen. Pdf ist einfach auch verbreiteter.

zenon.pdf steht jetzt hier--Roomsixhu 01:24, 18. Jul 2005 (CEST)

Sorry, da ich eh schon einige Urheberrechtsprobleme hier habe kann ich sie Dir nur per e-mail zuschicken, wielleicht kannst Du sie dann auf eine andere Homepage stellen und verlinken. Der Autor ist Kurt von Fritz und bestimmt wieder nicht lange genug tot. Meine e-mail: roomsixhu@freenet.de. Gruß --Roomsixhu 14

00, 28. Mai 2005 (CEST)

Ein Essay

Hier liegt meines Erachtens eine Schwierigkeit denn Individuelles ist mit sich identisch und für die Logik unfruchtbar. Erst wenn man diesen Individualbegriff zu einem Algemeinbegriff macht wird er für die Logik fruchtbar, allerdings verliert der Individualbegriff dadurch zweifelsohne. In der Musikgeschichte hat die Gregorialmelodik zweifellos Noten verloren, um sich in die neue Dur -Mollharmonik einzupassen, und erst in jüngerer Zeit schaffen wir wieder eine Melodik, die so individuell wie die der Gregorianik ist, und dennoch wird niemand behaupten, daß es mit der logischen Harmonielehre europäischen Zuschnitts gelungen ist ein allgemeingültige Fuge zu komponieren, vielmehr speist sich d ie jetzige Entwicklung aus einer Auflösung und Überwindung der Dur Moll Harmonik (nicht Untergang). Auch sind die oft Doppelten Begrifflichkeiten ein Hindernis, es gibt Epsilontik , Intervall-Chiontik etc. und das nur, um Indivisibilen und unendlich Kleine zu unterscheiden. Descartes normiert (willkürlich (zufällig?)) und schafft aus Individualbegriffen Allgemeinbegriffe, um sich in der Geometrie der Zahlzeichen zu bedienen, und man kann seit ihm zwanglos a²+a addieren, was vorher unmöglich war, eine Länge und eine Fläche zu addieren. Er hat also eine Länge (geometrische Figur) seiner Individualität beraubt, um einen Allgemeinbegriff für unsere Logik zu erhalten , und die ist bestimmt nicht von den Griechen. Dasselbe passiert nun noch einmal mit den unendlichkleinen Größen. Eine unendlichkleine Größe (dx, bei Leibniz sogar in seinen Figuren eingezeichnet) wird ihrer Individualität beraubt, um durch diese Normierung einen Allgemeinbegriff zu schaffen, und Begriffe unvereinbarer Sachverhalte logisch zu bearbeiten , also unendlich und endlich ( wie vorher Fläche oder Kubus und Länge). Es gib danach ja auch unendlichkleine Größen verschiedener Ordnung. Jetzt kann man unendlichkleine Größen addieren und einen bestimmten Wert angeben, sofern sie konvergieren, ansonsten bleibt es unbestimmt. Auch die Newtonschen Bezeichnungen "Fluente" und "Fluxion" entstammen den mittelalterlichen Termini "forma fluens" und "fluxus formae", ohne daß freilich die Begriffe genau dieselben wären. Überhaupt haben alle griechischen Begriffe wie Ding, unendlich für mich charakteristisch individuelles.Und die Griechen wirken nicht gewillt sie einer Begriffslogik zu opfern. Schließlich ein nachvollziehbares Experiment (mit Galilei): Mann lasse seinem siebenjährigen Sohn einen Vorsprung und beginne einen Wettlauf mit der festen Absicht ihn (Sohn) zu ärgern. Ich habe ein Ergebnis erzielt: Ich holte meinen Sohn ein, ja überholte ihn sogar, und er ärgerte sich, was auch ihm eine Beobachterrolle zuweist. Und einmal erreicht ist ein Widerspruch zu "nie" erreicht. Überhaupt sehe ich die Tragik unserer Kultur, daß nicht irgendeine Zivilisation, Nation die notwendigen Opfer bringt, wenn Individuen für Allgemeingültigkeit geopfert werden, sondern jeder Einzelne persönlich muß entscheiden, ob er verlieren will, wenn er seine "natürlichen " Individualbegriffe verallgemeinert, um sie einer Logik oder ähnlichem zugänglich zu machen. Ich persönlich bin nicht mehr dazu bereit, das Opfer ist meist zu hoch. Ja, sehr schön. Vielen Dank.

Aaaaahja. Wenn ich das richtig verstanden habe meinst du, daß das Problem daher kommt, daß man alles in irgendwelche Einheiten (z.B. Notenzeilen) quetscht, also im Prinzip "digital macht", obwohl es analog ist. Meiner Meinung nach ist das aber auch Käs, was du uns da sagen willst. Denn ist ein Apfel nicht ein einziger Apfel? Sind 100 Äpfel nicht 100 Äpfel, statt sozirkanajaalsoetwaso 100 Äpfel (auf einer analogen Skala)? Und heißt es dar nicht wo da steht du sollst essayn von dem Baum der da heißt der Apfelbaum? Und ich sah daß es gut schmeckte, den das Auge das dar ist, ißt ja mit. Im Prinzip funktioniert nämlich auch der Geschmackssinn digital. Jeder Geschmack lässt sich in spezielle Werte von Salzig-, Süß-, Sauer- und Bittergeschmacksknospen-Nervenimpulsen ausdrücken. Ein Nervenimpuls ist ein Nervenimpuls, also nicht ANALog. Da kann man froh sein. Denn wenn man seine Zunge im Arsch hätte, dann könnte das Auge so viel mitessen, wie es will, es würde einfach kotartig schmecken! Kurz und gut: Die Welt ist nicht ANALog. Nur die Messgeräte sind ungenau. Also scheisse. Daher auch die Bezeichnung ANALog.

Heißt übrigens noch lange nicht, daß das blöde Paradoxon eines ist. Siehe auch mein Kommentar ganz unten.--TeakHoken193.187.211.118 15:12, 16. Feb. 2007 (CET)

Physikalischer Ansatz

In den Artikel unter dem Abschnitt Kinematischer Ansatz verschoben.

Die Plancklänge ist nicht die kleinste physikalische Länge. Es besteht allenfalls die Gefahr, dass die Schildkröte in ein schwarzes Loch gerät, wenn sie sich um diese Länge fortbewegt. Für alle praktischen Zwecke wird Achilles ihr dann aber schon nah genug sein. Nopherox 11:15, 6. Apr 2005 (CEST)

Wenn's um "praktische Anwendung" geht, fällt mir doch immer wieder dieser Witz ein:

Die Fachschaften Mathematik und Physik veranstalten gemeinsam einen Ball. Damit es nicht allzu langweilig wird, wird ein Spiel vorgeschlagen.

Alle stellen sich huebsch nach Maennlein und Weiblein getrennt an entgegengesetzten Seiten der Tanzflaeche auf. Die einzige Regel besagt, dass wenn das Orchester einen Tusch spielt, sich die beiden Parteien um die Haelfte der jeweiligen Distanz naehern duerfen.

Sofort verlassen die Mathematiker frustriert die Tanzflaeche. Fragt ein solcher einen Physiker: "Warum macht Ihr denn weiter? Ihr erreicht die Frauen ja doch nicht."

Physiker: "Stimmt schon, aber spaetestens nach dem dritten Tusch reicht es fuer die praktische Anwendung."

Langec ☎ 17:09, 6. Apr 2005 (CEST)

Bewertung

Es sind für das konkrete Problem folgende Voraussetzungen unklar: Läuft Achilles hinter der Schildkröte? Hinter ihr kann er sie nicht überholen. Läuft er neben ihr? Wie werden dann die Strecken verglichen? (Das ist erst seit Descartes möglich). Was passiert beim Zusammentreffen der beiden? Tötet Achilles die Schildkröte, weil er ein Held ist? Aber jedenfalls nicht mit Pfeil und Bogen, denn nach Zenon bewegt sich der Pfeil nicht; ein weiteres Paradoxon. Überholt Achilles die Schildkröte? Hebt er sie auf und läuft mit ihr weiter? Setzt er sie auf seinen ausgestreckten Arm und die Schildkröte läuft weiter? Zenon als Beobachter ist eigentlich immer schneller, sowohl als Achilles, als auch die Schildkröte, mit seinem Zollstock zur Stelle um das Problem auszumessen.

Hab ich aus dem Artikel hierher verschoben, wohl eher Humor... es sei den die Bewertung besteht aus historischen Zitaten... --qwqch 19:54, 7. Feb 2005 (CET)

keine kleinsten Einheiten

Durch die Quantenphysik mit kleinsten Einheiten für Masse, Energie, Raum und Zeit bekommen Zenons Paradox allerdings neue Akzente. wieder rausgenommen. Auch in der Quantenphysik gibt es keine kleinsten Einheiten für diese Größen sondern nur eine Unbestimmtheit bei der gleichzeitigen Messung mit anderen Größen. --Nopherox 10:32, 29. Mär 2005 (CEST)

Gut, dass der Unfug draußen ist. — Martin Vogel 鸟 17:48, 6. Apr 2005 (CEST)

Einleitung

Seht gut, aber die ganzen Teile mit beispielsweise müssen dann als Voraussetzung wieder rein, weil der ganze Artikel damit rechnet. Vielleicht ein Absatz Vorraussetzung vor infinitesimaler Ansatz.--Roomsixhu 01:50, 30. Jul 2005 (CEST)

---

artikel muss grösstenteils neu geschrieben werden; berechnung der strecke bis zum einholen mit geom. reihen ist zu ausführlich; berechnung der strecke bis zum einholen (unter kinematischer ansatz...) aus geschwindikeit und zeit ist überflüssig; sätze wie "ich habe das thema jetzt an der uni behandelt" (o.ä.) gehören nicht in ein lexikon; sätze wie "folgender ansatz geht am thema vorbei" (sinngemäss) auch nicht; insgesamt verkennt der artikel die philosophische problematik des paradoxons fast gänzlich

Nicht ganz, er hat die philosophische Problematik noch nicht ganz eingearbeitet, und ich hatte schon bei den links "Aufsatz über Zenon" (zenon.ps) und oben in der Diskussion auf den Aufsatz von Kurt von Fritz (zenon.pdf) zwecks Einarbeitung hingewiesen. Mathematisch ist es wahrscheinlich, daß Zenon die Lösung kannte, aber er wollte kein mathematisches Paradoxon aufstellen sondern im Sinne seines Lehrers ein philosophosches. Ich bin gerade am Zahlbegriff von Weierstraß dran, dort ist sogar fragwürdig, ob man die Gleichheit zweier gleicher aber anders gebildeter Strecken (Zahlgrößen) überhaupt allgemein nachweisen kann. Weierstraß mußte sich mit einer beliebig genauen Annäherung zufriedengeben. Das ist im Großen und ganzen auch unser moderner Standpunkt. Zum Nachdenken die schöne Antinomie: "Die Menge aller Mengen" oder " Die Menge, die sich selbst enthält".
Noch ein Beispiel von Platon:
Ein Mensch ist ein federloser Zweibeiner.
Ein federloser Zweibeiner ist ein gerupftes Huhn.
Also: Ein Mensch ist ein gerupftes Huhn
Bitte beweisen, schön mit Symbolen und so. (es müßte gehen)--Roomsixhu 01:32, 2. Aug 2005 (CEST)

Ersatzvorschlag

Achilles und die Schildkröte

Achilles und die Schildkröte ist der Titel eines Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon von Elea.

Achilles, der unbesiegbare griechische Held, misst sich im Wettrennen mit einer Schildkröte. Weil die Schildkröte um vieles langsamer ist, gibt er ihr einen großen Vorsprung. Um sie nun einzuholen, muss Achilles aber erst den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte startet. Wenn er diesen Punkt erreicht hat, hat sich die Schildkröte ebenfalls weiter bewegt, sie liegt also immer noch vorne. Hat Achilles auch diese Strecke überwunden, so hat sich auch die Schildkröte wieder ein Stück weiter bewegt. Achilles kann die Schildkröte also niemals einholen.

Achilles die Schildkröte ein; er überholt sie auch. Eine andere Form dieses Paradoxons besagt, dass Achilles gar nicht erst mit dem Lauf beginnen kann. Bevor er die erste Strecke zurücklegen kann, muss er erst die Hälfte zurücklegen, und davon die Hälfte usw. und so kommt er nicht zum Loslaufen. Es gilt als wahrscheinlich, dass Zenon seine Impulse zur Erfindung der Paradoxien aus den Spekulationen des Parmenides erhielt.

Aus mathematischer Sicht wurden bis 2004 immer wieder Lösungsversuche veröffentlicht (meißtens über einen so genannten infinitesimalen oder kinematischen Ansatz). Der Kern des Paradoxons ist aber unklar.

Literatur

• Diels-Kranz: Die vorsokratischen Philosophen?.
• Diels-Kranz: Die Fragmente der Vorsokratiker. 6. Auflage, Berlin, 1952.
• Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik. Suhrkamp, 1975, ISBN 3-518-07714-7.
• Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. ISBN 3-608-94338-2. (In diesem Buch sind Achilles und die Schildkröte die Protagonisten der Dialoge zwischen den Kapiteln.)

Weblinks

• Aufsatz über Zenon stellt auf 6 Seiten das Thema erschöpfend dar
• [http://www

.kubkou.se/pdf/mh/leibniz84.pdf G.G.L. Nova Methodus Pro Maximis & minimis, itemque tangentibus, ...], acta eruditorum, 1684, download als .pdf-datei.

Der letzte Satz (Vor Literatur) sollte noch einmal überprüft werden. --Jaer 10:49, 6. Aug 2005 (CEST)

Tu Dir keinen Zwang an! Ich weise noch einmal auf den Aufsatz über Zenon hin. Das "tatsächlich" bedarf einer Erklärung: Warum tatsächlich und theoretisch nicht? Bitte fröhlich drauflosverbessern, da ich den Artikel fast asuwendig kenne, werde ich die gröbsten Fehler schon bemerken und zur Diskussion stellen. Auf jeden Fall ist dieser Artikel stark frequentiert im Gegensatz zu anderen. Meines Erachtens ist Zenon ein Nichtstandardanalysist.---Roomsixhu 18:07, 6. Aug 2005 (CEST)

"polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings ist die Konstruktion nicht konstruktiv, sie benötigt Ultrafilter und das Auswahlaxiom. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der Stochastik und der Topologie." (dem Nichtstandardanalysis-Artikel) An der Stelle hört es für mich auf. Ich bin zwar angehender Mathe-LKler, aber bitte nicht so etwas.

Aber zum Text: Das "Tatsächlich" stammt aus dem Urtext, das ist der Grund, weshalb ich das Wort gelassen habe. Mir tut es aber eigentlich nicht weh, es heraus zu nehmen (Was ich jetzt auch tue). Wenn du den Artikel so gut kennst, was meinst du? Kann man das hier als Ersatz reinstellen? Ich verweise nochmal auf die und die Diskussion zu dem Thema. --Jaer 18:25, 6. Aug 2005 (CEST)

Ich les mal erst die beiden links durch. das Auswahlprinzip ist doch auch schon von Cohen glaub ich in den 1960ern widerlegt worden. Die Nichtstandardanalysis wird momentan auch von Herrn D.D Spalt stark beharkt und es gibt dort keinen einheitlichen Ansatz. Am meisten stört mich hier der Absatz: Ansatz des Praktikers. Den würde ich am liebsten löschen. Ich habe auch noch eine witzige physiklaische Lösung angegeben , aber die hat ein löschwütiger DaTroll, nachdem er gelacht hat, gelöscht. Die Schildkröte scheint ein spezifisches Schulthema zu sein, es gibt in Suchmaschinen wahnsinnig viele Ergebnisse.

Zur Entspannung: Benutzer:Roomsixhu/Physikalischer_Ansatz -- Roomsixhu 19:12, 6. Aug 2005 (CEST)

Vielen Dank für Eure Beteiligung und den Hinweis auf Lynds Zenon's Paradoxa. A Timely Solution. Ehrlich gesagt sind neunseitige pdfs und noch so klein gedruckt eine Zumutung, zum Glück geht mein Drucker momentan. Und ich möchte eine neue Patrone.

Drei Ideen kamen mir bei der Lektüre von Lynds

1. Historisch (In antiker und späterer Betrachtungsweise) gibt es Zeitpunkte und Positionen in der Betrachtung dieser Probleme (Achilles, Pfeil, Dichotomie). Das führt zu einem Konflikt zwischen Kontinuität und Bestimmtheit. Also entweder ist von etwas (Pfeil) eine Position während der Bewegung nicht genau bestimmt (Bestimmtheitsgrenze von Intervallen) oder es steht ganz still, weil man von einer exakten Position (Punkt) nicht wieder zur Kontinuität einer Bewegung (Intervall) gelan

gt. Vielleicht kann jemand diesen Gedanken in dem Monsterabsatz von Lynbs Arbeit besser zuasmmenfassen: Absatz (a) Time and Mechanics: Indeterminacy vs. Discontinuity. Dieses Dilemma zieht sich bis in die moderne Physik hinein (also auch relativistische oder ähnliche Ansätze gehen am Problem vorbei).

1. Zeit und Raum werden individuell wahrgenommen. Über Zeit und Raum kann man jedoch Aussagen a priori machen (Unter anderem feststellen, wo Achilles die Schildkröte überhohlt). In welcher Form nun Zeit und Raum eines Individuums wirklich werden, in die Welt treten, vorhanden sind, gibt wohl eher die Ontologie eine Auskunft als die Logik (mathematisch oder nicht ist egal).
2. Man könnte noch einen Rekursionsansatz machen. Wer hat eine Idee?
3. So nun das Entscheidende: Man muß die Begriffe Zeitpunkt und Position fallen lassen. Statt dessen betrachtet man einen Zeitwert (1t) für den die Bewegung eine Veränderung oder Änderung (wie die Dehnung eines Gummibandes) durchmacht. Ich meine jetzt konkret folgendes. Wir betrachten jetzt das Rennen anders und das Paradoxon wird nicht auftreten: Das Rennen verändert sich in einer Zeiteinheit um 81 Meter. In einer Zeiteinheit läuft Achilles 90 Meter, die Schildkröte 9 Meter. In zweien Achilles 180, die Schildkröte 18 Meter. Aus unserem Ansatz im Artikel könnte folgen: Achilles hat die Schildkröte vor 80 Metern überholt und liegt 72 Meter vorne. Aber das ist zuviel behauptet, denn : In diesem Ansatz geht die unglückliche Formulierung eines Vorsprungs von 90 Metern (und den zwei exakten Positionen von Achilles und der Schildkröte) nicht ein (diese Betrachtung gilt beliebig überall während des Rennens) und wenn wir der Schildkröte nur einen von 45 Metern eingeräumt hätten, wäre Achilles schon 117 Meter voraus. Man hat den Vorteil der kontinuirlichen Bewegung und zweifelt gar nicht am Überholen, sondern hätte im Gegensatz das Problem dem Punkt an dem das Paradoxon auftreten soll seine exakte Position zuzuschreiben. Und auch an dieser determinierten Position wird das Rennen nicht stehenbleiben. (Bemerkung: Ab dem Überholpunkt kommen eventuell Vorzeichen oder Umkehrungen ins Spiel. Und daß Umkehrungen auch einem Herrn Cantor, Leibniz, Newton Überaschungen (Neues) Bescheren, will wohl keiner bezweifeln.)

So das wäre es erst mal. Lynds erwähnt, daß diese Auffassung von Bewegung seit der Neuzeit (Galilei) physikalisches Messen ermöglicht. Darauf folgt der mathematische Aussschluß des Unendlichen durch Cauchy und Weierstraß. Nun haben diese beiden eine völlig entgegengesetzten Begriff von "Zahlgrößen" (Variablen). Der Weierstraßsche wird in unseren heutigen weiterentwickelt. (Das war aber für Weierstraß nicht abzusehen) (Wie für Cantor unserer heutige Mengenlehre). Cauchy hatte einen Begriff der Veränderung wie unter 4.. Dieser Begriff war aber rückwärtsgewandt, im Sinne einer Vollendung des Alten (Leibniz)(s. Spalt Die Vernunft im Cauchy-Mythos) und wurde nicht weiterverfolgt oder gar zur Kenntns genommen. Da wir heutzutage mit unserem modernen Begriffen eine gewisse Vollständigkeit der Lösungen besitzen kann man sich die Frage stellen, ob nicht das Aufgreifen anderer Begriffe nicht sinnvoll und nützlich wäre. So kommt bei Cauchy nicht das Dilemma auf, daß ein Differential im Differentialquotienten eine Nullfolge mit einem und gegen einen festen Punkt als Grenze ist und hinter dem Integral ein Intervall ist (Der Hinweis erübrigt sich fast wenn man bedenkt, was für eine Fläche eine Linie hat). Aber das genau sind Zenons Paradoxa.

Ich muß mich bei allen Lesern entschuldigen, da ich den Reihenansatz wegen der Lust am Latexformatieren hier einfach reingestellt haben, habe ich übersehen, daß einen Vorsprung explizit mit 90 Metern anzugeben zusehr die Vorstellung von Positionen in den Vordergrund rückt und die Vorstellung einer Bewegung oder Veränderung vernachläßigt, aber zu meiner Entschudigung führe ich noch an, daß ich erst im Laufe der Auseinandersetzung hier mit Wikipedianern darauf gekommen bin. Bei Gefallen jetzt einarbeiten.--Roomsixhu 03:44, 7. Aug 2005 (CEST)

Bitte, ich habe jetzt mehrmals versucht, deinen Text zu verstehen. Sei mir bitte nicht böse, aber ich komme nicht dahinter, was du mir sagen willst. (Auch auf die Gefahr, hier dumm zu wirken, aber so zwei, drei einfache Sätze würden mir nicht schlecht gefallen.) --Jaer 23:11, 7. Aug 2005 (CEST)

1. Zenon hat recht: Hier liegt ein ungelöstes Problem. Bis heute ungelöst.
2. Wir machen es heute trotzdem, obwohl falsch, nach entweder dem infinitesimalen Ansatz oder
3. dem kinematischen Ansatz. (Ich finde ihn aber nicht ausreichend dargestellt).--Roomsixhu 11:54, 8. Aug 2005 (CEST)

Danke, das war gut. Ich habe jetzt diese beiden Informationen in meinen Vorschlag eingebaut. Könnten wir den so schon übernehmen? -- Jaer 12:24, 8. Aug 2005 (CEST)

Nicht ohne Belege. Wer spricht von einem "infinitesimalen" oder "kinematischen Ansatz"?--Gunther 12:32, 8. Aug 2005 (CEST)

Beleg: Aufsatz von Peter Lynds.Aufsatz von Fritz von Klein. Alles was ich hatte, habe ich schon in den Artikel hineingestellt. Den Link Lynds werde ich noch hineinkopieren, in den Artikel. Meinetwegen auch "infinitesimaler" Ansatz oder Reihenansatz. Den kannten vermutlich schon Zenon und die Griechen, was fast jeder belegt. Und meinetwegen auch "kinematischer" Ansatz, aber den muß ich noch klarer herausstellen und noch mal bei Galilei und den frühen messenden Physikern nachschlagen. Voschlag für einen neuen Namen. "Dynamischr Ansatz" (Die Vorstellung ist Veränderung, Änderung oder Bewegung, nicht so unbedingt Newtons "Fließen" glaube ich). Und dann gibt es noch die Mannschaft, die sagt, das Problem sei gelöst. Zu dieser gehört vermutlich auch Gunther (s. Lynds). Gruß--Roomsixhu 18:33, 8. Aug 2005 (CEST)

Bei Lynds lese ich nichts von der Bezeichnung infinitesimaler oder kinematischer Ansatz. Wen oder was Du mit "Fritz von Klein" meinst, ist mir nicht klar. Wie Lynds schreibt, haben die Reihenrechnung oder die Geschwindigkeitsrechnung mit potentiellen Lösungen des Paradoxons nichts zu tun (Abschnitt 4, erster Absatz), weil sie im mathematischen Modell bleiben und nicht auf die Anwendbarkeit des Modells eingehen.--Gunther 18:55, 8. Aug 2005 (CEST)

Fritz von Klein ist der "Aufsatz über Zenon" in den Links, den ich hier auch mehrmals als pdf zur Verfügung gestellt habe zenon.pdf--Roomsixhu

Kontinuierlicher Ansatz

Will sich vielleicht schon mal jemand mit meinem neuen Ansatzentwurf zum Kontinuum und Zählen beschäftigen, dann hier. Sonst wird es hier noch chaotischer, erstmal auf meiner Benutzterseite. Damit kann man auch zählen lernen, das muß aber noch eingearbeitet werden.--Roomsixhu 20:17, 20. Aug 2005 (CEST)

Exhaustion

Was ist eine Exhaustion?? --Langec ☎ 15:02, 24. Okt 2005 (CEST)

siehe Exhaustionsmethode--Roomsixhu 07:15, 25. Okt 2005 (CEST)

Axiomatische Definition der reelen Zahlen

Lieber Umschreiber. Ich habe mich etwas mit Definitionstheorie befaßt und mich unterrichtet, daß eine Definition etwas sehr starkes ist und im Zweifelsfall die empfindliche Logik eines schwächeren Systems einfach plattwalzt, wie hier geschehen. Zenon fragt nach der Einheit. Und im Zusammenhanng mit Ordnung und Halbordnung ist mehr möglich als lediglich die reelen Zahlen. Dir sind dabei mindestens drei Ansätze verloren gegangen und Du reduzierst das Problem auf den infinitesimalen Ansatz. Du betrachtest auschließlich Relationen, Wenn Zenon das gemeint hätte, hätte er Relationen gesagt. Sein Lehrer Parmenides war auf jeden Fall kein Dummer.--Roomsixhu 01:27, 5. Nov 2005 (CET)

Und was heißt Zeit als Kontinuum? Was ist eine Veränderung. Das Auswahlaxiom für die Menge der reelen Zahlen ist auch nicht erwiesen, ist angeblich selbst ein Paradox. Also axiomatisch ist das nicht. Daß die geometrische Reihe 1+1/2+1/4+ ... konvergiert, wußten sie in der Antike sehr wohl. Darauf geht Zenon gar nicht ein, denn sein Paradox sollte wohl kein mathematisches werden, es wird nur heutzutage an Unis oft gestellt. Also bitte eine allgemeingültige Einleitung.--Roomsixhu 01:36, 5. Nov 2005 (CET)

Bisher wurde in der Einleitung das Paradoxon aber doch eher auf das mathematische Problem reduziert, dass die Reihe und ihr Grenzwert nur "asymptotisch gleich" seien (so habe ich die Grafik jedenfalls verstanden). Von daher sollte der Satz Sowohl die Vorstellung, dass die unendlichen vielen Ereignis se Achilles erreicht die vorherige Position der Schildkröte in endlicher Zeit stattfinden könnten, als auch dass die unendliche geometrische Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + ... und die Zahl 2 ein und dasselbe sind, waren damals nicht allgemein anerkannt. doch eher in Deinem Sinne sein? Aber an dem Halbsatz zur geometrischen Reihe hänge ich nicht ...

Und für die Lösung des Paradoxons mit "modernen" Methoden braucht man doch tatsächlich nur den Begriff der reellen Zahlen und die Vorstellung, dass man mit diesen Strecken und Zeitintervalle abmessen kann. Und was soll der Hinweis auf das Auswahlaxiom? --Christian Gawron 01:55, 5. Nov 2005 (CET)

Der erste der das Problem im modernen Sinne lösen konnte, war Cauchy, von ihm stammen ja auch einige $\epsilon$, aber hatte nicht unsere heutigen reelen Zahlen und schon gar keine Mengen und bestimmt keine Auswahlfunktion dazu. Er hatte eine Anschauung der Dezimalzahlen, ihrer ausreichenden Brauchbarkeit, bewies für sie alles, was er brauchte, und er hatte einen messenden Zahlbegriff der Zahlgröße, die er im Ansatz schon als Grenzwert fasste, und dafür ebenso alles in der gesamten Analysis korrekt bewies. Cauchy hat keine Schule hinterlassen, deshalb ist seine genaue Begriffsbildung verlorengegangen. Danach reichte Weierstraß Zahlbegriff wenigstens für bedingte Konvergenz nicht aus, und Cantor radikalisierte diesen Ansatz, indem er nicht nur bedingt konvergente Reihen auf eine Grundreihe bezog, sondern alle Zahlen als Beziehungen fasste. Wie nun aus Beziehungen Maßzahlen werden bedarf eines logischen Beweises, der schon in der Verbandstheorie ansetzt, weil dort Beziehungen zu Verknüpfungen werden. Man kann doch auch die natürlichen Zahlen kontinuierlich fassen, wie Cauchy. Also im modernen Sinne dreht sich das ganze Problem mathematisch darum, wie man eine Zahl als Maß fassen kann. Das hat eigentlich am ehehsten Galilei gemacht. Im übrigen sollte das Paradox in der Voraussetzung schon endlich sein, was es doch sehr einfach macht. Dazu sagt Zenon jedoch nichts. Das nicht mathematische Problem halte ich von Zenon für überbestimmt, und damit nicht lösbar.

Ich sehe ehrlich gesagt drei Ansätzte:

1. Den messenden kontinuierlichen, mit dem Zählen. Seit ca. Galilei
2. Den anlytischen nach Cauchy mit epsilons, der nicht dargestellt ist, weil sehr abstrakt. Also epsilon ohne Mengen.
3. Den vergleichenden mit der Menge der reelen Zahlen seit Cantor, der andere Schwierigkeiten heraufbeschwören kann, z.B. eben, wie wird aus einer Verhältniszahl eine Maßzahl. Und Menge kann man auch ohne Menge-Element Beziehung begründen. siehe Boolsche Algebra. Das studiere ich aber gerade erst.

Dann kann man natürlich auch mit unendlich großen Zahlen rechnen. Dazu gibt es Ansätze von einem Hrn. Laugwitz und Hrn. Petzinger.

Und schließlich habe ich noch die Mengelehre hier hereingeschrieben, aber an der Brauchbarkeit der Beweise über Abzählbarkeit, die das diagonale Beweisverfahren in zirkulärer (selbstbezüglicher) Weise nutzen zweifle ich begründet.

Ansonsten können Definitionen so stark sein, daß sie den ganzen logischen Kalkül der Erörterung sinnlos machen, was bei einseitiger moderner Herangehensweise sicher der Fall ist. Zenons Fr

age nach einer Einheit von Relationen mit Relationen und einer Einheit zu beantworten, ist so etwas.--Roomsixhu 12:26, 5. Nov 2005 (CET)

-- Lösung!!!!!!! Ich überhole die Schildkröte einfach indem ich den Punkt den sie vermutlich erreichen wird vor ihr betrete. Das ist doch wirklich total einfach, wo soll da ein Paradoxon sein?

Das geht doch nicht, Du verwechselst den vorgestellten Punkt aus Deinem Kopf, nach der Rechnung und mit der Lösung 100 m, mit dem wirklichen, wo Du erst die Schildkröte überholen mußt, um an einen solchen Punkt heranzukommen. In der Rechnung ist man vor der Schildkröte bei 100 m angelangt, in der Wirklichkeit ereicht man hinter ihr und dann mit ihr gleichzeitig diesen Punkt.--Roomsixhu 03:05, 12. Nov 2005 (CET)

Lässt sich das Paradoxon nicht einfach auflösen, indem man den realen Vorgang des Laufens von der mathematischen Modellvorstellung löst. Man weiss schliesslich aus der Erfahrung, dass in der Vergangenheit schnellere Objekte langsamere immer in endlicher Zeit überholt haben. Daher können wir vermuten, dass dies auch in der Zukunft der Fall sein wird. Mathematische Objekte wie Zahlen oder Konvergenz sind aber nur rein imaginäre Dinge. Daher folgen sie Gesetzen die Menschen festgelegt haben. Kurz gesagt: Achilles ist keine Zahl ist, und daher wird er die Schildkröte einholen.

Erfahrung würde ich nicht gerade sagen, das mündet in den Positivismus, und was ist dabei "real", aber es gibt in der Begriffslogik eine Individualbegriffsdeklaration, die dem Problem vielleicht angemessen ist. Das allgemeine logische Modell auf das individuelle Rennen zu übertragen ist natürlich nicht Lösung für alles, aber diese Art von Gattungsbegriff für die beiden Läufer macht die Stärke unserer heutigen neuzeitlichen Kultur im Umgang mit solchen Problemen aus, bis hin zu Unsinnigkeiten leider. Außerdem besteht in der Mathematik wirkliche ein gewisser Widerspruch zwischen Rechnen und Zählen. Mit einen Rechenschieber kann man auch nicht addieren. Soetwas kann man natürlich als Problem fassen oder nicht. Ob dabei etwas konstruktives herauskommt ist dabei die Frage. Logik löst nicht alle Probleme. Sehr entscheiden ist auch die Endlichkeit des Rennens. etc, bla bla--Roomsixhu 08:07, 30. Nov 2005 (CET)

Ich habe noch die Mengentheoretische Lösung selbst abgetippt und reingestellt. Aber die Überabzählbarkeit habe ich in eine seltsamen Beweis gesehen, der nicht minimale Voraussetzungen hat und zirkulär ist, s. Hofstätter. Aber dies ganze Schlußweise ist entweder trivial oder widersprüchlich, was ein Herr Andereas Otte Nachgewisen hat. Zirkulär ist so was wie "dreisilbig", beschreibt sich selbst. Wenn es sich dann noch selbst verändert, kann man nicht mehr herausbekommen von welcher der mehreren Prämissen der Widerspruch verursacht wird. Also soetwas glaube ich nicht mehr.--Roomsixhu 08:13, 30. Nov 2005 (CET)

Zenons rechnerische Lösung

Es ist anzunehmen, dass Zenon eine rechnerische Lösung wusste und zwar für den Fall, wo das Schneller-Verhältnis ganzzahlig ist. Ist eine Strecke 4 Mal länger als eine andere, heißt das doch, dass die längere 4 von den kurzen enthält. 5 cm sind 5 x 1 cm und nicht 3 cm + 1 cm + 0,9 cm + 0,09 cm + ... Wenn man das Verhältnis zweier Strecken angeben will, müssen diese gemeinsame Teiler haben, anders geht es nicht. Ich habe eine mögliche - recht einfache - Lösung in den Artikel eingebunden. --Michi 17:31, 19. Feb 2006 (CET)

Paradoxon

Mit sowas verschwenden die Leute Zeit anstatt sich den wichtigen Dingen des Lebens zu widmen. Jetzt mal ein Paradeochse von mir:

Wenn Antilopes früh los zur Arbeit muss und nicht viel Zeit hat, aber noch ein wichtiges Geschäft auf dem Lokus verrichten muss, dieses aber zu lange dauern würde, sodass er zu spät zur Arbeit käme, dann kann er es ja nicht verrichten, kann aber auch nicht zur Arbeit losgaloppieren, da er ja zwingend vorher kacken muss. Und Überhaupt würde er ja gar nicht vorankommen, da er die Hälfte der Strecke zurücklegen muss und davor ein Viertel usw. Genausowenig wie sein Herz schlagen würde da es die Hälfte der Strecke zurücklegen muss und davor ein Viertel usw. Er wäre also tot. Kann aber auch nicht umfallen, ihr wisst schon warum. Aber prompt hat man auf diese Weise den ersten Ochsen gelöst, da er, wenn er tot ist, oder wenn der Darm überhaupt erst gar nicht verdaut, oder er überhaupt erst gar nichts essen konnte, er dann ja auch zu Arbeit gehen kann, wenn er denn vom Fleck kommt.

PS: Wie konnte ich das schreiben? Meine Finger haben sich doch gar nicht bewegt.

Roteck 213.191.69.67 06:12, 25. Aug 2006 (CEST)

PS: an die eifrige lösch-ip: warum löschst du einfach diesen beitrag? Das ist nur eine Diskussionsseite und keine Enzyklopädie

Jo, das "Paradoxon" ist schwer überschätzt: Wer immer nur halb so viel köttelt wie noch im Darm sitzt wird nie fertig werden. Zenon konstruiert hinterlistig eine Vorschrift in einen Vorgang hinein, die es in Wirklichkeit überhaupt nicht gibt. "Eß diese Bratwurst auf, aber beiß immer nur jeweils die Hälfte ab" usw...

Juchei! Hier, in der letzten Ecke, sitzen also die Intellektuellen! Bin froh daß es euch gibt!

Ja, aber echt. ich hatte auf dieser Diskussionsseite auch schonmal in einem Satz erklärt, warum Xenon ein Depp ist. Wurde aber einfach gelöscht. War wohl einfacher, als den ganzen Schmarn zu löschen der da oben steht. und jetzt nochmal die Erklärung warum Xenon ein Depp ist zum mitschreiben (und zwar in einem Satz, also ohne Punkt!):

Wenn man immer wieder zuerst den Läufer laufen lässt bis er da ist wo die Schildkröte war, und dann die Schildkröte weiter laufen lässt, dann Teilt man nicht nur immer die Strecke durch 2, sondern auch die Zeit, was aber nicht heißt, daß der Läufer die Schildkröte nie erreicht, sondern nur, daß man mit seiner Rechnung nie den Zeitpunkt erreicht, in dem der Läufer auf gleicher Höhe wie die Schilkröte ist, sondern immer nur Zeitpunkte, die beliebig kurz davor sind.

Das ist doch Sonnenklar! Ein Beispiel in dem es gleich jedem einleuchtet ist vielleicht folgendes: Man Nehme eine 1, dann zähle man immer wieder 2 dazu". Paradoxerweise erreicht man niemals die 6! Warum? Weil man die Rechenregeln so aufgestellt hat, das es halt einfach nicht geht. Das einige Paradoxon ist, daß das so viele Leute nicht auf Anhieb durchschauen. Intersexuell muss man dazu auf jeden Fall nicht sein. Und schon gar nicht in der letzten Ecke sitzen.--TeakHoken193.187.211.118 14:53, 16. Feb. 2007 (CET)

Stand der Überarbeitung

Da Gunther sich frustbedingt zurückgezogen hat, möchte ich diesen Bausstein hier, durch Verbesserung versuchen zu entfernen.

1. Gunther hat ja schon prima entrümpelt, so daß der Artikel schon recht geschlossen wirkt.

2. Einzig diese Stelle ist schlecht: "Aristoteles versucht die Argumente zu widerlegen, indem er darauf hinweist, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit unbegrenzt dividierbar seien. Den unendlich vielen Raumteilen stehen unendlich viele Zeitteile mit endlicher Summe gegenüber. Dieses Argument ist auf den ersten Blick überzeugend, jedoch nur bis der Abstand zur Schildkröte ganz klein geworden ist." Ich habe sie selbst abgeschrieben und nicht verstanden. Im Augenblick bin ich dran, zu recherchieren, was Aristoteles gemeint haben könnte, dann wird es auf jeden Fall verbessert.

3. Ich habe noch ein gutes Argument, wieso Zenon unzulässig argumentiert. Dreht man Achilles und die Schildkröte um und lässt sie sich voneinender entfernen, so wird niemand behaupten, daß die Entfernung zwischen ihnen unendlich groß wird. Wenn die Entfernung zwischen ihnen wirklich unendlich groß wird, wird auch die Gesamtlaufstrecke unendlich, denn im Endlichen ist das nicht möglich. Zenon setzt dann aber von vorneherein und entgegen seiner Voraussetzung einer endlichen Anfangsentfernung, eine infinitesimale Entfernung und eine infinitesimale Gesamtstrecke zueinander ins Verhältnis (Für das Reziproke gilt dasselbe). Da man aus heutiger Sicht und wohl schon damaliger, im Unendlichen keine Einheit auszeichnen kann, gibt es keine aufgrund derer man diese beiden Unendlichkeiten miteinander vergleichen könnte und man erhält ja auch kein Ergebnis. Unendlichkleine Größen kommen in der Mathematik (Archimedes, Cauchy, Weierstraß) auch nicht vor. Gerechnet wird mit Einheiten (Descartes) oder einem Maß.

Was macht Zenon? Er setzt (x die Anzahl der Teilungen. 90 ist die Vorgabe): ${\frac {90}{x}}:={\frac {1}{\infty }}$. Damit wird x aber infinitesimal und er kann wirklich schon mit der ersten Teilung nicht anfangen, weil ihm auch dort die Einheit fehlt. Er kann keine Stracke auf die andere beziehen auch nicht auf sich selbst, weil $x=1\cdot x$ wegen 1 = unbestimmt nicht gilt.

4. Im Moment lerne ich über Platon, aber danach kommt Aristoteles, dann wird es sicher verbessert.

Gruß in der Hoffnung auf Mithilfe --Roomsixhu 18:20, 16. Feb. 2007 (CET)

Eigene Argumente in allen Ehren, aber dafür ist hier nicht der Ort. Wenn jemand Präzisierungen beisteueren will, so gibt es bereits hinreichend gute Literatur zum Thema, etwa den Stanford-Artikel und dort inventarisierten Texte. Ca$e 19:59, 16. Feb. 2007 (CET)

Es geht um den Überarbeitenbaustein, falls Du es nicht gelesen hast. Gruß --Roomsixhu 20:04, 16. Feb. 2007 (CET)

kann ich nicht beurteilen, wie schlecht der artikel ist und ob der baustein verdient ist. solange solche unklarheiten wie "dass die Welt diskret ist" im artikel stehn, kann man sicher noch was nachbessern. Ca$e 21:12, 16. Feb. 2007 (CET)

Das kann ich noch zuordnen. Ich würde hier sagen das moderne diskret ist nicht gemeint, sondern eben die Vorstellung aus Zenons Zeit. Aber das mit Aristoteles ist so unverständlich, weil es einfach unbestimmt ist, er lehnt nicht Zenons unendliche Teilbarkeit ab, sondern führt eine zweite, die der Zeit, ein. Warum? Ich werde da schon nachlesen. Mir reicht es den Baustein erstmal zum Absatz Aristoteles zu verschieben. Gunther hat den Baustein nämlich wegen des Formelchaos gesetzt und nach seiner Entrümpelungsaktion nicht entfernt. Also kann er eigentlich auch weg. Im Moment steht höchstens zuwenig im Artikel, aber Ergänzungen sind, wie Du richtig darauf hinweist, ein wenig müßig .--Roomsixhu 21:35, 16. Feb. 2007 (CET)

Ich habe meinen mißverständlichen Absatz verbessert und werde den Baustein entfernen. Wer will, kann ihn mit einer Begründung wieder einstellen.--Roomsixhu 23:27, 16. Feb. 2007 (CET)

Es gibt keinerlei Hinweis darauf, dass es diesen "Fritz von Klein" gibt oder jemals gegeben habt und es fehlt jede Quellenangabe; zudem sind Passagen des Artikels aus einem Text von Kurt von Fritz abgeschrieben, sogar aus dem im Artikel verlinkten Text – in einem wft. Artikel sind auch Diskussionen und Stellungnahmen angemessen, aber nicht in einem Lexikonartikel.

Inhaltlich hat sich der Artikel nicht verbessert, es sind bloß die bombastischen pseudomathematischen Ausführungen entfernt worden. --GottschallCh 03:30, 17. Feb. 2007 (CET)

Sehr gut, wenn Du Dich auskennst. Das Argument mit der Zeit liest man auch woanders. Ich werde den Becker noch lesen, da gibt es ausführliche Zitate von Aristoteles, und dann ggf. vebessern. A. N. Whitehead tut das ganze mit dem Hinweis auf einen Fehler Zenons bei der Begriffsbildung unendlicher Reihen ab. Er hält lediglich das Pfeilparadoxn für relevant in Bezug auf das Werden. Mach den Baustein ruhig wieder rein, aber schreib eine Begründung dazu, daß man weiß, was man verbessern muß.--Roomsixhu 18:53, 17. Feb. 2007 (CET)

Ach ja, hast Du ja schon, also jetzt die Begründung bitte. Einmal hat Gunther geschrieben das Paradoxon sei für ihn gar kein Problem, er hatte hier nicht mitgeholfen, aber begründet und gut entrümpelt. Zweitens stand schon mal drin, daß Zenon wahrscheinlich das Ergebnis der Reihe kannte. Ich find den Aufsatz von von Klein nicht schlecht. (Wie verlinke ich wie Deine hübschen Quellenangaben?) Der von Lynds ist auch nicht schlecht. Hofstätter behandelt das ganze Paradoxon irgendwie gar nicht. Bei der Überarbeitung kann es ja nur um die gegenwärtige philosophische Auffassung des Paradoxons gehen. Empirisch kann ich Dir vielleicht eine gefilmtes Rennen mit meinem Sohn schicken. Ich überhole ihn!--Roomsixhu 19:17, 17. Feb. 2007 (CET)

Du schreibst oben wörtlich, du habest "selbst abgeschrieben und nicht verstanden". Ich bleibe bei meiner Meinung, dass man in der Wikipedia, die keine Diskussions- und Spielplattform ist, nur über Dinge schreiben sollte, die man verstanden hat.

Davon abgesehen aber ist das Abschreiben fremder Texte im Allgemeinen inakzeptabel und eine Urheberrechtsverletzung, deshalb noch einmal die Frage: Hattest du die Erlaubnis des Autors, seinen Text abzuschreiben? --GottschallCh 14:25, 18. Feb. 2007 (CET)

Soweit ich gelesen habe gibt es sowas ähnliches wie Arbeitszitate, was keine Urheberrechtsverletzung darstellt. Außerdem kopiere ich mit diesen Auszügen nicht Kleins Arbeit, weil er schon fast dort Aristoteles zitiert. Wie sollten Wissenschaftler sonst auch arbeiten. Ich bin ja keiner. Der Stand der Literatur im Artikel ist 1967, also kann es durchaus sein, daß der Autor tot ist. Ich habe Professor Geyer angeschrieben, und gefragt wer Fritz von Klein ist. Die Darstellung ist recht gut und sogar richtig, vor allem knapp. Wikipedia ist keine Quellensammlung. Ich habe nicht Deine schnelle oberflächliche Leseweise. Ich bin dran, ich habe es gerade bei Becker gelesen: 13 Seiten hochkonzentrierte Aristotelesauszüge. Nimm es raus und beteilige Dich bloß nicht. Oder markier es als Zitat. Wie geht Deine schöne Quellenpfeilsyntax? Wenn Du willst beteilige Dich natürlich schon. Stelle endlich die Begründung ein, wenn du Gunthers Auftrag weiterführst. Ich hätte schon eine. Meine eigene Darstellung wird demnächst entweder seitenlang, oder der jetzigen ähnlich. Ich habe es verstanden und erstmal korrigiert. Zusammenschludern kann ich das Ergebnis auch nicht aus dem Ärmel. Leibniz hielt es für ein "Labyrinth". Beispiel: Das Unbegrenzte existiert bei Aristoteles der Potenz nach, und das Kontinumm nach Becker auch, aber eher empfinde ich bei Aristoteles, daß das Kontinuierliche dem Unbegrenzten unangemssen ähnlich ist. Formulier Du so was mal verständlich aus. Umformulieren kann ich es schon auch, oder besser, mach Du es, aber ohne Fehler, ich passe auf. Noch ein Beispiel: Für die Griechen waren Zahl, Größe und Verhältnis verschiedene Dinge. Für uns ist Zahl das Verhältnis zweier Größen, berücksichtige das beim Unbegrenzten.--Roomsixhu 20:58, 18. Feb. 2007 (CET)

Wenn du, wie du selber schreibst, ein Thema nicht verstehst, solltest du keinen Wikipedia-Artikel darüber schreiben oder bearbeiten. --GottschallCh 18:12, 19. Feb. 2007 (CET)

Hallo Gottschall, bitte entschuldige den ruppigen Ton oben.

Die Quellen sind Aristoteles Physik Band III, Kap. 4 - 8, V, 3, VI, 1, 2, 9 und VIII, 8. Hast Du einen Weblink? Steht es in Deiner Bibliothek?--Roomsixhu 21:13, 19. Feb. 2007 (CET)

Der Text von Kurt von Fritz, der in den Wikipedia-Artikel hineinkopiert wurde, ist nicht Teil von Aristotelens Metaphysik. --GottschallCh 21:56, 19. Feb. 2007 (CET)

1. fast
2. Ich formuliere es um, nimm es ruhig solange raus.
3. Sehr geehrter Herr Wulff,

der Artikel ueber Zenon stammt von Kurt von Fritz, einem bedeutenden Kenner der Antike, der von 1900 bis 1985 lebte.

Ich bin im Moment in ... und kann mich nicht genau erinnern, aus welchem Werk ich den Artikel von v. Fritz

abgeschrieben oder aus dem Englischen uebersetzt habe als Material fuer eine Vorlesung.

Mit freundlichem Gruss

Dieter Geyer.

URV

Der Wortlaut im Artikeltext ist folgender:

Aristoteles versucht die Argumente zu widerlegen, indem er darauf hinweist, dass nicht nur der Raum, sondern auch die Zeit unbegrenzt dividierbar seien. Den unendlich vielen Raumteilen entspricht eine Serie von unendlich vielen Zeitteilen mit endlicher Summe und es gibt so keine Schwierikgkeit für Achilles die Schildkröte einzuholen (weil die unendlichvielen Raumteile in endlicher Zeit überwunden werden). Dieses Argument ist auf den ersten Blick überzeugend, zumal Achilles keine Schwierigkeiten hat die ersten Strecken zurückzulegen und die Schwierigkeiten erst auftreten, wenn der Abstand zur Schildkröte ganz klein geworden ist.

Der Wortlaut im Text von Kurt von Fritz [1] ist folgender:

Aristoteles versuchte dieses Argument zu widerlegen, indem er darauf hinwies, dass nicht nur der Raum sondern auch die Zeit unbegrenzt dividierbar sei; den unendlich vielen Raumteilen entspricht eine Serie von unendlich vielen Zeitteilen mit endlicher Summe – es gibt so keine Schwierigkeit für Achill. Dieses Argument ist auf den ersten Blick überzeugend, zumal Achill keine Schwierigkeiten hat, die ersten Strecken zurückzulegen, und die Schwierigkeiten erst auftreten, wenn der Abstand zur Schildkröte ganz klein geworden ist.

Nächster Absatz im Artikeltext:

Es gibt jedoch noch eine subtilere Form der Paradoxie, wonach Achilles gar nicht mit dem Lauf beginnen kann: Bevor er die erste Strecke zurückgelegt hat, muß er die halbe Strecke passiert haben, vor der Hälfte muß er ein Viertel bewältigt haben, davor ein Achtel u.s.w. So kommt er nie zum Loslaufen.

Weiter im online gestellten Text von Kurt von Fritz:

Es gibt jedoch noch eine subtilere Form der Paradoxie, wonach Achill gar nicht mit dem Lauf beginnen kann: Bevor er die erste Strecke zurückgelegt hat, muß er die halbe Strecke passiert haben, vor der Hälfte muß er ein Viertel bewältigt haben, davor ein Achtel u.s.w. So kommt er nie zum Loslaufen.

Unmittelbar darauffolgender Absatz im Artikeltext ohne unmittelbaren inhaltlichen Bezug (ein Absatz aus dem Originaltext wurde ausgelassen):

In Bezug auf das Pfeilparadoxon versucht Aristoteles eine Widerlegung, indem er den Augenblick, das Jetzt, obwohl es Gegenwart von Vergangenheit scheidet, nicht als Zeit ansieht; denn Zeit ist ausgedehnt, und damit sind es auch ihre Teile, Zeit ist nicht aus Augenblicken zusammengesetzt. (n. Fritz von Klein [sic!])

Im Originaltext heißt es (nach einer Auslassung von einem Absatz):

Aristoteles versucht eine Widerlegung, indem er den Augenblick, das Jetzt (νῦν), obwohl es Gegenwart von Vergangenheit scheidet, nicht als Teil der Zeit ansieht; denn Zeit ist ausgedehnt, und damit sind es auch ihre Teile, Zeit ist nicht nach Teilen zusammengesetzt.

Am Text von Kurt von Fritz ist nicht erkenntlich, dass er gemeinfrei wäre (erscheint mir aber eher unwahrscheinlich), und von der Form und der langen Quellenliste her sieht es für mich eher wie ein Lexikoneintrag (eventuell RE? Hat die jemand zur Hand?) oder einen Zeitschriftenartikel aus. Für mich sind keine Hinweise erkennbar, dass hier zulässigerweise abgeschrieben wurde.

Viele Grüße, --GottschallCh 12:28, 21. Feb. 2007 (CET)

sorry ... da gibts nur eins: löschen! --toktok 17:58, 21. Feb. 2007 (CET)

Vorschlag

Ich habe schon einen etwas anders gelagerten Ersatztext fertig. Muß noch ruhen. Einfach löschen, es ist ein wiki. Inhaltlich knapper als hier. Bedient Euch! Aristoteles argumentiert meines Erachtens völlig an Zenon vorbei.--Roomsixhu 14:41, 23. Feb. 2007 (CET)

Vorschlag Ersatztext Aristoteles

Als Ergebnis einer Begriffsbildung über Unbegrenztes und das Kontinuum, kommt Aristoteles zu dem Ergebnis, einer Art Äquivalenzbetrachtung, daß nur in der kontinuierlichen Zeit eine kontinuierliche Strecke durchlaufen werden könne. Unendliches kann nicht in endlicher Zeit durchlaufen werden.

Nach einer logischen Grundlegung können (bestimmte) Größen ebensowenig aus Unteilbarem bestehen, da sich widersprüchliche Konsequenzen ergäben. Z. B. wenn eine teilbare Linie aus unteilbaren Punkten bestünde: Für Unteilbares müßte das Dazwischenliegende teilbar sein, für Teilbares (z.B. teilbare Punkte) dürfte nichts Gleichartiges dazwischen liegen (die Linien zwischen ausgedehnten Punkten müßten unteilbar sein)

Die weitere Begriffbildung beschäftigt sich erstens mit dem Unbegrenzten. Aristoteles reglementiert die Widersrpüchlichkeit des Begriffes und untersucht ihn für:

1. Zahlen (sind unbegrenzt in Bezug auf die unteilbare Einheit. 8 zu 1, 9 zu 1, 10 zu 1 läßt sich unbegrenzt fortsetzen)
2. Größen (Intervalle) (sind unbegrenzt teilbar und grenzen aber immer an andere Größen und sind bestimmt oder endlich, nicht vergrößerbar).
3. Proportionen (läßt er ununtersucht).

Zweitens legt er das Kontinuierliche nach sechs Begriffen fest:

1. Zugleich (etwas in einem Ort)
2. Gesondert (in zwei Orten)
3. Berühren (Etwas berührt sich in den äußeren Enden)

Woraus die Begriffe:

1. Dazwischenliegende (Logisch motiviert kommt es begrifflich den Gegensätzen dem Orte nach zu)
2. Nächstfolgende (Nichts gleichartiges liegt dazwischen: Linie folgt auf Linie, ein Haus auf ein Haus)
3. Sichberühren (Nächstfolgendes wird zu einem Ganzen vereint (verklebt))

entwickelt werden. Beim Kontinuierlichen dürfen aber auch die äußersten Enden nicht zwei sein.

Relevant werden in diesem Sinne dann die Folgerungen:

1. Punkte sind auch keine nächstfolgenden, so dass aus ihnen Länge bestünde. Physik VI 1 (p 231 a 18 - 232 a 222)
2. Er zeigt dann weiter dass aus Punkten (Unteilbarem) nichts Kontinuierliches werden kann. VI 1 (p 231 a 18 - 232 a 22). (Das gilt für die Dichotomie, wenn das Rennen nicht beginnen kann). Ebenso besteht das Kontinuierliche nur potenziell aus bestimmten (endlichen) Größen, da sie wegen ihrer Begrenztheit nicht vergrößerbar sind und deren Äußerers nächstfolgend aber noch nicht sichberührend sind, und wenn doch dann sind die äußeren Enden immer noch zwei. An diesem Punkt genau setzt ja Aristoteles die Erklärungsbedürftigkeit des Begriffes Unbegrenzt an, denn für sich gegenseitig unbegrenzt begrenzende Größen gibt es dann keine abschließende Begrenztheit: "viertens daraus, daß das Begrenzte immer in bezug auf Etwas eine Grenze hat, so daß es notwendig eigentlich keine Grenze ist, wenn notwendig immer das eine in bezug auf ein anderes eine Grenze haben muß" Physik III, 4 (p. 103 b , 15 - 32)
3. Das Kontinuierliche wird an Punkten geteilt, die dann Äusseres (Grenze) vom vorhergehenden und nachfolgenden Stück werden (sozusagen konstruktivistisch). Der, der die Strecken zählt, muss den Teilungspunkt zweimal verwenden, einmal als Endpunkt einmal als Anfangspunkt. Daran ersieht man, dass sich das Rennen nicht mehr im Kontinuierlichen befindet. VIII ( p263a4 -b9)
4. Denn das Kontinuierliche ist nur in der Potenz teilbar. VIII ( p 263 a 4 -b9)

Der Zeit-Raumäquivalenzvergleich scheint von der Sache her nicht nötig, wenn die Begriffe klarer lägen:

1. Ein Vergleich Linien und geometrische Größen wird unterlassen.
2. Die Unbegrenztheit von Proportionen wird beim Begriff Zahl nicht untersucht
3. Das Kontinuierliche und das Unbegrenzte weisen eine auffallende Ähnlichkeit auf, sie haben keine Enden, zusätzlich wird die Einheit der beiden nicht durch Grenzen bestimmt sondern durch die Form (das ist bei Aristoteles soetwas wie eine Idee).
4. Dem Gegensatz "Unbegrenzt" - "der Verwirklichung nach" geht Aristoteles nicht weiter nach, wenn man "der Verwirklichung nach" als bildbar (freie Wahlakte) oder konstruierbar liest.
5. Das Bildbare verlegt er wohl wegen jeweiliger Andersartigkeit und damit fehlender Selbstidentität außerhalb der Logik und sieht es als nicht theoriefähig an.

--Roomsixhu 12:32, 25. Feb. 2007 (CET)

Reihe

Na ja. So hatte ich auch mal angefangen: Mit der Reihe. Der Ansatz ist analytisch und fasst Zahlen als Verhältnisse auf. Was ist dann ln 2 für eine Zahl?

Es stimmt aber nicht, daß die Griechen (evtl. Zenon) die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ... mit Grenzwert 2 nicht kannten, besonders Aristoteles scheint anhand ihrer seine Begriffsbildung zu machen. Die "Fehler" Zenons sind fragwürdig und umstritten.

Das Problem bleibt: Mit dem Reihenansatz kann man das Rennen auch nicht umgekehrt vom Punkt des Überholens (sozusagen aus dem Unendlichen) aus aufbauen.

Mittelstraß ist teuer und positivistisch. Womit wir wieder selig in der mittelalterlichen scholastischen Akt/Potenz Diskussion wären, die wir bald in 2000 Jahren gelöst haben werden.

Die Frage bleibt: Wer zählt? Was ist Werden? Was ist das Maß der Zahl?

Ganz nebenbei, wenn die Griechen den Grenzwert einer Reihe nicht kannten, wie hat dann Archimedes exakt die Fläche unter der Parabel im Intervall 0 bis 1 mit 1/3 bestimmt?--Roomsixhu 13:47, 27. Feb. 2007 (CET)

"Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden." ??? Ist immer noch unklar: Welcher Weg? Ich glaube Du meinst die Summe aus Achilles zurückgelegtem Weg und dem der Schildkröte. So wie es sich jetzt in der Formulierung darstellt, ergibt es keinen Vorsprung. Was heißt übrigens in diesem Zusammenhang potentiell?

Vor meinem geistigen Auge entsteht immer, wenn Du schreibst die Strecke sei unendlich, die Einsetzung L = $\infty$, die auch keiner so vornimmt und Zenon nicht behauptet. Das gibt eine 6.

Gerade das Verhältnis Unbegrenzt zu Unendlich wird, wie Du es selbst in Punkt 2 machst, thematisiert.--Roomsixhu 15:15, 27. Feb. 2007 (CET)

Lesbarkeit

Es sind zwei Sachen, die der Leser hier wissen will, wie ich aus den Diskussionen erfuhr:

• Wie rechne ich die Reihe aus?
• Warum gibt es in der mathematischen Begriffsbildung kein "unendlich lang"?

Und darauf gibt es zwei Antworten:

• Wenn die geometrische Reihe konvergiert, setze ich in die Stelle in der Formel dort, wo q hoch n steht, Null ein.
• Der Begriff "unendlich" kommt im Beweis der Konvergenz erst dann und nur symbolisch vor, wenn ich alles für die Konvergenz nötige schon gezeigt habe, nämlich:
  • Ich habe einen Grenzwert (woher ist allerdings unklar oder beliebig)
  • Ich wähle eine beliebige endliche epsilon-Umgebung um den Grenzwert.
  • Ich zeige für ein endliches n, daß die Summe für n Glieder in die Epsilonumgebung um den Grenzwert fällt
  • Ich zeige induktiv, daß für ebenso endliche n + 1 Glieder das ebenso bleibt, also bleibt es für alle Glieder so.

Dann schreibe ich das symbolische für n gegen unendlich unter den Limes.

Was Zenon dann kritisiert ist, daß man für Erklärungsversuche immer auf "unendlich lang" in Anführungszeichen zurückgreift. Und das ist im Zweifelsfall Gott. Vor allem macht das Aristoteles so (Form).

Im Allgemeinen wird wohl der Raum mit den teilbaren Größen gleichgesetzt und die Zeit mit dem ab n > 1 beliebig fortsetzbaren Abticken von Zahlen. (Schopenhauer). Daß hier Kritik ansetzt halte ich für sehr berechtigt.

Dort setzt dann die Philosophie an und ist heute bei der Negation angekommen. Aber auf diese Frage hat hier noch keiner eine Antwort gesucht. --Roomsixhu 12:22, 28. Feb. 2007 (CET)

Revert

Eine Quelle allein ist unzulänglich um Zenon diesen Fehler zu unterstellen. Er kannte wahrscheinlich die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 .. etc . Ich muß wohl die Gegenquelle suchen.

In Punkt zwei sind ja die Wörter "unendlich" erklärungsbedürftig, Z.B. wieso Cantor aktual Unendliches in seine Mengen aufnimmt. Das ist alles andere als eine Selbstverständlichkeit. Aber immerhin modern.

Außerdem ergibt sich bei Deiner Teilung kein Vorsprung. Die Teilung der zurückgelegten Strecke ergibt keinen Vorsprung zur Schildkröte. Mal mir doch ein Bild dazu.--Roomsixhu 12:55, 28. Feb. 2007 (CET)

Aha, der Weg den Achilles zurückgelegt hat war der Vorsprung. Also ein Vorsprung ist ein Vorsprung. Was folgt daraus? Ich kann ihn unedlich oft teilen und er wird nicht unendlich. Aber er war von Anfang an vielleicht z.B. 90 Meter lang? Aber aus dem ersten Vorsprung ergibt sich kein weiterer. Ist das Verhältnis alter Vorsprung zu neuem Vorsprung vollständig geklärt? Bestimmt nicht. Wenn Zenon z.B. meint daß irrationale Zahlen nicht durch rationale darstellbar sind, hat er recht und das Ende des Rennens ist nicht bestimmt. Das Rennen als Kreisquadratur gegen Pi hat zum Beispiel kein Ende.--Roomsixhu 13:13, 28. Feb. 2007 (CET)

OK, wenn Du Dich mit jemand anderes einigen kannst, wäre es schön. Ich werde den Artikel dann auch aus meiner Beobachtungsliste nehmen und nie mehr ansehen. Augen zu und durch. Mit mir einigst Du Dich ja wohl nicht.--Roomsixhu 13:28, 28. Feb. 2007 (CET)

Nachtrag, was an Punkt zwei nicht stimmt:

2. Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat (das ist der vorgegebene Vorsprung), kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft durchgeführt werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen. (Es wurde nie bezweifelt, daß Achilles den vorgegebenen Vorsprung durchläuft, sondern ob er die Schildkröte mit weiter beliebig vielen Vorsprüngen einholt.--Roomsixhu)

Wenn das nicht der Vorsprung ist, dann schreib es nicht so hin, daß es der Vorsprung ist, oder mal ein Bild. Das beruhigt. Was ist es denn für ein Weg ??? --Roomsixhu 13:36, 28. Feb. 2007 (CET)

Diskussionen

der artikel selbst ist nicht der ort für diskussionen. bitte macht das hier aus. --toktok 13:42, 28. Feb. 2007 (CET)

Gottschall hat den Revertknopf und hält leider "Zusammenfassung und Quellen" für den Ort der Diskussionen.--Roomsixhu 13:49, 28. Feb. 2007 (CET)

Punkt 2 und QS

Ich kann es immer noch nicht glauben: Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat, liegt hinter ihm, der Vorsprung zur Schilkröte liegt vor ihm. Hinter Achilles liegt kein Vorsprung. Und soll das potenziell unendlich teilbar, bedeuten, daß Zenon das Paradox gar nicht aufstellen kann? Auch wenn Herr Jänich ein Erlanger Schüler ist, ist es nicht sinnvoll. Wenn das klar ist kann doch der QS Baustein raus.--Roomsixhu 15:37, 2. Mär. 2007 (CET)

Distanz

Ich muß mich hier doch schließlich ausdrücklich von der jetzigen Form des Artikels distanzieren:

Punkt 2 ist immer noch nur die Behauptung: Die Strecke ist endlich. Mehr steht da auch mit mehr Worten nicht.

Meine inhaltlichen Bedenken habe ich hier: Wikipedia:WikiProjekt_Philosophie/Aktuelle_Problemfälle#Achilles_und_die_Schildkr.C3.B6te dargestellt.

Philosophisch nachlässig finde ich, daß die Problematik des Unendlichen übergangen wird. Mathematisch ist es einer der inhaltsleersten Artikel, die ich je gelesen habe.

Aussagen über das Unendliche bleiben Gottschalls Sache. --Roomsixhu 01:11, 25. Mär. 2007 (CET)

Siehe dazu auch: en:Zeno's_paradoxes, en:Talk:Zeno's_paradoxes and en:What_the_Tortoise_Said_to_Achilles.--Roomsixhu 17:36, 1. Apr. 2007 (CEST)

Alte Diskussion

Man kann den Wettlauf mit Vorsprung auch auf folgende Art betrachten: Auf einer Laufbahn wird eine Ziellinie markiert. Beide Läufer stehen auf derselben Seite der Linie, aber mit verschiedenen Abständen a > s zur Ziellinie. Die Differenz a - s, würde dann den Vorsprung v angeben. Wenn nun Achilles - zeitlich - vor der Schildkröte ankäme, hätte er sie vorher überholt. Ob das geschieht, hängt davon ab, wie viele Male Achilles schneller läuft als die Schildkröte. Die Antwort lautet: Wenn er k > a/s Mal schneller läuft, als die Schildkröte. Denn, wenn k = a/s kommen beide gleichzeitig an, das heißt: Er holt sie dann ein. Ist k < a/s kommt die schildkröte als erste an d. h. Achilles kann sie dann nicht einholen.--Michael 16:29, 19. Jul. 2007 (CEST)

Kuck mal im Archiv und in der Versionsgeschichte vor Gottschalls Mitarbeit, da waren die diversen Ansätze schon drin. Zuletzt etwas chaotisch hier Gruß Room 608 22:52, 17. Jun. 2007 (CEST) P.S.: Die Hinweise auf Quellenagaben sind Blödsinn, da man den Quatsch selber nachrechnen kann. Quelle: Selber denken.

Inhaltlich: So wie Du es betrachtest verändert sich v im Laufe des Rennens, man kann es also also als $\Delta v$ betrachten. Da der Abstand aber unendlich klein wird, falls Achilles überholt, müßte Zenon einen Grenzwertübergang machen, das unterläßt er aber. Ein Verhältnis infinitesimaler Größen ohne Grenzwertübergang ergibt aber kein Maß für das Verhältnis, man kann nicht sagen auf welche Einheit das Verhältnis bezogen ist, denn im Unendlichen gibt es keine Einheit mehr, und ist deshalb sinnlos. Kurz man kann $\infty$ und $\infty +1$ nicht unterscheiden, das eine kann jedenfalls nicht länger als das andere sein. --Room 608 23:07, 17. Jun. 2007 (CEST)

Hallo, Roomsixhu! Ich weiß nicht von welchem Quatsch Du sprichst, sorry. Ohne die konkreten Tatsachen anzugeben, finde ich es schon merkwürdige sich so zu äußern. Anscheinend ist für Dich klar, dass Achilles - als ganzer Körper - sich um z. B. 0,0000001 mm von der Stelle bewegen kann! Hast Du, "Superman" das schon mal geschafft?!

Ich habe bei einem ähnlich gelagerten Rennen meinen Sohn überholt. Mit Quatsch meinte ich Zenons Paradoxon. Und ich glaube wirklich, daß man sich kontinuierlich fortbewegen kann. --Room 608 18:47, 18. Jun. 2007 (CEST)

Danke für die Antwort. In der Mathematik unterscheidet man doch zwischen einem offenem und einem geschlossenen Intervall. Sie unterscheiden sich dadurch, dass das eine zwei Zahlen mehr enthält als das andere. Nach der Mengenlehre gibt es aber eine ein-eindeutige Abbildung zwischen diesen, dass heißt, dass es keinen Unterschied zwischen diesen beiden gibt. Ich frag mich nun, warum unterscheidet man trotzdem zwischen den beiden Intervallen, wenn sie sich nicht unterscheiden!? Anders gesagt: Für Cantor ist der Grenzwert Teil der Folge. Das verlangt aber die Definition des Grenzwertes überhaupt nicht! Für mich ist der Grenzwert eben der Einholpunkt, der nicht zur Folge Zenons gehört. Das ist meine Meinung. Übrigens gibt es auch in den Wissenschaften so etwas wie Mode, die sich von Zeit zu Zeit ändert, wiedeholt. Für Gauß und seine Zeit gab es die potentielle Auffassung des Unendlichen. Seit Cantor gibt es nur mehr das aktual-unendlich. Ich bin mir sicher, dass irgend wann, wieder ein Umdenken kommt, oder zu mindest eine Akzeptanz beider Auffassungen. Mit freundlichem Gruß, Michael.

Da hast Du recht und das verstehe ich genauso. Ich betrachte die Auffassung des aktual Unendlichen als die engere Sichtweise. Und da streiten sich die "Fachgelehrten" selbst. Gruß --Room 608 17:52, 21. Jun. 2007 (CEST)

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Ich beziehe mich auf Istvancseks Änderung [2]. Zunächst methodisch: Von der "der jetzt auffindbaren Literatur" zu sprechen und sich auf Cohens Kinderbuch (naja, richtet sich an Schüler) zu berufen scheint mir suboptimal. Ich würde Cohen nicht einmal in die Literaturliste aufnehmen, weil er das Thema auf gerade einmal zwei Seiten und höchst unwissenschaftlich behandelt (von den entweder falschen oder zumindest für Laien meines Erachtens zwingend missverständlichen Ausführungen zur Unendlichkeit bei Rätsel 26 ganz zu schweigen).

Inhaltlich finde ich die Änderung aber auch problematisch. Punkt 2 in der alten Artikelfassung thematisiert genau das: Dass eine Strecke (mathematisch) beliebig oft unterteilbar ist, dass das aber eben gerade nichts über die physikalische Beschaffenheit der Strecke präjudiziert. Warum das Ganze zweimal sagen und so tun, als wäre das eine mathematische Behauptung...? --GottschallCh 12:44, 23. Jun. 2007 (CEST)

Ich verstehe Punkt 2 immer noch nicht. Man muß doch den vorgegeben Vorsprung zu diesen neu geteilten Fragmenten hinzuaddieren, oder? --Room 608 15:22, 23. Jun. 2007 (CEST)

Ich kann dir leider nicht helfen, vielleicht kann es jemand anderer. Die Diskussion hier behandelt ernsthafte Fragen. --GottschallCh 15:25, 23. Jun. 2007 (CEST)

Kannst Du zur Frage mit Ja oder Nein Stellung nehmen? Du hast den Satz geschrieben. Sollte das nicht möglich sein, muß der Satz raus.--Room 608

Deine Frage ist unverständlich und zudem gegenstandslos, weil von Addieren nicht die Rede ist. Bitte behellige nicht immer mich mit deinen Ausführugen. --GottschallCh 16:51, 23. Jun. 2007 (CEST)

Du baust halt ständig auf dem unverständlichen Punkt 2 auf. Was Du sagst ist ja richtig. Aber eine zurückgelegte Strecke wird kein Vorsprung. Ich würde gerne dem Gang der Argumentation von Anfang an, eben Punkt 2, folgen. --Room 608 17:27, 23. Jun. 2007 (CEST)

In welchem Land lebt Gottschall, in dem der Wert eines Textes von der Anzahl der gedruckten Seiten eines Buches abhängt?! Das schlägt doch glatt den Boden aus dem Fass! Das Thema kann in einigen Zeilen abgehakt werden:

Jede noch so einfache Rechenmethode, die gewährleistet, dass man damit Überholpunkte berechnen kann, und davon gibt es mehrere - man braucht nur das Gleichheitszeichen durch das Größer-Zeichen zu ersetzen - stellt ein direktes Beweisverfahren für das Überholen dar, wogegen das Rechenverfahren der "höheren" Mathematik nicht einen einzigen Überholpunkt liefern kann! Der Einholpunkt ist das Ende der Fahnenstange für dieses Beweisverfahren. Das Stadionparadoxon stellt einen in-direkten Beweis dar. Bei so manchen in-direkten Beweis stellte sich im Nachhinein heraus, dass er falsch war. Diese Methode hat ihre Tücke, deshalb wird sie nur dann angewendet, wenn man kein direktes Beweisverfahren findet bzw, erdenken kann. Das war's. Es hat Spaß gemacht hier vorbei zu schauen; man trifft nette, verständnisvolle Menschen an. Tschüss und ein ade aus dem Schwabaländle, Euer --Michael 11:18, 24. Jun. 2007 (CEST)

Woher du die Interpretation nimmst, dass der Wert eines Textes von der Anzahl der gedruckten Seiten abhänge, ist mir rätselhaft. Das muss auch eine recht eigene Welt sein...

Jede "Rechenmethode" (ich nehme an, du meinst: jedes mathematische Modell), dessen Ergebnisse mit der Erfahrung übereinstimmen, dass Achilles die Schildkröte überholen kann, ist selbstverständlich potenziell ein Modell für die Wirklichkeit. Wo stand in dem Artikel etwas anderes? Cohen ist es, der auf Seite 173 verständnislos schreibt "Die Mathematik bietet zwar Lösungen für Probleme an, setzt sich jedoch [...] auf überhebliche Weise über Zeit und Bewegung hinweg und lässt somit die Realität außer Acht." Er hat sichtlich nicht verstanden, was Mathematik ist, dass sie nicht mit physikalischen Objekten arbeitet und dass Anwendungen auf die physikalische Realität Anwendungen sind, die funktionieren können, aber nicht müssen (der philosophische Zwischenruf, dass ein Wassertropfen plus ein Wassertropfen wieder nur ein Wassertropfen ist, widerlegt nicht die Addition 1+1=2). Wir sollten nicht denselben Fehler machen.

Was das Ganze jetzt mit direkten und indirekten Beweisen zu tun hat, verstehe ich nicht, zumal ich nicht sehe, wo es hier ums Beweisen gehen könnte. In jedem Fall (da besteht aber modern weitgehend Einigkeit? Auch und gerade dann übrigens, wenn sich die "jetzt auffindbar[e] Literatur" auf Cohen beschränkt) handelt es sich gerade nicht um ein mathematisches Problem, sondern um ein philosophisches und/oder physikalisches – einfach um die Frage, wie die Wirklichkeit beschaffen ist und welche Konsequenzen die auf diese Frage möglichen Antworten haben.

Aber wenn man sich ernsthaft mit so etwas bechäftigen möchte, dann wird ein Lexikoneintrag ohnedies nur ein Appetizer sein können. Das billige Reclam-Buch ist eine (wissenschaftlich) seriöse deutschsprachige Anlaufstelle, die Stanford Encyclopaedia ist sogar gratis, und dann stehen sogar noch ein paar Standardtexte in der Literaturliste.

Viele Grüße, --GottschallCh 12:48, 24. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Christian! Meine Interpretation bezieht sich auf Deine Äußerung: "weil er das Thema auf gerade einmal zwei Seiten" (siehe weiter oben). Ich habe Cohens Aussage: "..., basiert jedoch auf mathematische Konventionen." angeführt, weil er damit die Grenzwertdefinition meint, die de facto auf eine Konvention - allein - der Mathematiker beruht. Ich vereise heute bis zum 5. Juli. Wenn Du Lust und Zeit hast dann lies bitte - ist nicht viel - meine ganze Hompage [3], damit Du erfährst wie ich die Bewegungsparadoxa des Zenon sehe. Sonst reden wir an einander vorbei. Bis bald, --Michael 17:38, 24. Jun. 2007 (CEST)

Ich habe mir mit der Antwort ein bisschen Zeit gelassen, aber ich inzwischen fällt mir auf, dass der 5. Juli auch schon in der Vergangenheit liegt – die Zeit vergeht zu schnell.

Die Darstellung auf deiner Homepage ist selbstverständlich völlig in Ordnung, aber ist sie nicht ohnedies die ganz gewöhnliche Lösung (Weg-Zeit-Diagramm, und am Schnittpunkt überholt der Schnellere)? Sie ist unter der Voraussetzung, dass lineare Bewegung möglich ist, sicher ein geeignetes Modell der Wirklichkeit. Wenn aber lineare Bewegung nicht möglich wäre, sondern nur Illusion wäre (eine Meinung, die Zenon gerne zugeschrieben wird), dann würde auch dieses mathematische Modell nichts helfen.

In den Zenonischen Paradoxien geht es (so weit man das sagen kann) aber doch gerade um die Frage, wie die Wirklichkeit beschaffen ist. Zenons Argument, so weit es üblicherweise verstanden wird, ist einfach dieses:

1. Achilles muss die Schildkröte unendlich oft einholen (denn in der Zeit, die er dafür braucht, hat sie es ein Stück weiter geschafft).
2. Unendlich viele Einholvorgänge sind nicht in endlicher Zeit möglich.

Also

Muss das Einholen unmöglich bzw. bloße Illusion sein.

Die Frage ist (zumindest üblicherweise) nicht die, ob das Argument schlüssig ist (ich kenne niemanden, der diesen Standpunkt verträte, aber ich bin ausdrücklich kein Fachmann für dieses Thema), sondern die Frage ist, wo genau der Fehler liegt. Und diese Frage wird bis heute diskutiert.

Das Argument hat zwei Prämissen, also muss der Fehler in (mindestens) einer von ihnen liegen:

1. Liegt er in der ersten Prämisse, dann haben wir den Fall, der im Artikel als Punkt (2) behandelt wird: Achilles muss die Schildkröte nur einmal einholen (damit funktioniert dein Weg-/Zeitdiagramm), und das unendlich häufige "Einholen" ist eine Einteilungshandlung der Beobachtenden: Nicht Achilles muss tatsächlich unendlich viele (Einhol-) Handlungen setzen, sondern die Beobachtenden können potenziell unbegrenzt oft sagen: "Achilles hat den verbleibenden Vorsprung jetzt halbiert".
2. Liegt er in der zweiten Prämisse, dann haben wir den Fall, der im Artikel als Punkt (1) behandelt wird: Es muss möglich sein, in endlicher Zeit unendlich viele immer kleiner werdende Raumteile zu durchmessen. Das zu beschreiben braucht man dann aber ein komplizierteres mathematisches Modell, die endliche Summe unendlicher Reihen.

In keinem Fall aber handelt es sich um ein mathematisches Problem. Es ist ein rein philosophisch/physikalisches Problem, und in Abhängigkeit davon, welche Lösung man für richtig hält, sucht man eine geeignete mathematische Beschreibung dieser Lösung.

Viele Grüße, --GottschallCh 13:10, 7. Jul. 2007 (CEST)

Punkt 2 bedeutet also: Unendliche Teilbarkeit, also die Unendlichkeitseigenschaft eines Verhältnisses, läßt keine Rückschlüsse auf die unendliche Aneinanderreihung von Längen zu. Das ist antike Begrifflichkeit. Seit Descartes sehen wir das anders. --Room 608 17:13, 7. Jul. 2007 (CEST)

"Achilles muss die Schildkröte unendlich oft einholen (denn in der Zeit, die er dafür braucht, hat sie es ein Stück weiter geschafft." Das verstehe ich nicht. Zenon behauptet nur, dass Achilles zu erst an alle Punkte an denen die Schildkröte war kommen muss, bevor er sie einholt. Nicht mehr und nicht weniger. Es ist eine Banalität. Macht was ihr wollt. Mir reicht es. --Michael 20:37, 7. Jul. 2007 (CEST)

Ja, da hast Du auch recht, aber Gottschall meint etwas anderes. Es sind natürlich dann unendlich viele Punkte, die Achilles ablaufen muß. Und bevor es Dir reicht, musst Du noch mal antworten. Seit Descartes muss man für "Unendlich" natürlich eine Grenzwertbetrachtung machen, da Zahl, Größe und Verhältnis in einer Relation zueinander stehen, und die Summe einer Reihe ist nicht so kompliziert, wie Gottschall es sieht.--Room 608 21:10, 7. Jul. 2007 (CEST)

@Michael: So, ich habe auch Deine Seite gelesen. Einfach war sie nicht, so kurz auch nicht. Schön ist das Bild mit dem Wurm. Ich glaube Du packst das Problem zu weit hinten in der Erkenntnistheorie an. Von Aristoteles glaube ich nicht, dass er viel verstanden hat, siehe Benutzer: Roomsixhu/Kontinuum. Zu Descartes muß ich nachbemerken, daß, wenn man für entweder Zahl, Größe oder Verhältnis einmal unendlich wählt, das auf die anderen beiden einen (funktionalen) Einfluß hat, der durch die Grenzwertbetrachtung geklärt werden muss. Meist wird der Grenzwert selbst nicht erreicht. Vielleicht hat eine konstante Folge z. B. 2,2,2,2 ... den Grenzwert zwei erreicht. Aber das klärt die Grenzwertbetrachtung nicht. Die Epsilonbetrachtung braucht man doch nur, um einen Induktionsbeweis daranzuhängen, aus Induktionsanfang und Induktionsschritt folgt die Behauptung, z. B endliche Strecke.

Das Beste, was ich zu dem Thema las, stammt von Hermann Weyl. Er sagt, dass es gar nicht nötig sei, daß die zugehörige Mathematik ein Kontinuum beschreibe, ähnlich, wie man auf einigen einzelnen (diskreten) aus einem Fluß schauenden Steinen den kontinuierlichen Fluß überquert. Weyl nennt dann die Verhältnisse im Kontinuum auch Kontinuumsbrei, der zwischen die diskreten Punkte der Ebene gegossen wird. Ich stelle mir dabei vor, man nimmt für das Rennen zwei verschieden schnelle Flüsse. Die Frage der Begrifflichkeit stellt sich sofort. Also gibt die Mathematik kein Kontinuum wieder, wenn sie das Problem mit diskreten Punkten beschreibt, kann sie schlüssig im diskreten System bleiben.

Zu dem Pfeilparadoxon: Wenn man den Pfeil erwärmt, wird er länger und dehnt sich aus, aber er bewegt sich deshalb doch noch lange nicht.

Was Gottschall sagen will, wird immer wirrer, seine Edits empfinde ich inzwischen als Vandalismus, er nimmt Missverständisse raus und erklärt statt dessen gar nichts, behauptet nur in der Zusammenfassung etwas, was man im Artikel nicht wiederfindet. Das macht es auch nicht klarer. --Room 608 15:17, 8. Jul. 2007 (CEST)

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Oh nein, jetzt fängt der ganze Blödsinn von vorn an. Also: Jeder kontinuierliche Vorgang läßt sich, in Gedanken, in unendlich viele kleine Schritte zerteilen. Mit der Realität hat das nichts zu tun, aber man kann natürlich darauf reinfallen. Zenon ist und bleibt ein Depp.(nicht signierter Beitrag von 172.173.121.104 (Diskussion) )

Und du bist auf keinen Fall besser, weil du als bekannt vorraussetzt, was man dir schön in der Schule gesagt hat oder du sonst wo mal in unserer von Informationen überquillenden Gesellschaft aufgegriffen hast, als Produkt dessen, was andere viel früher erdacht haben. Schon allein die Tatsache, dass er sich damit beschäftigt hat, macht Zenon schlauer als uns.-- Lefcant Ϡ Ἡ γνώμη ὑμῶν 22:00, 27. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Christian. Zur Wirklichkeit: Wenn ich über die Wirklichkeit spreche, so spreche ich über meine Vorstellung von der Wirklichkeit. Wir benützen zwar dieselben Worte, das heißt aber nicht, dass unsere Vorstellungen davon dieselben sind. Leider setzen wir voraus, dass der Gesprächspartner auch dieselbe Vorstellung davon hat.

Mit Deiner Bemerkung: "Wenn Bewegung nur Illusion wäre, würde auch ein mathematisches Modell nichts helfen." hast Du vollkommen recht, da beide rein geistige Produkte sind; es fehlt die Beziehung zu dem was wir Materie nennen bzw. es fehlt die Kontrolle durch unserer Handlungen mit der "Hand" bzw. mit den von uns konstruierten Verlängerungen unserer Sinnesorgane, wie Mikroskope, Messgeräte u.s.w. (Leider gibt es keine Uhr, die Pi-Sekunden genau messen kann, oder ein Längengerät, dass Pi-Meter messen könnte!)

Wenn Du meinst, dass meine Hompage-Darstellungen quasi nur ein Weg-Zeit-Diagramm darstellen, muss ich Dir leider sagen, dass Du nicht die ganze Hompage gelesen hast. Ich habe da auch eine Weg-Zeit-Körper Darstellung dargeboten. Ich muss nämlich die Frage beantworten, ob der sich bewegende Körper die Teilbewegungen des Zenons überhaupt real ausführen kann! Oder anders gesagt, ab wann muss ich mit der Teilung des Zeitabschnittes bzw. des Weges aufhören! Das Prroblem ist hier, dass dies vom jeweilgen Körper abhängt, dass dies nicht verallgemeinert werden kann.

Alle Benützer der Wikipedia, die meinen, dass das Paradoxon mit der Wirklichkeit nichts am Hut hat, haben vollkommen recht. Sie machen es sich aber all zu leicht, denn es könnte ja sein, dass es auch noch zusätzlich einen Fehler im Denken gäbe. Und genau diesen gibt es! Es ist der Zeit-Fehler im Denken Zenons. Dieser äußert sich in verschiedenen Formen: Dass er keine notwendige Bedingung für die Laufzeit stellt oder, dass er keine Maßeinheit für die Zeit wählt, die er dann während des Laufes nicht mehr ändern darf - die Zeitabschnitte müssen gleichlang bleiben - oder: Das Stadion-Paradoxon ist eine misslungene Variante des Halbierungsparadoxons. In beiden Fällen geht es um eine Bewegung von A nach B. Während sein Gedankengang im Halbierungsparadoxon konsequent ist, das heißt er berücksichtigt hier, dass der Zeitbegriff ein gerichteter Begriff ist - man spricht heute von einem Zeitpfeil - jeder folgende Gedanke führt immer weiter in die Vergangenheit der Bewegung, ändert er im Stadionparadoxon innerhalb des selben Ablaufes die Pfeilrichtung: Er geht von einem Überholpunkt zurück in der Zeit zum Einholpunkt, und von da weiter zurück - in die Vergangenheit - zur Startlinie. An dieser Stelle wird er inkonsequent: Er ändert die Richtung des Zeitpfeiles. Das darf er nicht tun! (Entweder betrachte ich die Bewegung als abgeschlossen, dann liegt sie vollständig in der Vergangenheit oder sie ist noch nicht ausgeführt, dann liegt sie ganz in der Zukunft oder sie ist im Gange (diesen Fall möchte ich hier ausklammern).

Deine letzte Bemerkung: "In keinem Fall handelt es sich um ein mathematisches Problem." stimmt auch, nur ziehst Du leider nicht die Konsequenz daraus: In Punkt 1 im Artikel kommen nur rein-mathematische Begriffe vor: unendliche Reihe und endliche Summe. Zu Punkt 2 im Artikel möchte ich nur sagen, dass er nicht das ausdrückt, was Du eigentlich meinst. Gruß --Michael 14:04, 10. Jul. 2007 (CEST)

Hattest Du meine Antwort gelesen? Ich empfinde das Maß als das Problem, denn nur die Mathematik kennt es. Was bedeutet es in Logik, Metaphysik und Philosphie? Es ist dabei auch egal ob Maß der Zeit oder Länge, das Maß selbst ist nicht vorhanden, bei Zenon, Aristoteles oder auch einigen Lösungsversuchen. Man nennt es auch neutrales Element in der Mathematik. --Room 608 17:20, 10. Jul. 2007 (CEST)

Oder: Ein Element a heißt Einheit, falls es Elemente b und c gibt mit ab = 1 und ca = 1. (für den etwas allgemeineren nichtkommutativen Fall),:aus Einheit (Mathematik). --Room 608 17:34, 10. Jul. 2007 (CEST)

Hallo Room! Ist Room ein Vorname aus irgendeiner Sprache, die ich nicht kenne? Ich möchte Dich mit Deinem Vornamen ansprechen, bitte! Also schön der Reihe nach: Ich habe Deine Antwort gelesen, wollte aber zu erst Christian antworten. Und ich möchte meine Antworten nicht gleich mit einem Schuss aus der Hüfte abfeuern. Zu H. Weyl hätte ich Dir gleich antworten können, Du hast mich aber auf Aristoteles verwiesen und das muss ich zu erst einmal durcharbeiten. Habe bitte Geduld. --Michael 13:00, 11. Jul. 2007 (CEST)

Dein "erwärmter Pfeil" hat mich zu folgendem Gedankenexperiment inspiriert: Ich stelle mir einen Pfeil ganz aus Metall vor. Halte das Pfeilende - das ohne Spitze - fest und erwärme den Pfeil. Der Pfeil wird sich nach allen Richtungen ausdehnen. Die Ausdehnungen im Querschnitt ignoriere ich, mich interessiert nur die Veränderung in eine Richtung: die durch die Pfeilspitze angegeben ist. Ich unterbinde die Erwärmung, gib den befestigten Teil frei und befestige das Pfeilspitzenende. Der Pfeil wird sich abkühlen und wird so den vorher befestigten Teil nachziehen. Nimmt nun der Pfeil die vorher vorhandene Umgebungstemperatur an, so wird er dieselbe Länge haben wie vorher, doch er wird jetzt wo anders sein: der ganze Pfeil hat sich vollständig in eine Richtung fort-bewegt. Es geht hier somit nicht um irgendeine Bewegung, sondern um eine Veränderung in einer Raum-Dimension. Die Physiker der Stringtheorie beschreiben die "Körperchen", die Elementarteilchen, die sie String nennen, mit mehreren Dimensionen. Sie haben diese neue Theorie aufgestellt, weil die gängige Theorie der Physik, die "Körperchen" als Punkt - also als etwas Nicht-Veränderbares betrachten - zu Differenzialgleichungen führen kann, die einen unendlichen Wert als Lösung ergeben und die Physik mit diesen Werten nichts anfangen kann. Ich betrachte den Zweibeiner Achilles zwar nicht als schwingenden "Faden" aber, als Faden mit unbestimmten Enden, das heißt ich muss für seine Beschreibung im Raum zwar zwei Zahlen angeben, das sind aber keine genauen Werte! --Michael 11:41, 12. Jul. 2007 (CEST)

Physikalische Modelle verfolge ich weniger, abgesehen davon, dass ich vieles für völligen Blödsinn halte, auch die Stringtheorie. Man kann mit Differentialrechnung mathematische Welten komponieren, die aber dennoch sinnlos sind, auch wenn sie mathematisch widerspruchsfrei sind. Ich denke da auch an Musik, wie neue Musik, die komponiert wird, aber nicht gut klingt. Wenn ich sowas wie unendliche Werte in einer Differentialgleichung lese, klingeln Alarmglocken. Es gibt einfach viel Unsinn. Mich fasziniert, ob er nun eine Lösung ist oder nicht, der Ansatz mit der unendlichen geometrischen Reihe. Wie dort für den Beweis Partialsummen ineinandergeschachtelt werden, ist ebenso faszinierend wie die Argunmente von Weyl mit ineinandergreifenden Intervallen.

Als Bild drängt sich mir bei dem ganzen Paradox auf, dass Achilles die Schildkröte wie eine Bugwelle vor sich herschiebt. Allerdings erstarrt das Rennen je kleiner der Abstand wird (absoluter Nullpunkt.) Es ist aber nicht plausibel, dass das Rennen stehenbleibt, ebenso nicht, dass Achilles die Schildkröte mit einem konstanten Abstand vor sich herschiebt, denn dann wurde die Voraussetzung, dass Achilles schneller sei, verändert, und er ist nicht mehr schneller. Wenn man sich ansieht, wie im Beweis für die geometrische Reihe die Nullfolge eliminiert wird und nur einen Teil der ganzen Formel ausmacht, muss man sagen, das Zenon nicht klar macht, wo er die Nullfolge ansetzt und wo er sie im Rennen einbaut, und man kann sie in keiner Weise von der gesamten Argumentation trennen, alles läuft immer wieder auf sie hinaus. Über unendlichklein kann man aber keine Aussagen machen, darüber wissen wir nichts. (Es gibt ja auch Ansätze mit unendlichen Zahlen etc., ich habe aber nicht verstanden, ob sie einen weiterbringen.)

Als kleinen Scherz habe ich mal einige berühmte Leute dazu interviewt: Physikalischer Ansatz. Viel Spaß. --Room 608 18:38, 13. Jul. 2007 (CEST)

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Hallo Christian! Wie Du wohl bemerkt haben wirst, wird hier weiter diskutiert, ohne dass sich etwas an Deinem Artikel ändert. Das macht keinen Sinn. Ich möchte diesen Artikel ändern und versuche diesmal Schrittweise vorzugehen: Bevor ich den Artikel ändere, werde ich auf Deine Antwort bezüglich dieser Änderung warten. Erst danach werde ich den nächsten Schritt ausführen. Vielleicht können wir uns so verständigen.

Also, Du gibst nur eine einzige Bezugsquelle an, das heißt, Du stützt Dich auf eine einzige Meinung und das reicht nicht. Entweder geben wir mindestens eine zweite Bezugsquelle an - das muss nicht Cohen sein -, die auch eine andere Meinung vertritt oder wir lassen gleich die Bezugsquellen weg. Gruß --Michael 11:13, 14. Jul. 2007 (CEST)

Keine Antwort ist auch eine Antwort, deshalb habe ich den Artikel geändert. Gruß--Michael 09:22, 16. Jul. 2007 (CEST)

Ich habe noch Material von Alfred North Whitehead, in "Wissenschaft und moderne Welt", er untersucht dort die Eigenschaft von Zeit, die sich von der vom Raum deutlich unterscheidet. --Room 608 21:37, 16. Jul. 2007 (CEST)

Kein Wett-Rennen

Dieses Rennen hört nie auf. Achilles holt die Schildkröte nicht ein, die Schildkröte gewinnt aber auch nicht. Unentschieden ist das Rennen auch nicht, dann hätte keiner gewonnen, aber Achilles die Schildkröte einholt.

An der Lösung mit der geometrischen Reihe hätte Zenon dreierlei auszusetzen:

• Der Induktionsbeweis von Induktionsanfang und Folgerung von n auf n + 1 wird auf die Bedeutung von unendlich übertragen.
• Der Grenzwert wird nicht erreicht.
• Der Beweis eines Grenzwertes gibt aber meist nicht den Grenzwert an, man weiß ihn vorher.

Das ist alles schön aber das mathematisch gelöste Rennen hat eine Ziellinie. Zenons Rennen hat keine.

Drehen wir das Rennen um sehen wir, was nicht stimmt. Achilles läuft vor der Schildkröte davon. Laufen sie unendlich lange, wird der Abstand zwischen beiden unendlich groß. Schiebe ich nun auch noch die Ziellinie ins Unendliche, kann ich nicht mehr angeben, ob Achilles nach unendlichem Lauf vor oder hinter der Ziellinie steht. Es gibt auch da keinen Sieger, das Rennen ist unbestimmt. Ein Kriterium: $\infty -\infty \leq 0$ dafür, das das vordere Unendlich der Ziellinie kleiner ist als die Laufstrecke Achilles ist unbestimmt. --Room 608 17:22, 18. Jul. 2007 (CEST)

Aus der Beschreibung des Wettlaufparadoxons kann man nicht entnehmen, was Zenon unter schneller versteht. Wahrscheinlich war für ihn derjenige schneller, der zu erst an der Ziellinie ankommt. Insofern hast Du recht, in dem Du die Ziellinie in die Überlegung einbeziehst. Das ist für mich ein weiteres Gegenargument zur mathematischen Lösung. Übrigens habe ich am Anfang dieser Diskussionsseite diesbezüglich meine Überlegungen dargestellt. Siehe dort.

Eine kleine Bemerkung zum Grenzwert: Man „weiß“ ihn nicht vorher, sondern vermutet ihn, erahnt ihn – wenn einem die Muse küsst - und beweist dann mittels der Definition – eine Vereinbarung, ein Konsens zwischen Mathematiker – seine „Wahrhaftigkeit“.

Deine „Umdrehung des Wettlaufes“ kann ich leider nicht verstehen, denn die Zeit, bzw. die Bewegung kann man nicht umdrehen.

Da hast Du Recht, wenn Du sagst, dass es kein Wettrennen beschreibt, denn zu einem Wettrennen gehört nun Mal eine Ziellinie. Beim Formel-1 Rennen haben die Wagen Abstände untereinander vor dem Start und eine gemeinsame Ziellinie. --Michael 11:44, 19. Jul. 2007 (CEST)

@Michael: Dreh Achilles und die Schilkröte um 180 Grad um und lass sie loslaufen.

Ich kann das auch noch anders ausdrücken:

1. "Die Ideen im Sinne Platons sind zeitlos und als reine Möglichkeit nicht wirklich. Das Rennen ist nun so eine Idee. Eine solche Idee ist zum Beipiel auch die Eigenschaft "blau". "Blau" als ewiges Objekt betrachtet ist nichts Wirkliches. Wenn wir die Eigenschaft "blau" hier und jetzt an einem Gegenstand bemerken, so ist das ein "Fall von Bläue". Es ist eine "Ingression", ein Eindringen der ewigen Möglichkeit in ein reales Ereignis." Nun kann auch Gottschall das formal genauer eingrenzen, da er von "Eigenschaften" ein genau gekennzeichnetes Verständnis besitzt. Ich fordere ihn hiermit dazu auf, es in seinem Sinne zu erläutern. Andererseits ist die Tatsache, dass etwas eine Eigenschaft besitzt oder nicht besitzt, kennzeichnend für etwas Angewandtes, eine angewandte Logik. Das Rennen ist aber nicht realisierbar, man kann keinen individuellen Achilles und keine individuelle Schildkröte angeben, ja sie sich nicht einmal vorstellen, die die Bedingungen des Rennens erfüllen können. Und falls man sie angibt, sind sie in sich widersprüchliche Begriffe, und erfüllen in einem Sinne der Widerspruchslosigkeit nicht eine allgemeine Bedingung für Individuen. Womit also Individuuen im Allgemeinen nicht gemeint sind; sie sollten nicht selbstwidersprüchlich sein. (Höchstens in einer singulären Logik wäre das sinnoll.) Man sieht auch an dem Ganzen, dass man hier ontologisch, an den Voraussetzungen, arbeiten muss. Bemerkt sei nur: Hätte das Rennen tatsächlich stattgefunden, nach Zenons oder Aristoteles' Aufforderung, so müßten die beiden heute noch rennen. Hat es nicht stattgefunden, so ist es bis heute nicht realisiert.
2. "In der Realisierung wird die Potentialität Wirklichkeit" (Whitehead, Wissenschaft und moderne Welt, Kap. 7 Seite 152, zu Zenons Problematik). Wir wir gesehen haben, sind die Gedanken Zenons eben die eines potentiellen Verlaufs des Rennens, ebenso Aristoteles Begründung. Bei Aristoteles denkt man ja auch gleich an das Akt - Potenz Verhältnis (siehe meine Erläuterungen) . Nun macht uns die Realisierung tatsächlich Schwierigkeiten, wir finden keinen Schiedsrichter, der Regeln hätte wie das Rennen zu entscheiden ist und keine Läufer, die ein Rennen laufen, das ewig währt. Auch Aristoteles setzt keine Ziellinie, was ihm vielleicht leichter gefallen wäre, wenn er den modernen Grenzwertbegriff auch nur hätte kritisieren können. Auch der hier jetzt weggefallene Punkt zwei, setzte ein Ziel voraus, was bei Zenon und Aristoteles nicht erwähnt wird. (Ich hatte das bemerkt, als ich Punkt 2 nach den Erkärungen hier endlich verstanden hatte.) Mangels Realisierung hat das Rennen also nichts Wirkliches an sich. Es widersetzt sich dann auch auf eigenartige Weise einer Interpretation: Wir können die Schidlkröte gewinnen lassen. Z. B. bei einem Grenzwert von hundert Metern (90 m Vorsprung, Geschwindkeitsverhältnis 1/10) beenden wir das Rennen bei 95 Metern. Dann wollen wir es doch genauer wissen und lassen Achilles die Schildkröte erstmal einmal einholen. Deswegen enden wir das Rennen bei 99,5 Metern, die Schildkröte gewinnt noch immer, dann lassen wir Achilles noch einmal aufholen und beenden das Rennen bei 99,95 Metern, die Schildkröte hat immer noch gewonnen. "Die reale Welt ist ist weder total unerkennbar noch in toto erkennbar; sie ist es vielmehr bis zu einer bestimmten Grenze, die es zu bestimmen gilt (vielleicht sogar ins Unerkannte hinauszuschieben gilt) begrifflich erkennbar." Auch wenn wir unsere Erkenntnis weiter hinausschieben und Achilles noch öfters aufholen lassen, wir erreichen "nie" die unerkannten 100 Meter. Wir wissen heute sogar, dass wir sie gar nicht erreichen. Unsere Erkenntnis schiebt also auch nur sozusagen das Rennen vor sich her. Bis wohin erkennen wir nicht, da Zenon das Rennen nicht realisiert, das Rennen ist nicht wirklich. Auch die Begriffe Zenons machen Schwierigkeiten. Wo ist Zenons Ziel, wenn das ein Rennen sein soll?

Zum Abschluß möchte ich noch sagen, dass dieses Paradoxon hier soweit klärbar ist, aber aus Zenons Gesamtargumentation mit den anderen Paradoxa Dichotomie oder der Pfeil, sich die noch interessante Frage stellt, wie Bewegung möglich ist, oder was man unter einem Kontinuum versteht. Unendlich ist und bleibt ein Begriff über den selbst man nichts sagen kann. Man kann etwas über mathematische Begriffe in denen er vorkommt, sagen, aber nicht über ihn selbst. Übertragen wir das auf die Philosphie und dieses Paradoxon hier: Das gilt auch für philosophische Begriffe und auch für Zenons und Aristoteles' Begriffe, die reine Möglichkeit bleiben und nicht realisiert werden und somit im Widerspruch zu wirklichen Rennen, vor allem mit wirklichen Läufern, stehen, ob man sie nun misst oder nicht.

EOD (Ende der Unterhaltung mit Zenon) --Room 608 21:24, 19. Jul. 2007 (CEST)

Zu dem Zeitproblem habe ich etwas auf meiner Diskussionsseite angedeutet, was ich auch ausarbeiten kann. Der Einfachheit halber lasse ich die Zeit hier weg, weil sie es nur komplizierter macht und ich der Meinung bin der Bezug zur Zeit stammt von Aristoteles und Kant, ist hier aber nicht problemgerecht. --Room 608 21:42, 19. Jul. 2007 (CEST)

P.S. Wie teilt man eine Linie, die nur ein Ende hat? --Room 608 21:46, 19. Jul. 2007 (CEST)

P.P.S.: Lewis Carroll hat die beiden beobachtet. --Room 608 21:56, 19. Jul. 2007 (CEST)

Wenn ich nach Dir den Lauf umdrehe, so läuft der Langsamere dem Schnelleren nach. Englisch verstehe ich leider auch nicht.--Michael 09:54, 20. Jul. 2007 (CEST)

Genau, und sie laufen unendlich, wenn die Schildkröte Achilles einholen soll. Dennoch kann auch Achilles das Rennen nicht gewinnen, wenn man keine Ziellinie annimmt.

Den Dialog von Carroll gibt es in Hofstätters Gödel, Escher Bach auf deutsch. Ich such es mal im Internet. --Room 608 19:03, 21. Jul. 2007 (CEST)

@Michael: Mein Standpunkt zu der ganzen Sache ist einer der neuen Metaphysik. Gottschalls ist ein positivistischer. Deiner scheint einer der Existenzialphilopsohie zu sein, mit dem Sein als Gegenstand. Sieh mal bei Jaspers nach, evtl. Heidegger. Auch der Phänomenologe Husserl ist gut. Ich werde mich dazu noch mal genauer äußern, wenn ich die Literatur bei der Hand habe. --Room 608 19:23, 21. Jul. 2007 (CEST)

"Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat" hat einen Anfang und ein Ende, das kann aber nicht auf "die zu durchlaufende Strecke" übertragen werden, weil die eben keine Ende hat, was an sich schon eine widersprüchliche Forderung für die Strecke ist, sie ohne Ende zu durchlaufen oder eine widersprüchliche Eigenschaft ist: "Durchlaufbar" aber ohne Ende. --Room 608 20:24, 27. Jul. 2007 (CEST)

Wo genau der Fehler liegt

@GottschallCh. Zenon setzt in seiner Begründung voraus, dass Achilles bis zur Startlinie der Schildkröte laufen kann. Es gibt nun keinen logischen Zwang, der Achilles verbieten würde, nicht anschließend eine Strecke zu laufen, die so lange ist, wie der Weg-Vorsprung. Das bedeutet: Ich muss nicht so weiter Denken, wie es Zenon tat, er konnte nicht anders. Wenn ich nämlich einen beliebigen Weg-Vorsprung d>0 wähle, voraussetzte, dass Achilles k(>1) Mal schneller liefe als die Schildkröte und wissen möchte, wie oft - n-Mal - Achilles diesen Weg-Vorsprung wiederholen muss, bis er die Schildkröte überholt hat, so muss ich nur beweisen, dass die Ungleichung n*d ≥ d+ n*(d/k) eine Lösung hat, egal wie groß d sei. Nach Umformungen erhält man n ≥ k/(k-1). Für k=2 erhält man n=2: Achilles holt die Schildkröte, dann ein. Für 1<k<2 folgt n>2 und für k>2 hat Achilles die Schildkröte während der ersten Wiederholung des Weg-Vorsprunges eingeholt.--Michael 12:30, 20. Jul. 2007 (CEST)

Die Wikipedia ist eigentlich keine Diskussionsplattform und dient auch nicht zum Veröffentlichen eigener Meinungen. Insofern möchte ich mich wirklich gerne aus der Diskussion heraushalten. Es gibt zum Thema seriöse Fachliteratur, die im Artikel ausreichend verlinkt ist, nicht zuletzt der ausführliche SEP-Artikel.

In der Sache geht das alles jedenfalls ziemlich am Thema vorbei. Bei den gegenständlichen Zenonischen Paradoxien geht es nicht darum, wo der Schnittpunkt in einem Weg-Zeit-Diagramm liegt – das ist banal –, sondern darum, ob ein Weg-Zeit-Diagramm (a) eine wirklich stattfindende Bewegung (wenn Bewegung möglich ist) oder (b) unsere Illusion von Bewegung (wenn Bewegung unmöglich ist) beschreibt. --GottschallCh 21:58, 20. Jul. 2007 (CEST)

@Gottschall: Du bist zum wiederholten mal keiner Diskusion zugängig und vertrittst Deinen "intoleranten" Standpunkt analytischer Philosophie. Punkt zwei setzt ein Ziel voraus, was weder Zenon noch Aristoteles tun. Das Weg Zeitdiagramm ist nicht banal, nicht einmal trivial, da dort mathematische Einheiten angewendet werden (Einheiten werde in moderner Mathematik auch nicht im Infinitesimalen aufgegeben.) Wie ich oben schrieb, gibt es kein Rennen, auch keine Eigenschaft "ein Rennen führen" in Zenons Sinne, das auf irgendeinen Achilles oder eine Schildkröte zuträfe. Der Begriff Rennen von Zenon ist schlicht falsch. Da ich das oben als synthetischen Satz a priori dargestellt habe, kannst Du nun gern den Allgemeinbegriff Rennen fallen lassen, aber wie Du eine Eigenschaft, die es nicht gibt, Individuen beilegen willst, musst Du erklären. Meiner Meinung nach geht es nicht. Und das Einführen der Ziellinie argumtentiert an der auch noch so unsicheren Quelle vollständig vorbei.

Ich kann das Rennen nicht falsifizieren: Es gibt keinen Achilles, der die Schildkröte einholt. Ohne Ziellinie kann man auch mit allen Mitteln keinen Achilles finden, der sie einholt, denn auch zum Beispiel das Weg-Zeitdiagramm hat den Schnittpunkt als Ziel. Laß Dir das mal durch den Kopf gehen. --Room 608 19:19, 21. Jul. 2007 (CEST)

@Michael: Hier kannst Du Dir ein Bild machen, wie in der Wikipedia Absprachen funktionieren. Außerdem finde ich die Lästereien häßlich. Wahrscheinlich läuft das Ganze auf eine Schlichtung mit Schreibschutz hinaus (s. z.B. Reductio ad absurdum.) Hoffentlich nicht auf Gottschalls unverständliche abstrakte Version. --Room 608 22:03, 21. Jul. 2007 (CEST)

Auch wenn schon (fast) alles geschrieben wurde: der Fehler besteht darin, dass durch Zenons Betrachtung eine Einschränkung der Wegstrecke hinzugefügt wird, die vorher nicht bestand. Läuft Achilles mit zehnfacher Schildkrötengeschwindigkeit bei einem Vorsprung von 9m, so beträgt die gesamte Wegstrecke 9m + 0,9 + 0,09 + 0,009 .... In diesem konkreten Beispiel wird also Achilles maximale Laufstrecke auf < 10 m eingeschränkt. Die Schlussfolgerung, dass Achilles die Schildkröte nicht einholen kann, berücksichtigt die zuvor eingefügte Einschränkung nicht. Richtig wäre daher die Schlussfolgerung für das konkrete Beispiel: Achilles kann die Schildkröte nicht vor der 10-Meter-Marke einholen. --Rebiersch 21:18, 28. Jul. 2007 (CEST)

Die Frage ist auch wie Achilles den letzten Schritt macht. Die Mathematik kennt kein Kontinuum. Die Zahlen sind wie ein Stapel Karten aufgebaut, wobei man zwischen die Karten immer weitere einschieben kann,ohne dass der Stapel höher wird, die Karten werden immer dünner, d. i. die Zahl immer "bestimmter". Es bleibt aberirgendwie diskret. --Room 608 22:20, 28. Jul. 2007 (CEST)

Welcher letzte Schritt? --Rebiersch 00:09, 29. Jul. 2007 (CEST)

Es bleibt die Frage wie Annäherung geschieht und wie Bewegung möglich ist. --Room 608 13:40, 29. Jul. 2007 (CEST)

Eine interessante Frage, die ich auch nicht beantworten kann. Die Diskussion über die Natur von Bewegung, Annäherung, Kontinuität oder Diskontinuität und Grenzwertbetrachtungen beleuchtet ohne Zweifel interessante Aspekte. Mein Beitrag bezog sich aber auf die Überschrift "Wo genau der Fehler liegt", also auf die beschriebene Argumentationskette. Durch Zenons Betrachtungsweise wird sowohl die Laufstrecke, als auch Laufdauer begrenzt. Diese Betrachtungsweise ist möglich, aber keinesfalls zwingend (1. Fehler?). Michael hat es ähnlich formuliert. Der Trugschluss besteht darin, dass die zuvor eingefügte und nicht auf den ersten Blick erkennbare zeitliche Einschränkung in der Schlussfolgerung ("niemals einholen") keine Berücksichtigung findet. --Rebiersch 18:12, 29. Jul. 2007 (CEST)

Ich sehe aber nicht, wo Zenons Grenzwertbetrachtung ein Ende nimmt. Er kann auch bei seiner Herangehensweise, oder besser Aristoteles bei seiner Widerlegung, kein Grenzwertkriterium angeben. Und schließlich gibt es ungleichmäßige Konvergenz, wenn es nicht so einfach gelagert ist, wie bei der geometrieschen Reihe. Die ausreichende Begriffsbildung hatte erst Cauchy. Und der blieb in seinen Argumentationen endlich. --Room 608 19:07, 29. Jul. 2007 (CEST)

Die Argumentation von Michael verfolgte ich auch in früheren Versionen dieses Artikels, und sie ist sehr schön. Der englische Artikel stellt das auch gut dar. Ich hatte Michael aber schon mal aufgefordert das Rennen, genauer die Läufer, umzudrehen und sich voneinander entfernen zu lassen: Dabei kann Achilles einen Vorsprung auch niemals verdoppeln (das ist dann eher das Dichotomieparadoxon), weil die Schildkröte ihm stets nachläuft.

Das ganze erinnert mich eher an einen mittleren Auschnitt eines Hürdenlaufs. Ob man eine Hürde überspringt oder umläuft ist egal, man kann sie sogar alle vor sich herschieben. Die Problematik entsteht, wenn man aus der Hürde eine Zielinie machen will, denn von ihr ist es nicht egal, ob sie überwunden wird oder nicht.--Room 608 19:17, 29. Jul. 2007 (CEST)

Zeit und Bewegung

Die letzte metaphysische Weisheit für das analytische Philosophieportal ist: "Es gibt keine Metaphysik." Ich möchte mich deshalb noch ein letztes Mal der Problematik von der anderen kinematischen Seite zuwenden. Ich hatte gesagt, dass sich die Geschwindigkeiten von Achilles Und der Schildkröte herauskürzen, man hat sie eliminiert, und wir hatten die Erkenntnis, dass das Rennen keine Ziellinie hat. Dann können wir also die Geschwindigkeiten, und damit den Bezug zur Zeit wieder einführen und weitere Limitierungen, wie eine Anfangslinie, herausnehmen: Wir setzten eine kinematische Darstellung des Problems voraus, ungefähr so: $v_{A}(t)+s_{0}+q\cdot v_{A}(t)=2L.$

$v_{A}(t)$ ist die Geschwindigkeit von Achilles. $v_{S}(t)=q\cdot v_{A}(t)$ ist die um das Verhältnis q geringere Geschwindikeit der Schildkröte, $s_{0}$ ist der Vorsprung, (Achilles hat keinen deshalb ist seiner 0), L ist die nach der Zeit t gelaufene Gesamtlaufstrecke; die Summe von Achilles Laufstrecke bis zum Überholen, der Laufstrecke der Schildkröte plus ihrem Vorsprung ist gleich zweimal der Gesamtlaufstrecke.

Wir nehmen einen naiven wissenschaftlichen Standpunkt ein, den Whitehead in Wissenschaft und moderner Welt (S. 65) zum Ausgangspunkt eines letztendlich organischen Prinzips macht: "Mit anderen Worten, eine Teilung der Zeit teilt nicht das Material. Dann hinsichtlich des Raumes: Eine Teilung des Rauminhaltes teilt auch das Material. Wenn also das Material über einen Rauminhalt verteilt existiert, dann wird über jede eindeutige Hälfte dieses Rauminhaltes weniger von dem Material verteilt sein. Genau dieser Eigenssschaft verdankt sich unsere Vorstellung der Dichte an einem Punkt des Raumes", "Denn die Teilung der Zeit wirkt sich hinsichtlich des Materials ganz anders aus als die Teilung des Raumes".

Es gibt darin den Unterschied der Teilung des Ortes und der Zeit. Teilen wir den Ort an dem Achilles steht in zwei Hälften, teilen wir auch Achilles in zwei Hälften, wir teilen die Matierie. Nicht so mit der Zeit. Achilles in der Zeit von 10 bis 20 Uhr bleibt auch ganz, wenn wir diese Zeit um 15 Uhr in zwei Hälften teilen.

Wenn wir nun endgültig von Anfang und Ende von Strecken (dem Vorsprung) absehen (und dann mit etwas mehr oder weniger nicht so genau sein müssen) und obige unterbestimmte Gleichung (wegen L) nach der Zeit auflösen, ist kein Grund mehr anzunehmen, warum die Bewegung in irgendeiner materiellen Hinsicht geteilt würde, weder Achilles, die Schildkröte noch die Rennbahn erfährt irgendeine Teilung. Also ganz abgesehen von den Möglichleiten und den Absichten Zenons oder Aristoteles ein präzises endliches (das ist auch Dreh- und Angelpunkt der modernen Raum-Zeitvorstellung) Grenzwertkriterium anzugeben, gibt Zenon uns mit dem Verhältnis der Geschwindigkeiten ein Rätsel auf, ob wir das Rennen nach der Zeit oder dem Weg bestimmen sollen, was für uns heute beides möglich ist. Ebenso wenn Zenon $s_{0}$ und L in ein unbestimmtes unendlichkleines Verhältnis setzt, läßt es sich natürlich nicht auflösen. Aber mit dem Zusatz eines Vorsprungs, einer "geometrischen" Länge, lassen wir uns leicht dazu verleiten, das Rennen örtlich zu betrachten, obwohl in der Zeit die gleiche mathematisch kinematische Abstraktion vorgegeben wird (eine Einheit der Zeit) ohne irgendwelche Teilungsschwierigkeiten. Die Zeit verändert Achilles und seine Bewegung nicht und somit kann er die Schildkröte einholen, wenn wir ihm die Zeit dazu geben. --Room 608 04:30, 31. Jul. 2007 (CEST)

P.S.: Man kann links auch den vorgegebenen Vorsprung mit einer Anfangszeit ausdrücken: $s_{0}=v_{S}(t_{0})$. Und die Unabhängigkeit sich mit diesem Bild verdeutlichen:

Ein Zeit-Wegdiagramm, sie treffen sich nach einer Zeiteinheit

--Room 608 00:39, 1. Aug. 2007 (CEST)

absurde Folgen der mathematischen Grenzwert Lösung

Die Grenzwert-Lösung der Mathematik ist eine rein formale Lösung, da sie nur den Summenwert einer unendlichen Summe ergibt, die Einholzeit bleibt leider unbestimmt, sie bleibt beliebig. Würde sie z. B. (1/3)*10 hoch -6 Sekunden bei einem Grenzwert von 100 m betragen, würde das bedeuten, dass Achilles ohne Probleme mit Lichtgeschwindigkeit laufen könnte! Sie schließt absurde Möglichkeiten nicht aus. Somit löst sie nicht das Paradoxon.--Michael 14:56, 10. Aug. 2007 (CEST)

Zenon mißt, glaube ich, die Zeit mittels der Geschwindigkeit und dort passiert dann die Unbestimmtheit wegen der unbestimmten Wegstrecke. Ansonsten ist für das Zeitproblem hier niemand empfänglich. Geteilte Zeit teilt nicht die Orte, s. o. Die Lösung wäre dann: Selbst wenn sich die Unbestimmtheit in der Zeit ausdrückt kann die Strecke, der Ort, als Ganzes durchlaufen werden. --Room 608 00:08, 11. Aug. 2007 (CEST)

Zenon überlegt mit dem Begriff "schneller", d. h. mit einer relativen Geschwindigkeit - welche zu unendlich vielen Lösungen führt: einem bestimmten Einholweg, aber unendlich viele Einholzeiten -, er überlegt eben nicht mit dem Begriff "schnell"; für uns heute "Geschwindigkeit". Diesen Begriff gab es schlicht und einfach nicht in der Zeit Zenons, oder wenn, dann nur unter einer diffusen Vorstellung, so wie man bei Aristoteles nachlesen kann: „Schnelligkeit besteht dort, wo sich eine große Bewegung in kurzer Zeit abspielt, Langsamkeit, wo eine geringe Bewegung in langer Zeit abläuft.“ Konkret: Würde Achilles 10 Mal schneller laufen und der Weg-Vorsprung 90 m wäre, so würde er die Schildkröte nach 100 m eingeholt haben, unanbhängig davon, wie schnell er selbst gelaufen wäre; unter oder über der Lichtgeschwindigkeit. --Michael 10:53, 11. Aug. 2007 (CEST)

Zur Quelle Jähnich: Ich habe sie jetzt nachgelesen, und obwohl das wirklich ein prima Lexikon ist, ist diese Stelle, hier der Punkt 2, genauso unklar. Die Teilung wird in die Vergangenheit, Beendetes, verlegt und ist somit rückblickend. Aber ich glaube man kann sich nicht an das Ziel, die 100 Meter, stellen und zurückblicken, weil man damit die Lösung schon voraussetzt.

Zu obiger Bemrkung gebe ich Dir recht, aber ich habe eine, eben nach Whitehead, etwas andere Auffassung der Problematik, wie ich schon beschrieben habe.

Gottschall scheint wirklich ein „analytischer“ Philosoph zu sein. Für diese gilt: „Die einzige Metaphysik ist, dass es keine Metaphysik gibt.“ Mit dieser Einstellung ist das Paradoxon natürlich ein sinnloses Scheinproblem.

Zusätzlich wird heutzutage tatsächlich mit unendlichen Zahlen und dem „aktual“ Unendlichen gerechnet, also kann das Problem hier tatsächlich „positivistisch“ behandelt werden. Dass ich das als die „engere“ Auffasung bezeichne, wird als Anlaß gesehen, meine Ausseinandersetzung mit der zugehörigen Metaphysik mir als sinnlos, formal falsch, POV, Theoriefindung und als Scheinproblem vorzuwerfen. --Room 608 20:11, 11. Aug. 2007 (CEST)

Aus zwei mach eins

Die im Artikel genannten zwei Fehler sind in meinen Augen nur verschiedene Sichtweisen auf dieselbe Sache: Eine potentiell unendlich oft teilbare Strecke ist doch gerade das beste Beispiel dafür, "dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann" -- eben weil die Länge der Teilstücke, die ich durch den Teilungsprozess erhalte, gegen null geht.

Deshalb führt das Addieren der so erhaltenen Längen eben nur wieder auf die ursprüngliche (natürlich endliche) Länge. --Jan Schreiber 11:55, 20. Aug. 2007 (CEST)

Der erste Punkt soll aussagen, dass, wenn etwas (aktual) aus unendlich vielen Teilen bestehen sollte, es dennoch eine endliche Länge haben kann. Insofern bezieht sich deine Ergänzung auf diesen Punkt, wenn ich sie richtig verstanden habe.

Der zweite Punkt soll aussagen, dass man als Beobachter beliebig oft hinsehen und festellen kann: Die Schildkröte hat jetzt n Zentimeter Vorsprung, und Achilles muss diesen Vorsprung einholen, während wessen die Schildkröte einen kleineren, neuen Vorsprung gewonnen hat. Aus der Tatsache, dass man das beliebig oft (potenziell unendlich oft) machen kann, folgt aber nicht, dass es irgendetwas gäbe, das Achilles aktual unendlich oft tun muss.

Viele Grüße, --GottschallCh 20:02, 22. Aug. 2007 (CEST)

Sollen wir die Ergänzung dann verschieben? So richtig kapiere ich es aber offen gestanden immer noch nicht. :-( Grüße, Jan Schreiber 12:43, 23. Aug. 2007 (CEST)

Ich habe es einfach mal gemacht. Sieht ganz gut aus. Jan Schreiber 12:49, 23. Aug. 2007 (CEST)

Wie gesagt, Zenons Argument wird in der Regel so gedeutet, dass es auf zwei Prämissen aufbaut:

1. Achilles muss unendlich oft einen (immer kleineren) Vorsprung aufholen. Während der Zeit, die er dafür braucht, hat die Schildkröte einen neuen, kleineren Vorsprung gewonnen − ad infinitum.
2. Unendlich viele − wenn auch immer kleinere − Vorsprünge lassen sich nicht in endlicher Zeit einholen.

Beide Prämissen werden regelmäßig wie im Artikel dargestellt angegriffen:

• Die erste Prämisse wird von Punkt 2 des Artikels angegriffen: Es stimme gar nicht, dass Achilles (aktual) unendlich oft einen Vorsprung der Schildkröte einholen muss. Nur wir als Betrachter können beliebig (potenziell unendlich) oft hinsehen und sagen: Jetzt muss Achilles einen Vorsprung von n cm einholen. In dem, was Achilles tun muss, sei aber nichts tatsächlich Unendliches.
• Die zweite Prämisse wird von Punkt 1 des Artikels angegriffen: Es sei sehr wohl möglich, unendlich viele (immer kleiner werdende) Vorsprünge in endlicher Zeit einzuholen.

Für jede/n tiefer Interessierte/n enthält der Artikel ohnedies eine (fast schon zu lange) Literaturliste; insbesondere das Reclam-Buch (der einzige deutschsprachige Titel) ist ein durchaus brauchbarer Ansatzpunkt zum Weiterlesen, weil er zahlreiche Literaturhinweise gibt (momentan geht es fast ein bisschen unter, vielleicht sollten wir eine zusätzliche Unterteilung "deutschsprachige"/"englische Literatur" vorsehen).

Viele Grüße, --GottschallCh 19:02, 23. Aug. 2007 (CEST)

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@Gottschall: Danke für die aufklärenden Worte. Nur leider fehlt der Hinweis, dass nicht alle Mathematiker, nicht alle Physiker und schon gar nicht alle Philosophen diese Meinungen als überzeugend betrachten. Wenn dieser Hinweis im Artikel fehlt, dann unterschlägst du eine existierende Tatsache und das kann nicht hingenommen werden. Eine Enzyklopedie soll das vorhandene Wissen wiedergeben und zwar in seiner ganzen Vielfalt, sie darf nicht einseitig sein!

Du kennst wohl nicht die "Rache des Achilles": Als Achilles an die Startlinie der Schildkröte kam, stoppte er den Lauf und rief Zenon zu sich. Es entwickelte sich folgender Dialog: Achilles: Was siehst du, Zenon? Zenon: Ich sehe, dass die Schildkröte vor dir ist. Achilles: Stimmt. Und was siehst du jetzt hinter mir? Zenon: Oh, da ist ja noch eine Schildkröte. Wie kommt die da her? Achilles: Das ist meine Haus-Schildkröte, die ich ohne dein Wissen mitbrachte und sie in die Mitte zwischen mir und deiner Schildkröte positionierte und die lief mit uns um die Wette. Sie befand sich beim Start vor mir und jetzt siehst du sie hinter mir. Kannst du mir nun erklären, wieso ich die eine überholen konnte und die andere nicht, obzwar beide gleichschnell gelaufen sind? Zenon überlegt heute noch, wie so etwas möglich ist. Gruß,--Michael 14:18, 24. Aug. 2007 (CEST)

Hallo Christian! Was hat Zenon eigentlich gesagt bzw. behauptet? Nach Aristoteles soll er nicht mehr und nicht weniger gesagt haben, als: "In einem Rennen kann der schnellste Läufer nie den Langsamsten einholen, da der Verfolger zuerst den Punkt erreichen muss von dem der Langsamste gestartet ist, so dass der Langsamste immer in Führung bleibt."

Die Tatsache, dass Achilles zuerst an den Startort kommen muss, erzwingt nicht die Unmöglichkeit der Überholung. Ob Achilles die Schildkröte überholt, hängt von der Dauer seiner Laufzeit ab und hat mit dem Startpunkt nur insofern etwas zu tun, dass wenn dieser näher zur Startlinie des Achilles ist, die Laufzeit für eine Überholung kürzer ist, als im Falle eines größeren Abstandes zwischen den Startlinien. Aus diesem Grund, kann Achilles seine Schildkröte in der "Rache des Achilles" überholen. Gruß--Michael 11:38, 25. Aug. 2007 (CEST)

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Ich hoffe, es ist dir recht, dass ich deinen Absatz jetzt unter die zwei Punkte verschoben habe. Mir ist im Zuge von Istvancseks neuerlicher Bearbeitung aufgegangen, dass man sonst glauben könnte, dass er noch zum Skopus der Quellenangabe gehört. Wenn der Kommentar hingegen nach den beiden Punkten steht, dann kann man ihn als Wikipedia-Autor-Kommentar erkennen. Viele Grüße, --GottschallCh 13:24, 24. Aug. 2007 (CEST)

Deine Quelle selbst ist gar nicht integer. Der Punkt von Janich ist dort so unverständlich, wie hier, meinetwegen wegen verschwiegener "analytischer" (positivistischer) Voraussetzungen, die Du bitte benennen könntest. ("Für alle, die aktual Unendlich nicht kennen, ist das Rennen grüner Käse.") Unter Zenonische Paradoxien wird das Rennen anders, eher klassisch, und nicht so eng gesehen. Die Lösung ist auch nicht so sonnenklar wie hier Punkt zwei. Muß das Licht der Aufklärung sein.
Die gründlichste Untersuchung stammt von A. Grünbaum.--Room 608 15:21, 24. Aug. 2007 (CEST)

@GottschallCh: Jetzt steht er aber nach dem Passus, der besagt, dass unklar ist, was Zenon eigentlich wollte. Mir scheint das so keinen Sinn zu ergeben. Direkt nach dem Zitat wäre mir die Ergänzung lieber. Ich lasse aber lieber erstmal die Finger von dem Text, sonst bricht hier das totale Chaos aus. Meinetwegen können wir's auch löschen. Ich dachte nur, es könnte helfen. Uff, allmählich fange ich an zu verstehen, was wikistress ist. ;-)

OffTopic: Begriffsschrift sieht jetzt richtig würdig aus, finde ich! Ich plane eine Kandidatur bei Lesenswert oder sogar Exzellent; das verschafft Frege vielleicht einmal die ihm gebührende Aufmerksamkeit. Grüße, Jan Schreiber 18:14, 24. Aug. 2007 (CEST)

Stimmt, beim Verschieben habe ich nicht aufgepasst − ich habe schon eine gewisse innere Abneigung gegen diesen Artikel angesichts der vielen Trollbeiträge. Jetzt steht der Absatz an der richtigen Stelle – glaube ich. ;-)

Begriffsschrift gefällt mir – wie gesagt – sehr gut und ist aus meiner Sicht absolut lesenswert. Ich würde noch ein paar Tage Review abwarten, vielleicht kommen noch Ideen oder Anregungen.

Viele Grüße, --GottschallCh 18:52, 24. Aug. 2007 (CEST)

In der nicht aktualen Mathematik heißt gerade "gegen null geht", dass es nicht Null ist. Nun gibt es in der Mathematik Ausdrücke in denen Unendlich vorkommt, es wird aber nichts über Unendlich ausgesagt, und deshalb heißt unendlich klein $\left({\frac {1}{\infty }}\right)$ nicht Null, und so wird der in der Mathematik schon gleich gar nicht hingeschrieben sondern immer 1/n, mit n gegen unendlich. Das Paradoxon ist somit an dieser Stelle ein zweites Mal formuliert. --Room 608 22:22, 24. Aug. 2007 (CEST)

Ach ja, hier ist auch speziell die geometrische Reihe gemeint, die arithmetische konvergiert sowieso nicht. --Room 608 22:36, 24. Aug. 2007 (CEST)

Rein anschaulich ist folgendes klar:

• 2 = 1 + 1
• 2 = 1 + 1/2 + 1/2
• 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4
• 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8
• 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/16
• Gerade wenn es unendlich wird, wird es unanschaulich.--Room 608 22:48, 24. Aug. 2007 (CEST)

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Seltsame Auffassung. Eng. Wieso wirfst Du potenziell und aktual zusammen? Wenn Du wirklich Zenon eine aktuale Auffassung unterstellst, kannst Du nicht gleichzeitig Dich auf Aristoteles´ Akt - Potenz Erklärung berufen. Aktual ist verwirklicht. --Room 608 21:33, 22. Aug. 2007 (CEST)

Ich soll also aktual unendlich oft hinsehen. Das mach mal selber. --Room 608 22:51, 22. Aug. 2007 (CEST)

Gottschall wird immer verwirrter .--Michael 11:51, 23. Aug. 2007 (CEST)

Das ist exakt das Argument Aritoteles zu der Summe von 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …. mit Grenzwert zwei. Klarer wird es, wenn man 2 fortgesetzt halbiert und wieder zusammenfügt. Nur was nach n Halbierungen zu 2 noch fehlt unterschlägt Zenon einfach. Es ist zwar ganz einfach, oben fehlt das letzte Gleid, also 1/8. Das könnte man als Orientierung für die Wahl der Größe $\epsilon$ für eine Grenzwertbetrachtung wählen, wenn es nicht fehlen würde.

• Das aktual Unendliche der Menge z. B. der natürlichen Zahlen, scheint heute eine Selbstverständlichkeit zu sein.
  Meines Erachtens gehen die Mißverständnisse auf die Interpretation der „Mannigfaltigkeit“ bei Kant durch Cantor und Frege, der sich an Kants Terminologie hielt, zurück. --Room 608 14:13, 23. Aug. 2007 (CEST)

Das ist das Argument Aristoteles´. Ich sehe darin nur das Problem, dass Zenon von keiner endlichen Strecke spricht und das mit Absicht, siehe zenonische Paradoxien. Die zwei Punkte sind aus dem unten genannten Lexikon abgeschrieben und dort nicht klarer. Für Veränderungen mußt Du Dich jetzt mit Benutzer:GottschallCh auseinandersetzten, der sich hier als Autorität sieht. --Room 608 12:31, 20. Aug. 2007 (CEST)

Mal sehen, was Christian dazu meint. Bin nicht gerade ein Experte in antiken Paradoxien. ;-) --Jan Schreiber 12:56, 20. Aug. 2007 (CEST)

Christian soll uns klar sagen, was er unter: "Der Weg, den Achilles zurückgelegt hat" meint. Von der Satrlinie des Achilles, bis wohin!? Bitte, lieber Christian. Und, an welcher Stelle des Wortlautes des Paradoxon "un-endlich lange Zeit" bzw. "un-endlich langer Weg" steht. Ich finde sie leider nicht im Paradoxontext. --Michael 18:01, 22. Aug. 2007 (CEST) P.S. Ich sehe es genau so wie Room 608.--Michael 18:37, 22. Aug. 2007 (CEST)

Revert am 24.08.07

Hallo Istvancsek, meines Wissens ist eine generelle Formatierungsregel in der Wikipedia, dass außer dem Lemma keine fetten Auszeichnungen vorkommen sollen. Mir war auch nicht klar, was die Hervorhebung sollte. Daher mein Revert. Bitte nicht persönlich nehmen. Grüße, Jan Schreiber 12:50, 24. Aug. 2007 (CEST)

'Tag, Jan! Ich kenne leider nicht die Regeln in der Wikipedia. Das kann andere nerven. Sorry! Ich danke dir , dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast. Gruß,--Michael 13:52, 24. Aug. 2007 (CEST)

Solange unklar ist, wer hier was voraussetzt, wird das Vandalieren gerechtfertigt sein. Z. B. aktuale Unendlichkeit. Was setzt vermutlich Zenon voraus, was können wir von Aristoteles wissen (Aristoteles vermittelt kein genaues Bild seiner Quelle, mathematisch konnte er das Problem mit sienen Begriffen nicht lösen), was sagt Simplikios darüber hinaus, wie gehen wir damit vor Cantor und nach Cantor um? Das ist alles nicht dargestellt.--Room 608 12:57, 24. Aug. 2007 (CEST)

@Room. Gotschall schreibt: "Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er sie zuerst einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Weg-Vorsprung gewonnen,..". In der Zeit in der Achilles die Schildkröte einholt, hat sie sich schon fortbewegt, sie hat aber dann keinen Vorsprung mehr. Mache ich da einen Denkfehler? Gruß,--Michael 14:05, 24. Aug. 2007 (CEST)

Scheint das Zeitproblem zu sein: Achilles muß bis zu dem Punkt laufen, vom dem aus die Schildkröte losgelaufen ist, also einen Punkt an dem sich die Schildkröte in der Vergangenheit befand, also den Ort der Schildkröte in der Vergangenheit einholen. Aber wenn hier ständig eine endliche Gesamtstrecke unterstellt wird, die ich nicht sehe, ist die Auseinandersetzung mit Teilung endlicher in der Vegrangenheit gelaufener Strecken sinnlos, das Ziel wird dennoch vor dem Rennen hergeschoben, Zenon hat das Ziel aus dem Rennen hinauskomplimentiert, und dann setzt die "aktual unendlich" Diskussion ein. Aber das ist die reinste Metadiskussion, was Zenon mit Cantor besprochen hat. Und man kriegt so wenig wie im antiken Griechenland ein Bein auf den Boden. Ich beruhige mich, aber Gottschall weiß es, wir sind nur zu dumm dafür.
Ich lese weiter Ontologie, bei Hartmann.--Room 608 14:58, 24. Aug. 2007 (CEST)

Gottschall sollte mal mehr aus dem Paradoxien Reclam Büchlein zitieren, dort wird zu dem Komplex mehr auf das Stadion Paradoxon eingegangen, mit dem auch die beiden hier erledigt werden. Wichtig wäre vielleicht zu erwähnen, daß Zenon Relativität diskutiert, ohne eine Kinematik zur Verfügung zu haben. Und Aristoteles diskutiert Reihen ohne den Verhältnissbegriff auf Zahlgrößen und Längen gleichzeitig beziehen zu können. --Room 608 15:06, 24. Aug. 2007 (CEST)

Die Paradoxien scheinen sich auch bei Sainsbury zu vermehren, da er seine 1993er Auflage 2001 erweitert. Entweder ist das ein Verkaufstrick oder es gibt gar keine Paradoxien. Gottschall sollte mal andeuten, welche Auflage er zur Hand hat. --Room 608 15:56, 24. Aug. 2007 (CEST)

Nonsensbeitrag ("empirische Falsifizierung")

@Gottschall. Unter "empirische Falsifizierung", wird Room wohl verstehen, dass eine phsysikalische Formel, die ein Denkergebnis ist, die eine Behauptung darstellt, so lange akzeptiert wird, bis sie durch einen einzigen Versuch falsifiziert werden kann. Danach verschwindet sie aus der Physik. Zenon stellt auch bloß eine Behauptung auf, und warum soll man diese nicht durch einen Versuch, durch ein Rennen auf die Probe stellen können?! Hier kann von einem Nonsensbeitrag überhaupt keine Rede sein. Es geht hier doch um ein physikalisches Problem und kein mathematisches, genau das hast "du selber" gesagt!!!Michael 07:42, 26. Aug. 2007 (CEST)

Ein jeder lebende Mensch, hat das schließlich mindestens 1 Mal nachgeprüft. Darum kümmert sich ein nicht mathematisch oder philosophisch belasteter Mensch nicht um diese Paradoxa. Nur derjenige, der hinreichend freie Zeit und Spaß am Grübeln hat, wird sich nach dem "warum" interessieren. Weil das eigentlich ein einfaches, um nicht zu sagen banales Problem ist, gibt es auch für die nicht mathematisch-philosophisch belasteten Menschen, wenn sie denn darüber nachdenken, ein zu mindest für sie überzeugende, einfache Lösung. Warum die "anderen" sich wehren, diese einfache Lösung zu akzeptieren, das kann ich nicht verstehen.

Das Problem bei den "anderen" ist, dass es, zusammenfassend betrachtet, zwei Gruppen gibt: Eine (oder auch mehrere) Lösung auf Grund des Grenzwertbegriffes und ohne diesen, wobei es unter diesen - ausgenommen, die algebraische (oder wie Christian zu sagen pflegt die "aktual unendliche") Lösung - Lösungen gibt, die im Widerspruch zur Grenzwertlösung stehen. Natürlich können nicht beide akzeptiert werden. Warum zum Teufel verweigert man dem Benützer der Wikipedia die Möglichkeit, selbst zu entscheiden, welche für ihn die überzeugendere ist!!! Für mich ist das eine Bevormundung des mündigen Bürgers, der deutsch spricht.--Michael 09:22, 26. Aug. 2007 (CEST)

Du willst nicht einsehen, dass Wikipedia ein Lexikon ist und kein Diskussionsforum, in dem "nicht mathematisch-philosophisch belastet[e] Menschen, wenn sie [...] nachdenken, ein zu mindest [sic!] für sie überzeugende, einfache Lösung" vorstellen dürfen (Hervorhebung von mir). Weitere Diskussionen erübrigen sich daher endgültig. --GottschallCh 12:00, 26. Aug. 2007 (CEST)

Wikipedia ist kein philosophisches Lexikon. Das Paradox wird heutzutage im Mathematikunterrricht als Aufgabe gestellt. Deshalb ist ein genauer Hinweis auf die geometrische Reihe angebracht (unendlich kann man sich dann auch sparen), der fehlt hier. Weiter wird es als Aufgabe im Physikunterricht als kinematisches Problem gestellt, es hatten Benutzer es auch schon mal durchgerechnet. Das ist dann auch geometrisch anschaulich.

• Nun zum Problem: Aristoteles überliefert ein Problem, dass er nicht lösen konnte, er übersah das Problem des Verhältnisses begrifflich zu fassen. Siehe Benutzer:Roomsixhu/Kontinuum. Zenon hatte keine Kinematik.
• Descartes lieferte erst 1637 dafür die Lösung, für das geometrisch kinematische Problem.
• In der Folge bestätigte Cauchy Zenon: Der Grenzwert wird wirklich nicht erreicht. Warum? Weil das Rennen dort überhaupt nicht besteht, am Ziel hat die Schildkröte im Gegensatz zu vorher keinen Vorsprung.
• Im 19 Jahrhundert wird das Problem mit der Grundlagenkrise der Mathematik als solches erkannt. Warum? Der Begriff aktual unendlich wird gesetzt, der Begriff potentiell unendlich wird als unbrauchbar verworfen. Weierstraß hatte ein Problem mit der merkwürdigen Reihe zu ln 2, in der es auf die Anordnung der Reihenglieder ankommt, damit sie konvergiert.
• Die Menge der natürlichen Zahlen, die man für eine fortgesetzte (Zwei)teilung braucht, ist nach Cantor aktual unendlich: {1,2,3,4,5 … $\infty$}.
• Descartes sagt aber, der Bezug zur Einheit sei einzig nötig. {1}. Mit der Menge eins kann ich die natürlichen Zahlen induktiv aufbauen, sagt schon Lorenzen, 1 ist der Induktionsanfang, n = 1 eine beliebige Stelle und n + 1, oder Lorenzens zwei Striche, die natürliche Zahl zwei. Beweis ist hier beendet und das ganze potentiell unendlich, Nachbemerkung: Wenn ich mit n = 8 anfange, muß ich mich endlich bis eins (zur Einheit) zurückhangeln. Wenn ich mit $\infty$ anfange gehts nicht, denn $\infty +1$ = $\infty +2$ ist jedenfalls unbestimmt.
• Das philosophische Monopol besteht auf das Paradoxon nicht. Auch das logische nicht. Logik ist Kombinatorik der Wahrheitswerte mit Bedeutung. Mathematisch wird Kombinatiorik zu Statistik ausgebaut, die, oh Wunder, den Gesetzen einer booleschen Algebra genügt, genau wie die Logik. Wir drehen uns hier nur im Kreis.
• Wichtig ist allein die begriffliche Diskussion im 19. Jahrhundert, über die unsere Quellen etwas aussagen.
• Einmal vorrechnen wäre auch eindeutig. Dann kann sich jeder selbst ein Bild machen, was er davon hält.
• Der Satz "Rennen gewinnt man oder verliert man" ist sogar mit den beiden in zwei Versuchen zu bestätigen. Erst setzt man die Schildkröte vorne hin, dann Achilles. Man sollte es wirklich mal selbst ausprobieren.
• Schließlich kann man noch darauf hinweisen, das wir Zenons Wortlaut für das Paradox gar nicht brauchen. Jeder, der es einmal hört fällt eben von selbst darauf herein. Das sollte heute aber nicht aktual davon abhalten die geometrische Reihe einmal durchzurechnen, auch wenn man dort Unendlich nur der Potenz nach antrifft, also nicht im modernen Sinne. --Room 608 18:35, 26. Aug. 2007 (CEST)

• Das ist ein philosophisches Problem/Lemma, dass man teilweise auch mit mathematischen Mittel beschreiben kann.
• Du musst dir erstmal klar werden wo in deiner Argumentation die "Unendlichkeit" implizit auftaucht. Steiche diese Stellen und du hast wieder das reine Paradoxon vor dir.
• Sobald ich mit Empirie und Beweisen anfange habe ich hier das Lemma verfehlt.

Also, lass den Artikel so unbeschwert wie er ist und alle sind froh. --91.35.131.33 00:41, 27. Aug. 2007 (CEST)

Nein, man kann es mit mathematischen "Mitteln" beschreiben oder nicht. Ausrechnen kann man es mit der geometrischen Reihe.

Es taucht Unendlich überhaupt nicht auf. Falls es einmal implizit auftaucht, wird alles unbestimmt. Die Menge bringt Unendlich ins Spiel: Alle natürlichen Zahlen in einer Menge. Im Gegensatz dazu nach Cauchy: Größen treten stets im Zusammenhang (oder Verbund) auf, niemals aber als isolierte einzelne. S.37. und: Wir sehen also, die Grenze ist jener Wert, welchen die Veränderliche gerade nicht mehr annimmt, den sie eben nicht mehr erreicht. Wir halten dies fest in der Folgerung 2.1 (Ausschlußprinzip): Die Grenze einer Veränderlichen ist nicht Wert dieser Veränderlichen selbst. S. 49 Wenn Du die Cauchyrezeption kennen würdest, wüßtest Du, dass das bis heute nicht mehr so klar ausgedrückt und bewiesen wurde. Also für Laien kurz ausgedrückt: Wenn ich mit der geometrischen Reihe, den Grenzwert z. B. 100 Meter, ausrechne, so erreicht die Veränderliche meines "vermittelnden" mathematischen Ansatzes diesen Punkt nicht. Gerade die Konvergenz, wie in Punkt 1 angedeutet, bestätigt Zenon. Da eine Grenze einer dauerhaften Annäherung bedarf, widersprechen sich das Erreichen der Grenze und das "dauerhaften Annähern."

Renne!

--Zimmer 77.26.363.99 03:30, 27. Aug. 2007 (CEST)

Weil Michael das jetzt auf seiner Benutzerseite hat, ein kleiner Nachtrag. Cauchys Ansatz ist ein von aller moderner Mathematik verschiedener und eigenständiger, aber das ist heute in Vergessenheit geraten. Was die einzelenen Ansätze ihrer Zeit geleistet haben, leisten und noch leisten werden bedarf einer kritischen rationalen Untersuchung, nicht Unterdrückung. Das wollte ich so ungefähr ausdrücken. --Room 608 15:00, 30. Aug. 2007 (CEST)

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Woher weiß die Nr. 91.35.131.33, dass "alle" froh wären?!! Worin besteht eigentlich das Paradoxe? Es ist der Widerspruch zwischen Zenons logischer Schlussfolgerung und der Lebenserfahrung des Menschen. Ohne diese Erfahrung gibt es keinen Widerspruch und somit auch kein Paradoxon!!!!!!--Michael 09:34, 27. Aug. 2007 (CEST)

Was folgt daraus? Für unser - menschliches - Denken gibt es nur ein "entweder, oder". Man muss entscheiden: Welches ist das Glaubhaftere, das Wahrscheinlichere, das Vernünftigere! Das hängt allerdings von dem Zeitintervall unserer Menschheitsgeschichte ab, das man konkret angeben muss - was in Rooms vorhergehenden Beitrag zu erkennen ist. Man muss einen Unterschied zwischen der "Zeit Zenons", "unserer Zeit" un der "Zeit dazwischen" machen. Für die "Zeit Zenons", in der die "Geister" de facto eine Realität waren, entschied man sich für diese, denn sie waren die "Götter" jener Zeit, also, dass Zenon Recht hat, und die Lebenserfahrung nur eine sinnliche Täuschung, eine Illusion wäre. Das ist so betrachtet verständlich. Die Zeiten ändern sich, und so kann sich auch die Priorität ändern. Was ist das Entscheidende, wer besitzt die Priorität: Der Geist - das Gehirn - oder die Materie - die Sinnesorgane? Weder noch. Man kann die beiden nicht von einander trennen, genauso, wie man den Lauf-Weg von die Lauf-Zeit nicht trennen kann, das müsste - spätestens seit A. Einstein - jedem wohl klar sein. Wenn ich von einem Weg spreche, so ist implizit, immer auch die Zeit dabei und umgekehrt. Zenon betrachtete - wie es Rooms 'mal bemerkte - die Begriffe Zeit, Weg und Bewegung als von einander unabhängig. Wir können - auch heute - nicht ein Verhälnis zwischen Zeit und Weg bilden - man schreibt sie als Bruch -, erst wenn man das eine als Veränderung und das andere als Un-Veränderung betrachtet, dann hat es einen Sinn von einem Verhältnis zwischen Raum und Zeit zu sprechen.--Michael 13:01, 27. Aug. 2007 (CEST)

Revert am 26.08.07

Hallo Istvancsek,
bist du sicher, dass du *alles* rückgängig machen wolltest? Versionsvergleich hier: [4]
Zumindest der Verweis auf verwandte Paradoxien am Ende erscheint mir erhaltenswert. Ich halte mich aus diesem Grabenkampf lieber 'raus, ich kenne mich in der Materie einfach nicht gut genug aus. --Jan Schreiber 21:40, 26. Aug. 2007 (CEST)

Hallo Schreiber, es gibt schon im ersten Satz des Artikels einen Hinweis auf andere Paradoxa und auch wo man diese findet. Dort wird die Verwandschaft angeführt. Ich dachte einmal genügt.

Was die "einleuchtende Anschaulichkeit" anbelangt, weiß ich sehr wohl, dass die meinige keinen Bezug zu den angegebenen Fehlern hat. Sie hat aber sehr wohl einen konkreten Bezug zum Paradoxontext, wie ihn uns Aristoteles überlieferte - denn dort ist die Rede von Punkten - und nicht auf den Artikeltext. Ich finde es eigentlich komisch, dass man Paradoxa kommentiert, ohne dass man die von Aristoteles überlieferten Texte - die quasi die Originale für uns sind - angibt. Diese sind zu erläutern und sonst gar keine. Ich bedaure auch, dass die Diskussionen so verlaufen, wie sie verlaufen. Auf jeden Fall, wenn einer hier kompetent ist, dann ist es Room.--Michael 22:26, 26. Aug. 2007 (CEST)

Umformulierung von Punkt 2

Ich sehe Janichs Argument so: Er sagt die Handlung des Teilens des Vorsprungs (z. B. 90 m) verlängert oder verkürzt diesen nicht. Es war mir etwas schwierig hinter das Modell zu kommen, das Janich verwendet. Er sagt einfach, Achilles hat den endlichen Vorsprung zu überwinden, mehr nicht. Dafür wäre es angebracht, solche Stellen nicht nur eng sondern wörtlich zu zitieren. Wenn man sich das hübsche Applet mal ansieht, stellt man aber fest, dass Achilles und die Schildkröte stehenbleiben, was möglich ist, denn ihrer Geschwindigkeiten können schön im ursprünglichen Verhältnis gegen Null gehen. Janich legt zwischen Achilles und die Schildkröte eine starre Stange "Vorsprung", die seinen Bezug abgibt, dafür müßte er sich mit einem der beiden mitbewegen und zusehen, wie sich Achilles bis zur Schildkröte vorhangelt und -arbeitet. Damit hat er aber ein Bezugssystem, in dem einer der Läufer ruht. Woher weiß er, dass er sich im Rennen befindet? Er hat somit eine Voraussetzung Zenons verletzt oder zumindest ist nicht klar, wie ich mich von der Bewegung des einen, an dem ich Beobachterposition beziehe, überzeuge. --Room 608 13:31, 27. Aug. 2007 (CEST)

Literaturliste

Wie lang soll die denn noch werden? --Room 608 20:37, 30. Aug. 2007 (CEST)

Wo liegt das Problem (abgesehen davon, dass die Liste schlecht formatiert ist)? Eine Literaturliste kann sehr wohl umfangreich sein. ––Bender235 20:57, 6. Sep. 2007 (CEST)

Carroll Paradox

Na ja, die sitzen da und diskutieren und wir sitzen da und beobachten. Gell, alter Platoniker? --Room 608 23:56, 30. Aug. 2007 (CEST)

Sainsbury zur Diskussion

Will nicht jemand den Sainsbury einbauen, der ist schön klar, nur etwas lang. --Room 608 02:31, 18. Sep. 2007 (CEST)

Nein? --Room 608 12:26, 25. Sep. 2007 (CEST)

R.M. Sainsbury betrachtet das Paradox etwas anders nach zwei Gesichtspunkten:

1. Dem Aufbau durch eine Reihe
2. Der Teilung einer Linie

Geht das Rennen von einem Anfangspunkt Z zu einem Endpunkt Z* einer Linie mit Anfang und Ende, und wird vom Punkt Z aus eine Reihe (zum Beispiel Halbierung oder Teilung 9:1 der Linie Z Z*) Z, Z₁, Z₂, Z₃ … gebildet, so werden trivialerweise von Z bis Z* alle Glieder dieser Reihe durchlaufen. Allerdings erzeugt das Verfahren, das die Reihe Z, Z₁, Z₂, Z₃ … durch Teilung der Strecke zwischen dem jeweils letzten Z_n und Z* bildet nicht den Punkt Z* selbst. Da jedoch das Durchlaufen der gesamten Reihe dennoch nirgendwo endet, gehört Z* obwohl es nicht zur Reihe gehört, zum Bereich des Raumes, welcher der Z-Reihe entspricht. Hier liegt also keine Paradoxie vor, sondern entweder eine Trivialität oder die Selbstverständlichkeit, dass Z* wegen der Konstruktionsvorschrift nicht die Eigenschaft der konstruierten Z_n teilt.

Andererseits teilt man eine Linie in einen linken Abschnitt x und einen rechten y in einem Punkt B, so gehört dieser Punkt B weder zu x noch zu y. Zu beiden gehört er nicht, sonst würden sich beide Abschnitte überlappen oder nicht geteilt sein. Zu einem gehört er nicht, z .B. zu x, denn dann hätte y an der Seite der Teilung sicher kein Ende, man könnte vom Abschnitt y aus x nicht erreichen da y keinen letzten Punkt hat (B liegt ja auf x). Deswegen reicht auch eine einfache Festlegung nicht. Es gibt in diesem Beispiel rechts von B keinen letzten Punkt des Abschnittes y. Die Schwierigkeit kommt von der Voraussetzung, Punkt B müsse eine Linie, zu der er gehört, teilweise mitbilden. Für eine physikalisches Strecke ist jetzt der neue Begriff der Grenze nötig. Diese Grenze nimmt selbst aber keinen Raum ein. Das Ziel des Rennens ist dann so eine Grenze. Nach Sainsbury müssen wir unsere räumlichen Begriffe detailliert ausarbeiten und rechtfertigen. Jede Generation von Philosophen muss sich mit Raum und Zeit beschäftigen.

Grafik des Wetllaufes

Ich bekam folgenden Beitrag am 19.11.07 auf meine Disk.Seite geschrieben

„Hallo Repat, schön dass Du dich beim Artikel "Achilles und die Schildkröte" beteiligst. Doch dazu einige Bemerkungen: 1. Deine hinzugefügte Grafik ist nur gültig, wenn die sich bewegenden Körper absolut starre Körper sind. Sie beschreibt nicht die Bewegung von lebenden Wesen, weil diese sich erst dadurch fortbewegen, indem sie sich deformieren. Achilles gleitet nicht starr auf Eis, er führt keine Translation - Parallelverschiebung seiner selbst - aus! Wie sich Achilles bewegt, hängt nämlich davon ab, wie groß seine Schrittlänge ist und wie schnell er seine Beine bewegt! 2. In der Grafik ist die Zeitachse in gleichgroße Abschnitte geteilt: erst dadurch erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden. Anders gesagt: Du löst das Paradoxon nicht durch einen mathematischen Grenzwert - da werden die Zeitabschnitte immer kleiner - wie es im Text des Artikels heißt. 3. Grafische Darstellungen dieser Art waren schon in den vorhergehenden Versionen angegeben, sie sind aber entfernt worden. Vielleicht überlegst es Dir noch mal und entfernst selber die Grafik, bevor dies ein anderer tut. Nichts für ungut.“

– (nicht signierter Beitrag von --84.161.69.39 15:31, 19. Nov. 2007 (CET) (Diskussion | Beiträge) )

Meine Antwort:

„1. Das hat meiner Meinung nach nichts damit zu tun, ob sie starre oder bewegte Körper sind, diesen Zusammenhang müsstest du nochmal erläutern! 2. Ich habe das Bild ja auch nicht selbst erstellt, sondern bloß übersetzt, wie du der Bildbeschreibung entnehmen kannst. Ich finde, die Grafik wird zumindest im Zusammenhang mit dem engl. Text zieml klar. Du kannst doch nich einfach die Zeitachse verkürzen?! Oder hab ich dich da falsch verstanden? Die Zeitabschnitte werden doch, ebenso wie die Wegabschnitte immer kleiner(v ist konstant)! Was hat das nun mit der Zeitachse zu tun? 3.Die, die ich gefunden hab, sahen aber nicht so aus. Statt einer Graden waren da Parabeln. Ich werd diese Disk. mal auf die Disk. Seite stellen und die Grafik vorerst drin lassen, damit der Aufwand darüber zu diskutieren nicht so groß ist.“

– r^epat 15:51, 19. Nov. 2007 (CET)

Meinungen?!--r^epat 16:00, 19. Nov. 2007 (CET)

Der Kommentar stammt von Michael Istvancsek, der mit der jetzigen Version des Artikels wie ich nicht einverstanden ist, da sie ausschließlich von Christian Gottschall stammt. Im alten Streit revertierte Gottschall immer wieder auf die jetzige Version, ohne auf Argumente, wie der einseitige Artikel zu verbessern sei, einzugehen. Ich finde die Grafik für eine Art des Ansatzes ganz ok. Es ist aber ein neuzeitlicher Ansatz. Siehe auch die ganz anders gelagerten alten Versionen. --Room 608 17:48, 19. Nov. 2007 (CET)

Meine Antwort

Findest du, falls es dich noch interessieren sollte, im Kommentar vom 5. Februar (Anonymus Michael) zum Artikel Das Paradoxon von Zenon auf der homepage von Matroids-Matheplanet (hier herrscht kein schallender Gott, hier ist man tolerant und findet so manches, was einem vorher unbekannt war). Es ist nicht schlecht, wenn man über den Tellerrand von Wikipedia mal hinausschaut. Gruß,--Michael 09:49, 6. Feb. 2008 (CET)

Kleine Bemerkung zum Bild

Wir projizieren allzu oft etwas in ein Bild, was eigentlich nicht vorhanden ist. Nur jemand, der einen Zweibeiner im Laufen (in Bewegung) und Stehen (in Ruhe) gesehen hat, wird in das dargestellte Bild eine Bewegung projizieren. Das Bild selbst sagt überhaupt nichts über Bewegung oder Ruhe aus!!!

Wir kennen doch das Daumenkino: Erst das Abrollen der Seiten mit den einzelnen Bildern lässt uns eine Bewegung wahrnehmen. Würden im Plakat die Umrisse der Beine unscharf sein, dann könnte man sagen, dass Achilles seine Beine bewegt, so aber kann ich das Plakat willkürlich deuten.

Könnte mein Hund Cicero meine Sprache sprechen, würde er behaupten: „Ich habe das Plakat beschnuppert und dabei zwei Farbkleckse wahrgenommen. Ich erkenne weder ein Geschöpf Achilles noch eine Schildkröte, geschweige denn eine Bewegung. Ihr Menschen bildet euch das bloß ein!“ Unsere Welt als Vorstellung (Schopenhauer lässt grüßen), ist das wovon wir uns nicht trennen können. Ein Hund hat eben nicht so viele Vorurteile (Fantasie), als der Mensch: Er steht der Wirklichkeit näher als der Mensch.

Das Plakat wurde anscheinend von der englischsprachigen Seite kopiert. Dort ist es aber im Abschnitt: Achilles und die Schildkröte in der Kunst eingeschlossen. Da es hier aber einfach wie aus dem Himmel herunter fällt, erlaube ich mir dieses zu entfernen. --Michael 12:04, 20. Feb. 2008 (CET)

Diagramm nicht erläutert

Das Diagramm stellt eine graphische Lösung in einem Koordinatensystem dar und wird leider nicht erläutert. Zenon würde sagen, dass die beiden Läufer in dieselbe Richtung laufen und nicht, wie im Diagramm, in verschiedene. Aus diesem Grund erlaube ich mir auch dieses Diagramm zu entfernen. --Michael 12:29, 20. Feb. 2008 (CET)

@Repat Du findest bei den Weblinks Zenon applet eine grafische Darstellung, die dem Gedankengang Zenons folgt. Das müsste eigentlich in den Artikel eingebaut und kommentiert werden.--Michael 19:38, 22. Feb. 2008 (CET)

Denkfehler im Artikel

Zu Punkt 1 der so genannten Lösung: Zenon bildet keine un-endliche Reihe, sondern betrachtet die einzelnen Glieder einer Folge, die gegen Null konvergieren, aber niemals Null erreichen, d. h. kein Glied der Folge ist Null. Die mathematische Reihe hat nur dann einen Grenzwert, wenn die entsprechende Folge den Grenzwert Null hat. Das bedeutet aber dann, dass Achilles und die Schildkröte beim Einholen Stehen bleiben - klar veranschaulicht mit Zenon applet -, was real nicht der Fall ist. Zu Punkt 2: Bei Zenon ist Achilles die Einholstrecke noch nicht gelaufen, insofern kann man diese auch nicht teilen!

Leider verhindern die Administratoren, dass diese Bemerkungen im Artikel erscheinen, weil sie behaupten, dass dies eine Theorie wäre, die von ihnen nicht akzeptiert wird. Es ist keine Theorie, sondern bloß eine Feststellung von Tatsachen. --Michael 11:32, 2. Mär. 2008 (CET)

Ich muss mich korrigieren: Zenon setzt ja voraus,dass die Schildkröte eingeholt wird (und will dann zeigen, dass dies nicht möglich ist - indirekte Beweisführung). Insofern kann man Punkt 2 akzeptieren.--Michael 08:35, 27. Mär. 2008 (CET)

Das sehe ich nicht so, erstens ist überhaut nicht bekannt, was Zenon genau sagte, sondern nur aus den Kommentaren, zweitens wäre die Lösung dann einfach, dass letztendlich der Abstand zwischen Achilles, Schildkröte und Punkt des Überhohlens Null würde.--Room 608 12:54, 27. Mär. 2008 (CET)

Du hast Recht. Im Artikel ist doch folgender Text angegeben: „dass auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“. Da haben wir schon bei der Übersetzung ein Missverständnis: Wie heißt es nun, eingeholt oder überholt? Und, wenn ich jemanden einholen oder überholen möchte, so kann ich doch auch einen Bogen um den Ort machen von dem er startet und könnte ihn trotzdem einholen oder überholen. Das ist doch reiner Quatsch. Wir kennen Zenons Voraussetzungen eben nicht. Wir haben es mit dem ollen Aristoteles zu tun bzw. mit den Mathematikern unserer Zeit.--Michael 18:57, 27. Mär. 2008 (CET)

In der Reihenlösung findet man T = t1+t2+t3+ .... Nur diese ts sind keine unbenannte Zahlen, sondern benannte! Das sind t Sekunden z. B. und ab einem t erscheint dann 0,1 Sekunden, 0,11 Sekunden u. s. w. und das hat keinen Sinn, denn wenn man als Zeiteinheit Sekunde wählt, dann kann ich damit keine Hundertstel oder was auch immer für einen Teil davon erfassen, weil 5 Sekunden 5* 1 Sekunde bedeuten! Das heißt in der Reihenlösung muss immer wieder, ab einer Etappe, eine kleinere Zeiteinheit gewählt werden, irgendwann muss ich mich für eine Einheit entscheiden: Die Mathematiker können sich einfach nicht entscheiden; die Zeiteinheit Null hat wohl keinen Sinn!!!--Michael 20:14, 27. Mär. 2008 (CET)

Ich sehe das anders. 0,1111... hat nichts mit unendlich klein zu tun, auch im Reihenansatz sind die unendlich kleinen unbenannt, auf jeden Fall weiß man von ihnen weniger als von den Zahlen: Von ${\frac {1}{\infty }}$ und ${\frac {1}{\infty +1}}$ kann man nicht feststellen, welches kleiner ist, weil ja $\infty +1$ nicht größer sein kann als $\infty$, das widerspräche dem Begriff Unendlich. Dann gilt noch folgendes:

• In der Reihe sind die unendlichkleinen Glieder nicht benannt. Die Glieder sind nur so lange benannt, als sie größer als ein beliebig gewähltes $\epsilon$ sind, das aber nachweisbar immer unterboten werden kann (durch vollständige Induktion).
• 0,111... ist sehr wohl eine benannte Zahl, eine rationale: Entweder als ${\frac {1}{9}}$, also teile eins nur neun mal, oder als Konstruktionsvorschrift: Füge 0,1 0,01 zu, und dann 0,001 und dann 0,0001 und dann immer so weiter.
• Etwas Konstruiertes ist aus logischer Sicht immer ein Individuum, eine widerspruchsfreie Einheit. Das unterscheidet sie vom Unendlichen, wo es keine Einheit geben kann, sonst könnte man ja sagen, dass ${\frac {1}{\infty }}>{\frac {1}{\infty +1}}$, was aber klassisch eben in der Mathematik nicht möglich ist. --Room 608 20:48, 27. Mär. 2008 (CET)

Sorry, ich erkenne keine unendlichkleinen in der Reihe, jetzt wird's mir zu bunt!!--Michael 21:08, 27. Mär. 2008 (CET)

Na ja schade. In der geometrischen Reihe kommt mit $q<1$ das Glied $q^{n}$ vor, das für $n\to \infty$, eine Redeweise dafür, dass man für die erforderlichen Bedingungen immer ein n findet, den Grenzwert Null hat, aber in der Mathematik wird für n nie unendlich eingesetzt. n kann man immer erreichen, es ist endlich. --Room 608 13:06, 28. Mär. 2008 (CET)

Als Benennung einer absoluten Abstraktion, wie "Eins", verstehe ich eine Zutat, die eine Verbindung zur „Außenwelt“ meines Gehirns darstellt: Etwas, was ich auch mit meinen Händen oder Geräten ergreifen kann. Wenn ich für 1 cm z. B. nichts außerhalb meines Gehirns habe, dann fantasiere ich bloß über „1 cm“. Die Mathematiker tun so, als ob man alles - jedes "Eins" - durch 9 teilen könnte, das geht leider nur in ihrem Elfenbeinturm! Rationale ist für MICH keine Benennung.--Michael 15:21, 28. Mär. 2008 (CET)

Du bist immer eins mit Dir, nur die Mathematik betreibt die Perversion, dass sie Dich, um aus einem Menschen zwei zu machen, identisch wiederholen könne. --Room 608 18:55, 28. Mär. 2008 (CET)

Gut gesagt, Klaus!--Michael 20:45, 28. Mär. 2008 (CET)

Ich hab' erst jetzt bemerkt, dass Gottschall wieder zugeschlagen hat.

Der eigentliche Fehler besteht darin, dass durch die Betrachtung eine Einschränkung der Wegstrecke hinzugefügt wird, die vorher nicht bestand. Die korrekte Schlussfolgerung wäre also: Wenn Achilles immer zu der Stelle läuft, wo sich die Schildkröte zu Beginn dieser Laufstrecke befand, wird er sie weder einholen noch überholen. Mit einer Gewehrkugel kann man auch kein bewegtes Objekt treffen, wenn man auf die Stelle zielt, wo es sich bei Abgabe des Schusses befindet. --Rebiersch 21:44, 28. Mär. 2008 (CET)

Das nennt man - gesunden Menschenverstand - lieber Rebiersch, nur der wird hier durch Gottschall & Co unterbunden.--Michael 22:47, 28. Mär. 2008 (CET)

Vielen Dank für die Blumen. --Rebiersch 23:07, 28. Mär. 2008 (CET)

Das mit der Gewehrkugel ist ein schönes Beispiel. Norbert Wiener hat doch so ähnlich den Flug von Flugzeugen vorhergesagt. Oder? --Room 608 03:23, 29. Mär. 2008 (CET)

@Rebiersch; kurze Bemerkung. Ich würde "..., die vorher nicht bestand.", durch "..., die im tatsächlichem Lauf nicht besteht." ersetzen. @Room 608. Danke für den Hinweis auf N. Wiener.

@Room. Sicher, "... im tatsächlichen Lauf..." ist auch richtig. Gemeint hatte ich mit "vorher" die Reihenfolge in der Argumentationskette. Vorschlag um es eindeutiger zu beschreiben "... Einschränkung, die nur im Beispiellauf, nicht aber in einem tatsächlich Lauf..." --Rebiersch 09:59, 29. Mär. 2008 (CET)

@Rebiersch und @Room 608. Wir sollten alle drei dafür sorgen, dass Gottschall nichts mehr an dem jetzigen - mit den Klammern- und Linkergänzungen von Room 608 - Artikel ändert.--Michael 08:38, 29. Mär. 2008 (CET)

@Rebiersch. Du hast den Adressaten verwechselt. Ich bin einverstanden mit Deiner Änderung, das wird wohl auch Roomsixhu sein. Der weitere Text könnte auch so lauten: "Nur dann, wenn Achilles dorthin laufen würde, wo die Schildkröte sein wird, könnte er sie einholen." Das Problem für Zenon war wohl, dass er "dorthin" nicht zeigen konnte und wir das heute auch ohne Grenzwert - der Journalist Matarazzo meinte: "Die meisten Dinge sind einfach. Sie werden erst durch schlaue Leute zum Problem." - tun können. --Michael 10:25, 29. Mär. 2008 (CET)

Sorry, mit dem Adressaten habe ich mich tatsächlich vertan. Beim nochmaligem Lesen fällt mir auf, dass man besser "Einschränkung der Wegstrecke und daher auch der Zeit" formulieren könnte. Die Schlussfolgerung lautet ja auch "niemals" und nicht "innerhalb der gelaufenen Strecke" (würde dann ja auch niemanden als paradox erscheinen). Ich hänge aber nicht an einer der genannten Formulierungen. --Rebiersch 13:44, 29. Mär. 2008 (CET)

Die kommt sowieso nicht in den Artikel, brauchst Dir keine Sorgen zu machen, Rebiersch, weil Gottschall keine andere Interpretation, als die von ihm angeführte zulässt! Man bemüht sich hier umsonst. Ich bin auch unverbesserlich, fall immer wieder drauf rein.--Michael 16:59, 29. Mär. 2008 (CET)

Ich hänge auch an keiner besonderen Formulierung, aber etwas lockerer als Gottschall sollte man es schon sehen können, vor allem, wenn man sich die geometrische Reihe einmal hergeleitet hat, und deshalb die Janichinterpretation in vielem an der Sache vorbeigeht und nicht genügend Aspekte beleuchtet und Erweiterung nötig hat, weil sie nicht ausreicht. --Room 608 16:11, 29. Mär. 2008 (CET)

andere Paradoxien

Da die "anderen" Paradoxien nur erwähnt werden - nicht aber näher besprochen werden -, macht es keinen Sinn sich hier über ihre Lösung zu äußern.--Michael 11:55, 2. Apr. 2008 (CEST)

unendliche Reihe oder unendliche Folge?

Im wiedergegebenen Wortlaut beschreibt Zenon eine unendliche Folge von immer kleiner werdenden Werten und keine Summe, das dürfte doch allen - die an diesem Artikel mitarbeiten wollen - klar sein, oder?--Michael 12:37, 4. Apr. 2008 (CEST)

Rekursiv gedacht

Hör mal zu, Gottschall. Es ist nicht schon immer so, dass in Mengen unendliche Größen aufgenommen werden. Cauchy hat das Problem ohne Mengenbegriff exakt gelöst, bei ihm wird die Grenze nicht erreicht. Die heutige Entwicklung basiert auf Cantors Begriffsbildung, der auch Unendliches in Mengen aufnimmt. Das ist eine besondere ("moderne") nachvollziehbar darzustellende Begriffsbildung. --Room 608 16:33, 19. Apr. 2008 (CEST)

Hier nochmal die Fußnoten zu Punkt 2 für LuHa:

1. ↑ Das ist trivial, die zurückgelegte Strecke von Achilles ist endlich, der Vorsprung zur Schildkröte ist endlich, die Frage ist, ob die vor der Schildkröte liegende Strecke von Achilles durchlaufen wird, wofür der die Schildkröte überholen muss, was er nach unendlich vielen Schritten (auch mathematisch) nicht tut. Ein Grenzwertübergang erreicht die Grenze nicht! Der Grenzwert wird mit "unendlichkleinen" "Zahlen" erreicht, tatsächliche Zahlwerte (für ein tatsächliches Rennen) nehmen aber keine unendlichen (große oder kleine) Werte an. Können diese "paradoxen" Rennschritte überhaupt Elemente einer Menge von Rennschritten tatsächlicher Rennen sein?
2. ↑ Die Mathematik sagt nur, dass es zu jeder beliebig kleinen Vorgabe eines Abstandes der beiden und von einem bekannten endlichen Überholpunkt, einen weiteren n-ten Schritt gibt, der die Vorgabe unterbietet, und identifiziert und charakterisiert das Rennen deshalb mit diesem Wert des Überholpunktes, weil sich das Rennen sicher nicht (also niemals) jenseits dieses Punktes mit der vorneliegenden Schildkröte fortsetzen wird.

--Room 608 18:05, 19. Apr. 2008 (CEST)

"Die Zahl $a\in \mathbb {R}$ heißt Grenzwert der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, falls es für alle $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N$ gibt, so dass $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$, falls $n\geq N$.

Diese Definition fordert also: Zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es einen Index $N$, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\varepsilon$ von $a$ entfernt sind.

Dies ist so zu verstehen, dass als $\varepsilon$ eine beliebig kleine positive Zahl vorgegeben werden darf, und dass es dann stets möglich ist, ein genügend großes $N$ so anzugeben, dass $a_{N}$ und alle darauf folgenden Glieder die Bedingung erfüllen." So steht es in Grenzwert. Anders gesagt:

Die in Punkt 1 erwähnte mathematische Reihe hat nur dann eine endliche Summe, wenn Zenons Folge den Grenzwert Null hat. Das bedeutet aber, dass der Vorsprung beliebig klein wird, aber niemals Null: Wenn dn = (vS / vL)^n * d0 der n-te Vorsprung wäre, dann gibt es kein n, wofür dn = 0 wäre.Doch nur wenn er den Wert Null annimmt, holt Achilles die Schildkröte ein! Genau das meinte Zenon. Die Mathematiker lösen nicht das Paradoxon: Die Grenzwertdefinition versteckt, kaschiert das Problem. Manche hier wollen das nicht verstehen.--Michael 16:59, 23. Apr. 2008 (CEST)

Ich sehe es so ähnlich: Zenon macht die Vorgabe $\epsilon$ einfach nicht, denn er negiert Bewegung an anderer Stelle überhaupt. Und Mathematik bleibt im großen und ganzen logisch einwandfrei aber diskret, also sprunghaft, und legt sich wie ein Netz über alles, das wenn es genügend fein ist, natürlich trägt. --Room 608 22:10, 20. Apr. 2008 (CEST)

Das mit dem Netzlegen hast Du toll ausgedrückt. Nur das der Mathematiker hier kein dichtes Netz benötigt, weil Achilles sich erst dann - als ganzer Kerl - fortbewegt hat, wenn er sich - sagen wir mal - 60 cm weit in eine Richtung bewegt hat, wenn seine Schrittlänge 60 cm groß ist. Der Maschenabstand des Netzses braucht nicht kleiner als 60 cm zu sein.--Michael 17:53, 21. Apr. 2008 (CEST)

Aristoteles

Ich hatte im Zusammenhang mit obigem Aristoteles Argumente hier zusammengefasst und belegt. Die Argumentation ist besonders schlüssig (verständlich) im Sainsbury Paradoxien, siehe Vorversion: [5] --Room 608 13:16, 21. Apr. 2008 (CEST)

Oder anders ausgedrückt: Die Grenze (Punkt des Überholens) ist kein Punkt des Rennens, das voraussetzungsgemäß auf dem Begriff des Vorsprungs und Einholens beruht. Ich kann kann kein Rennen mit dem Ziel des Einholens konstruieren, wenn Achilles und die Schildkröte keinen Abstand voneinander haben. --Room 608 13:24, 21. Apr. 2008 (CEST)

Deine letzte obige Aussage ist für mich verständlich. Ich kann sie als Lösung des Paradoxons akzeptieren. Es ist doch so, dass es zur Lösung eines Problems oft mehrere Möglichkeiten gibt. Verschiedene Denkansätze können zum erwünschtem Ziel führen, aber nicht jeder Denkansatz. Das ist das Problem hier. Ich habe auch mit Rolf Todesco diskutiert und er meinte auch, dass es ihn überrascht, auf wie viele Arten man das Paradoxon angehen kann. Mein Denkansatz ist, dass der Begriff "zuerst" - im Paradoxontext - sich eigentlich auf die Zeit bezieht und nicht allein auf die Lage des Punktes auf der Geraden, denn nur im Laufe der Zeit kommt man zuerst zum Startpunkt der Schildkröte. Das Einholen folgt später. Zenon holt sowohl Achilles, als auch die Schildkröte an die Kandare, er lässt sie nicht frei laufen. So denkt doch auch Rebiersch und viele anderen auch. Zenons Denkansatz kann man auch so formulieren: Ich kann nicht bis 10 zählen, weil ich zuerst bis 5 zählen muss.--Michael 11:02, 25. Apr. 2008 (CEST)

aufgeblähter Artikel

Kann mir jemand sagen, warum hier so eine Unmenge von Angaben: 6 Quellenangabe, 24 Literaturangaben und 6 Links nötig sind, wo es doch nur um eine so genannte Lösung bestehend aus zwei Punkten geht? Dieser Unfug ist nicht zu rechtfertigen. Nur zum Vergleich: Auf der französichsprachigen Seite findet man sage und schreibe 2 Links wobei im Artikel alle drei Bewegungsparadoxa beschrieben werden. Und auf der englischsprachigewn, wo auch alle drei Paradoxa behandelt werden sind es 4 Quelleangaben, 4 Literaturangaben und 10 Links, wobei auf dieser Seite ausführlich jede Menge verschiedener Lösungsvorschläge behandelt werden, so dass die größere Anzahl der Hinweise gerechtfertigt ist.--Michael 15:36, 21. Apr. 2008 (CEST)

ein letzter Klärungsversuch

@GottschallCh, Ca$e, Luha und alle, die an diesem Artikel mitarbeiten wollen.

Im Artikel werden ein Kommentar des von Aristoteles überlieferten Textes von Zenon und eine Lösung dessen, als eine Zusammenfassung des Lösungstextes von Peter Janich in „Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaft“ wiedergeben.

Meine Bedenken beziehen sich auf diesen Lösungsvorschlag.

Es geht hier um den Begriff Vorsprung. Das ist ein vager Begriff, er stellt bloß eine Vorstellung, ein geistiges Bild dar. Von einem Vorsprung kann man - im Vergleich zu einem anderen - sagen, dass er kürzer sei. Mathematiker und Physiker präzisieren dies, indem sie sagen, dass der Begriff Länge eine Zahl, Maßzahl genannt und eine Längenmaßeinheit beinhaltet. Das heißt - z. B. - 5 m bedeuten 5 * 1 Meter. Eine Längenangabe von 5,12 m hat keinen Sinn, weil man mit der Einheit Meter keine Teile von ihm messen kann, dazu benötigt man eben eine kleinere Längeneinheit, die angegeben werden muss. Es muss 512 cm heißen, nur diese Angabe hat einen Sinn! Für „reine“, für „platonische“ Zahlen, mag wohl 512/100 = 5,12 gelten, nicht aber für Maßzahlen, denn diese beinhalten nicht nur Gedanken, sondern menschlich-physische Handlungen, eben das Messen!

Was die Mathematiker bei ihrer - so genannten - Lösung tun ist, dass sie in der Reihensummierung nur mit reinen Zahlen denken und nicht berücksichtigen, dass es hier um Maßzahlen geht; sie übersehen, dass 111,111 Fuß - oder Stadien oder welche Längeneinheit man auch immer wählen würde - keinen Sinn hat. Man kann 1 m nicht mit 1 cm addieren, es sei denn man formt Meter in Zentimeter um. Man kann Begriffe, Größen, die nur die Eigenschaft der Ausdehnung beinhalten, wie Strecken z. B. nie genau angeben. Dadurch unterscheiden sie sich ja von Größen, die man als Ganzheiten betrachtet: Einen Menschen kann man nicht in „kleinere“ Menschen aufteilen und aus mehreren kann man nicht einen machen. Die Präzisierung von Ausdehnungsbegriffen kann immer nur bis zu einem bestimmten Grad, oder wie auch immer man das nennen mag, gehen. Es kann nur heißen zwischen zwei Zahlen oder ca. bzw. ungefähr. Das ist für einen Ingenieuren selbstverständlich.

Deshalb möchte ich vorschlagen, dass der Artikel neu geschrieben werden soll, und zwar entweder, indem man nur den Wortlaut des überlieferten Textes von Zenon, wie auch einen Kommentar dazu, oder wenn man noch etwas Zusätzliches dazu schreiben möchte, dann doch mit der Bemerkung, dass es zur Lösung des Paradoxons verschiedene Interpretationen gibt, die umstritten sind. Mir ist nicht bekannt, dass man eine statistische Umfrage unter den Mathematikern, Physikern und Philosophen gemacht hätte, so dass man sagen könnte, x% meinen das Paradoxon sei gelöst, y% meinen das Gegenteil und z% enthalten sich der Stimme. Die Behauptung, dass die Mehrheit das so oder so sieht, bleibt nur eine Behauptung ohne Bestätigung.--Michael 16:58, 24. Apr. 2008 (CEST)

Danke, dass Du den Baustein selbst wieder entfernt hast. Die Darstellung jetzt entspricht sachlich immerhin einem renommierten Fachlexikon, auch wenn man aus dem Artikel deutlich mehr machen könnte. Wenn Du den SEP-Artikel liest, zeigt sich, dass das Thema durchaus nicht trivial ist. Ein Neuschreiben des Artikels macht nur Sinn, wenn man die dort mit angesprochenen Themen berücksichtigt. Es geht vor allem um die Frage des Kontinuums (siehe z.B. hier mit einem Hinweis auf das Thema im historischen Überblick) und dessen Interpretation in Mathematik, Physik und Philosophie. Dies rechtfertigt durchaus die verhältnismäßig lange Literaturliste. Gruß --Lutz Hartmann 12:02, 25. Apr. 2008 (CEST)

Alle sprechen über "Kontinuum" und keiner weiß was es ist. Anscheinend sind die Vorstellungen, welche verschiedene Menschen von diesem haben, auch verschieden. Ich komme immer mehr zur Überzeugung, dass das, was wir wissen, nur aus Konventionen besteht!. Ich dachte es geht hier darum herauszufinden, wo Zenon einen Denkfehler gemacht hat. Darüber findest Du im Abschnitt "Aristoteles" meine Antwort. --Michael 12:49, 25. Apr. 2008 (CEST)

Ich kann nicht bis zehn zählen, weil ich zuerst bis fünf zählen muss. Ich armer Tropf. Michael 12:53, 25. Apr. 2008 (CEST)

Der neue Weblink ist recht anregend. Nach Weyl ist das Kontinuum ein mathematisch ungenauer Begriff, er nennt es "Kontinuumssoße" und ich denke darauf einzugehen ist wenig sinnvoll. --Room 608 13:33, 25. Apr. 2008 (CEST)

Sehr gründlicher Link von Luha. Ich denke aber selbst ein intuitionistischer Ansatz ist nicht sinnvoll, da die Forderung eine Kontinuum zu konstruieren hier uns nicht weiter bringt, sowie die Nonstandardanalysis meines Erachtens den engeren Ansatz hat. Cauchy hatte sinngemäß den Ansatz, alles sei Grenze und würde deshalb wirklich nicht erreicht, aber die Zahlen nehmen konkrete Werte an. Das hat er dann ja auch sehr schön zusammengebracht und auch das ist anscheinend noch nicht bis in die Moderne durchgedrungen. Die moderne Philosophie krankt auch an einer eklatanten Leerstelle nach der Logik genannt Metaphysik und Naturphilosophie, so gennant von der modernen "Philosophie", ich teile da den Standpunkt der Ontologen, wie Whitehead, der auch sagt, nicht dass an Achilles was dran sei, aber am Pfeilparadoxon und der Bewegenung. --Room 608 13:44, 25. Apr. 2008 (CEST)

@Lutz Hartmann. Für den Begriff Kontinuum gibt es ja einen Artikel, deshalb finde ich, dass die Erläuterungen alle dorthin gehören. Ein renommiertes Fachlexikon ist kein Garant für ein Verständnis, ich will verstehen und nicht nur Wissen. Gruß Michael 17:43, 25. Apr. 2008 (CEST)

Das ist Unsinn, keiner will auf das Kontinuum eingehen, auch Lutz nicht. Ich hatte es hier in einer Aristotelesinterpretation vorgeschlagen und es interessiert die modernen Philosophen überhaupt nicht. Auch die ganze Darstellung beruft sich immer wieder auf Russells Auffassung von Mathematik, das ist zwar die logisch durchgearbeitete, aber nicht die einzige. Nach Aristoteles folgen aufeinander eine Reihe Häuser, sie müssen sich nicht berühren noch Seitenmauern teilen, sondern es kann Zwischenräume geben. Da gerade im atomaren Bereich das meiste aus Nichts besteht, wird ein Kontinuum wohl auch Lücken aufweisen. Bei den Zahlen hat man natürlich alle Zahlen zur Verfügung und beliebig dicht, auch mit den Wahlfolgen, aber ob zwischen benachbarten Zahlen etwas liegt, ist die Frage oder besser umgekehrt: Gibt es Zahlen, die benachbart sind? Dann kann man darüber reden ob sie "aufeinander folgen", "sich berühren" oder "dazwischen liegen", siehe Aristoteles Kontinuum --Room 608 19:54, 25. Apr. 2008 (CEST)

"Ich kann nicht bis zehn zählen, weil ich zuerst bis fünf zählen muss", schreibt Michael. Das hört sich flapsig und etwas daneben an, trifft meines Erachtens aber genau den wunden Punkt in der Argumentation von Zeno. Zeno weigert sich, bis 10 zu zählen, hier: Er weigert sich, das Rennen bis zu Ende anzuschauen. Er zerdehnt die Beobachtung des Rennens (nur die Beobachtung, nicht das Rennen selbst) ins Unendliche. Ausführlicher dargestellt ist diese Argumentation im Weblink "Achilles, die Schildkröte und die Zeitlupe". --Theodor Rieh 08:26, 26. Apr. 2008 (CEST)

Verbindet man die Seitenmitten eines Dreiecks, so entsteht ein neues Dreieck. Diese Überlegung kann ich für jedes folgende Dreieck ohne Ende - schön gesagt, ich lebe ja nur ein Paar Jährchen - wiederholen. Teile ich eine Strecke, so erhalte ich zwei neue Strecken. Für jede der beiden kann ich dieselbe Überlegung ausführen und so weiter. Beide Beispiele gelten aber nur in meiner Gedankenwelt, gelten nur für Abstraktionen, d. h. für Etwas, bei dem ich so manch vermeintlich Nebensächliche ignoriere. Zenon lebt nur in seiner Gedankenwelt, er lebt in einem "Elfenbeinturm", wie wir heute so schön sagen. Ich lebe außerhalb dessen. Die Vorstellung, das Modell Dreieck fällt nicht vom Himmel, sondern aus meiner täglichen Lebenserfahrung. Da gibt es Körper, deren Begrenzung Teile aufweisen, die man dreieckförmig nennt. Oder besser gesagt, ich kann ein Dreieck durch eine Zeichnung konstruieren. Und bei diesen hört der Spaß der unendlichen Teilung auf. Noch einmal: Zenons Geschichte hat mit unserer Lebenserfahrung nichts, rein gar nichts zu tun. --Michael 15:26, 26. Apr. 2008 (CEST)

Ich mache einmal einen Vorschlag zur Güte. Unmittelbar hinter der Darstellung des Paradoxons wird folgender Kommentar eingefügt:

Zenon erzeugt das Paradoxon, indem er unausgesprochen eine Annahme trifft, die den normalen Verhältnissen der Alltagserfahrung nicht entspricht.

• Entweder verkürzt er den Betrachtungsausschnitt auf den Zeitpunkt, bis Achilles die Schildkröte einholt und reduziert die Dauer der Beobachtungsintervalle in einer unendlichen Reihe, die sich dem Grenzwert von Null annähert,
• oder er vermindert die Geschwindigkeit von Achilles in der Weise, dass diese sich schrittweise wiederum in einer unendlichen Reihe der Geschwindigkeit der Schildkröte annähert.

Nur mit einer solchen ergänzenden Annahme ist es möglich, dass es nicht zu dem erwartbaren Überholvorgang kommt.

So sollte klarer sein, was es mit dem Argument der unendlichen Reihe in der Mittelstraß-Enzyklopädie auf sich hat. Im Übrigen bleibt die durchaus korrekte Darstellung von GottschallCh unverändert erhalten, es sei denn es gibt eine wesentliche Erweiterung z.B in Richtung der parmenideischen Grundsatzfrage, ob die Welt teilbar oder Bewegung nur eine Illusion ist.

Gruß --Lutz Hartmann 16:08, 26. Apr. 2008 (CEST)

Danke für Dein Bemühen. Ich möchte zuerst klären, was Du mit unausgesprochener Annahme meinst. Michael 17:21, 26. Apr. 2008 (CEST)

Sag mir bitte auch noch was Du mit "normal" verstehst. Für mich kennt die Natur kein normal bzw. un-normal, das ist eine Einteilung des menschlichen Gehirns, da bin ich wieder im Elfenbeinturm.--Michael 17:42, 26. Apr. 2008 (CEST)

normal meint ohne unbekannte Randbedingungen. Unausgesprochene Annahme meint implizite, versteckte Prämisse, mit der Zenon einen Grenzwert erzeugt, d.i. entweder der Punkt des Überholens (der ja nie erreicht wird), durch den die Veränderung der Beobachtungszeitpunkte infinitesimal klein wird, oder die Geschwindigkeit der Schildkröte, bei der die Geschwindigkeitsdifferenz infinitesimal klein wird. --Lutz Hartmann 17:50, 26. Apr. 2008 (CEST)

Sorry, ich habe im Wörtebuch gleich nachgeschlagen und da steht schwarz auf weiß bei normal:ÜBLICH,DURCHSCHNITTLICH. Willst Du mich verarschen oder was!Michael 18:01, 26. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe noch eine Bitte an Dich: Sag mir was Du unter Punkt verstehst!--Michael 18:27, 26. Apr. 2008 (CEST)

Wenn Du Dich nicht wohl fühlst, solltest Du eine Wikipedia-Pause machen. --Lutz Hartmann 18:54, 26. Apr. 2008 (CEST)

Ich wollte mich nur vergewissern, ob wir beide das gleiche meinen, wenn wir das gleiche sagen. Da dies nicht der Fall ist, lohnt sich auch keine weitere Diskussion zwischen uns beiden. Meiner letzten Frage bist Du ausgewichen. Schade. Nichts für ungut.--Michael 19:38, 26. Apr. 2008 (CEST)

Nur noch eines möchte ich Dir sagen, das Gedicht auf Deiner Benutzerseite gefällt mir. Der Dichter hat aber einen wesentlichen Teil vergessen zu erwähnen: Zwischen der Außenwelt und der Innenwelt gibt es eine Zone, die Grenze zwischen diesen und gerade diese beschert uns die meisten Probleme.--Michael 20:18, 26. Apr. 2008 (CEST)

@Luha. Ich entschuldige mich wegen des Ausdrucks "verarschen". Das war nur eine spontane Reaktion von mir, und weil wir uns per Du ansprachen, also in einer kumpelhaften Sprache miteinander kommunizierten, dachte ich mir eigentlich nichts dabei. Es ist in dieser Sprache halt nur eine "facon de parler", wie es Fr. Gauß zu sagen pflegte, wenn er von un-endlich sprach. In Zukunft werde ich alle mit Sie ansprechen. Gruß--Michael 08:27, 29. Apr. 2008 (CEST)

Schwamm drüber. Mich würde schon interessieren, was Dir an der vorgeschlagenen Erläuterung nicht passt. Diese weicht inhaltlich nämlich aus meiner Sicht nicht von dem ab, was Du weiter unten zum Nicht-Schalk Zenon ausführst. --Lutz Hartmann 10:07, 29. Apr. 2008 (CEST)

Also eine unausgesprochene Prämisse ist die moderne entstellende Sichtweise auf die Geschichte und ihre Uminterpretation, sie sei eine Vorstufe, die sich zu unserer "modernen" Sichtweise entwickelt. Das ist in vielen Fällen einfach falsch, aber zu einer Zeit setzt sich nur eine Sichtweise durch, bis sie wieder ausstirbt. Als Beispiel dazu gebe ich die immer wieder kolportierte Behauptung an, die Griechen hätten nicht gewußt, dass eine geeignete Reihe konvergiert. Wer legt sowas fest? Aristoteles kannte den Grenzwert der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ..., geht aber in seiner Widerlegung des Zenon darauf nicht begriffserweiternd ein. Historisch stellt sich dann die Frage, was hätte das mit seinen Mitteln auch gebracht, wenn er Proportionen nicht untersucht? Man sollte also darauf eingehen, wie man das Paradox ohne Reihe erklärt, sei es weil Aristoteles es versäumt hat oder Zenon unterschlagen (was ich persönlich glaube). Jedenfalls finde ich die jetzige Darstellung nicht sehr erhellend, sie tut so, als ob alles klar sei, kann es nur selbst nicht klar darstellen. --Room 608 13:16, 29. Apr. 2008 (CEST)

Also gut. Der zweite Satz sagt nichts anderes, als dass, was Zenon sagt, nur mit anderen Worten. Für den einen oder anderen mag er hilfreich sein. Nur, das ist nicht das Problem. Das Problem im Artikel ist, dass man hier mit einer unendlichen Summe argumentiert, die ich in Zenons Text nicht auffinden kann, was Du in Deinen Erläuterungen doch auch so siehst. Dadurch wird Zenon, meines Erachtens, falsch interpretiert. Zenons Gedankengang erzeugt immer kleiner werdende Laufwege, ich darf mich in meiner Begründung nur auf diese beziehen. Deshalb kannst Du nicht verlangen, dass man die Interpretation aus dem erwähnten Lexikon beibehält. --Michael 17:23, 29. Apr. 2008 (CEST)

Hilfe! Wer kann bzw. will mir sagen, was ein Punkt ist?

Bevor nicht dieser Begriff geklärt ist, ist jeder Diskurs sinnlos.--Michael 19:41, 26. Apr. 2008 (CEST)

Eine Antwort habe ich schon, hier in der Wiki gefunden: Anschaulich stellt man sich darunter ein Objekt ohne jede Ausdehnung vor.

Tolle Erklärung! Wie soll ich mir das nur vorstellen? Besser gesagt: Warum soll ich mir ein Objekt ohne Ausdehnung vorstellen? Auch das findet man:

"Der griechische Philosoph Euklid definierte um 300 v. Chr. den Punkt in seinen Elementen als etwas, das keine Teile hat. Für Sätze und ihre Beweise spielt diese Definition jedoch keine Rolle. Moderne Axiomensysteme verzichten daher auf eine solche Definition." Schade, Euklid kann ich verstehen, nicht aber die modischen Denkweisen, wie oben angegeben. Ich möchte nicht wissen, wie viele unnötigen Axiomensysteme konstruiert wurden und ständig kommen neue dazu, zwischen denen kein Zusammenhang besteht. Gepriesen sei David Hilbert, der die Schleusen für diese unerschöpflichen Fantasien geöffnet hat.--Michael 20:08, 26. Apr. 2008 (CEST)

die Weigerung mancher Philosophen und mancher Mathematiker "normal" bis 10 zu zählen

Theodor Rieh schreibt: „Zeno weigert sich, bis 10 zu zählen“. Da Zenon nicht unter uns ist, lassen wir ihn in Frieden ruhen. Doch auch heute noch gibt es Personen, die nicht normal zählen wollen. Also, warum kann man bis 10 nicht normal zählen? Weil man zwischendurch auch mal un-normal zählen muss.

Man kann normal bis 4 zählen, kein Problem, problematisch wird es von 4 bis 5. Komisch! Warum gerade bis 4? Na ja, es könnte auch 3 oder 2 oder so sein. Erst bei 4 also, bemerkt man, dass das so nicht geht: Zu 4 muss man zuerst ½ dazuzählen, und das geht dann bekanntlich ohne Ende weiter. Die Definition des Grenzwertes sorgt nun dafür dass das Ganze endlich aufhört und man bei 5 landet. Ab 5 kann man dann weiter normal bis 10 zählen.

Das komische daran ist, dass man voraussetzt bis 4 normal zählen zu können, und sich dann weigert zu den 4, 4 weitere dazu zu zählen, dann wäre man schon bei 8 und bis 10 würde es ja nicht mehr so lange dauern.

Das wäre natürlich zu einfach, denn die ganz oben erwähnten Personen verdienen ihr Geld eigentlich damit, dass sie des öfteren einfache Tatsachen kompliziert darstellen und andere sollen sich dann ihren Kopf darüber zerbrechen. So meint es doch der Dichter auf deiner Seite, Lutz, oder?--Michael 21:14, 27. Apr. 2008 (CEST)

Du schreibst: "Theodor Rieh schreibt: „Zeno weigert sich, bis 10 zu zählen“. Da Zenon nicht unter uns ist, lassen wir ihn in Frieden ruhen. Doch auch heute noch gibt es Personen, die nicht normal zählen wollen. Also, warum kann man bis 10 nicht normal zählen? Weil man zwischendurch auch mal un-normal zählen muss."

Den Trick von Zeno wenden viele Kinder an, wenn sie voreilig gesagt haben: "Ich zähle jetzt bis drei und dann...!" "Eins", sagen sie, "zwei, zweieinhalb, zweidreiviertel, zweivierfünftel..." So zerdehnen sie alles ad infinitum. Zeno, der Schalk, macht das gleiche, aber weil er als Philosoph gilt, nimmt natürlich jeder an, daß er auch hier als Philosoph argumentiert und nicht als Schalk. --Theodor Rieh 10:51, 28. Apr. 2008 (CEST)

Ich glaube nicht, dass man Zenon als Schalk betrachten sollte. Eigentlich wollte er zeigen, dass wenn es nur Veränderungen gäbe, so wie es Heraklit – der Widerpart seines Lehrers Parmenides - meinte, man auch zu Widersprüchen kommen kann, und nicht nur, wenn man annimmt es gäbe nur Un-Veränderung. In der Tat beschreibt er das Rennen so, dass sich sowohl der zurückgelegte Weg (der Raum), als auch die vergangene Zeit, von einer Etappe zur nächstfolgenden im selben Verhältnis ändern, d. h. alles verändert sich gleich, was zur Beschreibung einer Bewegung benötigt wird. Ändert man in einem Verhältnis beide Komponenten gleich, so ist es doch so, als ob man einen Bruch erweitern oder kürzen würde, sein Wert ändert sich dabei aber nicht: Man wird so keinen Unterschied zwischen einer Etappe und der ihr folgenden feststellen können. Oder anders gesagt:

Wenn sich für das Umfeld wie auch für den Beobachter selbst, Raum und Zeit gleichmäßig ändern würden, könnte dann der Beobachter überhaupt feststellen, ob sich etwas in seinem Umfeld und an sich selbst geändert hat? Nun, ich meine, dass das Wettlaufparadoxon die eindeutige Antwort liefert: Nein!

Zenon war kein Schalk, er hat es ernst gemeint.--Michael 18:27, 29. Apr. 2008 (CEST)

Also wenn ich bis n = 1 gezählt habe komme ich per Induktion n+1 logisch auch bis zehn. --Room 608 13:22, 29. Apr. 2008 (CEST)

Ich zähle doch nicht bis 1, sondern beginne mit 1. Ich verstehe Dich nicht, was Du damit meinst.Michael 17:18, 29. Apr. 2008 (CEST)

Anders: Wenn ich beginnend 1 als Zahl habe, komme ich n+1 mehrmals zählend sicher bis zehn nur mit Einsen. --Room 608 17:52, 29. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe hier nur den Lauf des Achilles (ohne die Schildkröte), so wie er heute von den Mathematikern dargestellt wird spaßeshalber uminterpretiert. Es ist nämlich gleich, ob ich laufe oder zähle, jede Handlung geschieht im Lauf der Zeit.--Michael 18:27, 29. Apr. 2008 (CEST)

Ja jeder Lauf, aber eine Reihe nicht. Du verwendest mir die Zeit zu sehr als Kategorie. Ich denke es hat mit den von Aristoteles nicht beachteten Proportionen, die erst mit Stevin und Descartes beherrscht wurden zu tun. Aber bedenke auch eine Dezimalzahl bricht immer im Endlichen ab, weshalb die Mathematik auf die Unendlichkeit gar nicht eingehen kann: 1,234 und 1,234... unterscheiden wir im Kopf, nicht in der Zeit. Unendliches läßt sich ja auch endlich darstellen ${\frac {1}{3}}=0,33{\bar {3}}$. Ist wohl eine Frage des Werkzeugs. Die Zahlen die interessant sind, sind diejenigen Reihen, bei denen die Anordnung der Glieder eine Rolle spielt, wie ln 2. --Room 608 11:34, 30. Apr. 2008 (CEST)

Ob die Form einer Zahl endlich oder unendlich ist, hängt vom Zahlensystem ab. So gehören die Brüche zum System der gebrochenen Zahlen, während die Zahl 0,33 ... in einem Stellenwertsystem mit der Basis 10 geschrieben ist. Benützt man die Basis 3 - der Nenner nennt die Basis des Systems -, dann hat ein Drittel die Form 0,1. D. h. in jedem Stellenwertsystem habe ich nur ein Werkzeug, um dein Wort zu gebrauchen, das hier nur drei gleiche Teile erzeugt. Habe ich das 10-er Werkzeug, so werde ich mit dem nur Näherungswerte für eine gleiche Dreiteilung erhalten. Ich habe hier dann die Möglichkeit, dem Drittel verschiedene Genauigkeiten zu gewähren.

Irrationale Zahlen lassen sich in keinem Stellenwertsystem genau darstellen.Michael 20:40, 30. Apr. 2008 (CEST)

Nimm als Basis für Dein Zahlensystem die Zahl e und dann lassen sich die Rationalen und sogar die Natürlichen nicht darstellen. Ich finde das ist Ansichtssache. Man muss in Philosophie und Mathematik ja wohl mit Anwendungen wieder auf den Boden kommen, allerdings kann mehr sehr wohl abstrakt anfangen, womit sogar die großartigsten Ergebnisse erzielt wurden.--Room 608 00:44, 1. Mai 2008 (CEST)

Die angeführten Zahlensysteme, also Bruchsystem und Stellenwertsystem beruhen auf der Handlung des Teilens einer Strecke, also einer geraden Linie, der Repräsentant der Unveränderlichkeit. Die Zahl e oder Pi dagegen, auf einer Deformierung, einer Veränderung, ein völlig anderer Prozess. Übrigens unterstütze ich Deine Änderung in "Zenons Trugschluss beruht aus heutiger Sicht auf zwei Fehlern."--Michael 16:41, 1. Mai 2008 (CEST)

Die Anordnung der Glieder spielt dabei eine Rolle. Das entspricht der Zeit, die Abfolge der einzelnen Glieder, die für eine andere Zahl auch eine andere sein kann. --Room 608 20:27, 1. Mai 2008 (CEST)

Zenons Trugschluss aus heutiger Sicht

möchte nur hervorheben, dass die "gängige" Deutung des Paradoxons sich sehr wohl ändern kann. "Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern", klingt nämlich wie 2+2=4. Irgendwie muss angedeutet werden, dass die dargebotene Deutung nicht die einzig wahre ist.--Michael 20:09, 1. Mai 2008 (CEST)

Verständlichkeit

Ich bitte darum meine erweiternde Erläuterung von Janichs modallogischen Punkt zwei zu belassen, oder im Sinne der Verständlichkeit umzuschreiben. --Room 608 18:43, 2. Mai 2008 (CEST)

Welche Enzyklopädie? Den Mittelstraß? Es gibt sehr viele andere Sichtweisen, wie ich wiederholt schreibe, Sainsbury, Whitehead. Es ist sehr wohl eine Fachmeinung einer sicherlich einflußreichen modernen philosophischen Denkrichtung. --Room 608 21:22, 2. Mai 2008 (CEST)

Reihe oder Folge

Es ist schon richtig, dass Zenon wohl eine Folge darstellt, bezogen auf das Überholen, muss die Folge zusammengezählt werden, was dann eine Reihe ist. Diese kann dann konvergieren, und das Rennen ist endlich.--Room 608 22:15, 2. Mai 2008 (CEST)

Gar nichts muss zusammengezählt werden.--Michael 21:48, 3. Mai 2008 (CEST)

Doch, muss die Folge, damit man Achilles' und der Schildkröte Position zur jeweils gleichen Zeit bestimmen kann. Dass hier eine Folge gegen Null konvergiert ist im Übrigen auch nicht ausreichend für das Phänomen, entscheidend ist wirklich, dass die entstehende Reihe nicht divergiert, also weiterwächst. Man kann sehr wohl Folgen von Schildkröten- und Achillesetappen konstruieren, die wirklich, wie ja für das "Paradoxon" vorausgesetzt, dazu führen, dass die Kröte nie eingeholt wird (beziehungsweise erst im Unendlichen), und die dennoch gegen Null konvergieren (die natürlich keine konstante Geschwindigkeit der beiden Beteiligten mehr hätten). Beispiel: Schritt 1: Schildkröte 1m Vorsprung, Achilles wartet. Schritt n für n>1: Achilles kommt zur vorigen Schildkrötenstelle, Schildi joggt (1/n)m weiter. Folge konvergiert, Reihe nicht, Zenon hätte recht (wenn sie so liefen). --Ulkomaalainen 01:52, 4. Mai 2008 (CEST)

Was nun wirklich konvergiert, ist hier nicht wichtig, sondern was Konvergieren bedeutet. D. h., dass weder bei einer Folge, noch bei einer Reihe niemals der Grenzwert in ihnen eingeschlossen ist, dass er nicht zu ihnen gehört, dass er kein Teil davon sei.--Michael 11:20, 4. Mai 2008 (CEST)

Das "zur gleichen Zeit" ist das Problem. Für Zenon gilt "zur gleichen Zeit" eben nicht die Zeit vom Start her, sondern immer wieder von einem anderen Referenzpunkt, von einem neuen Bezugspunkt her. D. h. für "einen" ganz bestimmten Lauf vom Start bis zum Zusammentreffen, kann man nicht verschieden lange Zeitabschnitte, verschiedene Dauer nehmen, möchte man zwei verschieden Bewegungen vergleichen. Das sollte die Erkenntnis aus dem Paradoxon sein.--Michael 11:30, 4. Mai 2008 (CEST)

Doch um diese Schlussfolgerung zu ziehen, war die "Zeit Zenons" nicht reif genug.--Michael 12:31, 4. Mai 2008 (CEST)

Wenn man zwei Strecken genauer vergleichen möchte, so benutzt man "eine" Längeneinheit. Und wenn man eventuell verschiedene benützt, dann müssen diese alle durch die kleinste dargestellt werden können. Bei Zenon gibt es aber keine kleinste.--Michael 16:54, 4. Mai 2008 (CEST)

Da magst Du recht haben. Zenon hat ja auch die Relativbewegung thematisiert. Es ist dennoch die Frage, ob er verboten hat Zeiten in Verhältnisse zueinander zu setzen. Die Proportionen waren zu Zenons und auch zu Aristoteles Zeit sicher ein eigenständiger Begriff, der mit den beiden anderen nämlich Zahlen und Größen in Zusammenhang gebracht werden mußte. Ich denke da ist der Ansatzpunkt zur Moderne, die die Proportionen einfach in den Vordergrund gerückt hat und alles über sie erklärt, wobei die Sicht auf die Einheiten und Größen der Zahlen verlorengegangen ist. --Room 608 18:32, 4. Mai 2008 (CEST)

Sorry, aber was konvergiert ist schon wichtig: was damals das neue, gewissermaßen "undenkbare" war, war die Tatsache, dass man unendlich viele Zahlen immer noch mal dazuaddieren kann und das Ergebnis endlich bleibt. --Ulkomaalainen 18:57, 4. Mai 2008 (CEST)

Aristoteles wußte das doch, er hat zwei geteilt und geteilt und geteilt so oft er wollte und konnte das wieder zusammenfügen, und wie es bei der Teilbarkeit keine Grenzen gibt, so läßt sich dies immer wieder zusammenfügen. --Room 608 19:03, 4. Mai 2008 (CEST)

die Voraussetzung des Zenon'

Zenon setzt voraus, dass Achilles die Schildkröte einholt und "beweist", dass er das nicht kann. Nur sagt uns seine Voraussetzung nicht, wo genau der Einholpunkt auf der Strecke ist und wann sie sich treffen. Wenn man einem anderen sagt:"Wir treffen uns", dann werden wir uns sicher nur durch Zufall treffen. Das Einholen ist doch nichts anderes, als ein Zusammentreffen. Die logische Schlussfolgerung Zenons an sich ist wohl unbestritten richtig, nur ergibt seine Voraussetzung: sein Denkansatz, keinen Sinn. Weil Achilles kein genaues Einholziel hat, kann er auch kein genaues erreichen!--Michael 16:50, 4. Mai 2008 (CEST)

Das schöne ist ja, wir kennen von Zenon den Wortlaut des Paradoxons nicht, nur von Aristoteles und Simplikios. Was wir vorliegen haben vervollständigen wir zu einer Paradoxie, jeder in einem anderen Sinne, je nach dem, was er verstanden hat. Die einen strenger, die anderen oberflächlicher. --Room 608 18:35, 4. Mai 2008 (CEST)

Ausführlichere Version des Artikels

Hallo! Ich fand den Artikel früher viel ausführlicher und informativer. Deswegen hab ich mal den Link zu der alten Version gesucht, falls sie jemand lesen möchte, der sich hier auf die Diskussionsseite verirrt. Hier ist der Link: Alte Version (nicht signierter Beitrag von 217.229.211.71 (Diskussion) )

Wenn es Dir entgegen den Absichten einiger Wikipedinaer gelingt, baue es wieder so aus. --Room 608 00:23, 9. Mai 2008 (CEST)

Bitte stellt wieder die alte Version ein. Dieser Diskussionsquatsch bringt niemanden weiter und die "alte Version" ist definitiv jene, die am häufigsten gesucht wird. Jeder Mathematiker und Physiker spricht einmal von diesem Paradoxon... (nicht signierter Beitrag von 77.182.201.100 (Diskussion) )

Ich werde es ansprechen. --Room 608 21:24, 10. Mai 2008 (CEST)

Alles Blödsinn:

Bedingungen: Achilles läuft in der gleichen Zeit wie die Schildkröte den 10fachen Weg.

Startpunkt:

- Schildkröte 10m
- Achilles 0m

Schritt 1: Schildkröte läuft 1m

- Schildkröte 11m
- Achilles 10m

Schritt 2: Schildkröte läuft 0,1m

- Schildkröte 11,1m
- Achilles 11m

Schritt 3: Schildkröte läuft 0,1m

- Schildkröte 11,2m
- Achilles 12m

Achilles hat die Schildkröte überholt... hab ich jetzt gewonnen? Und alle 50 Seiten über mir sind sinnlos!?

Hast gewonnen. Ein Grenzwert gehört dennoch nicht zu den Werten der Reihe selbst. Bei Zenon bleibt das Rennen ja auch stehen.--Room 608 13:47, 5. Jun. 2008 (CEST)

Wie alle Paradoxa, die ja doch nur in Gedanken existieren, da man zwar so denken kann, sich entsprechenddes in der Realität jedoch nie so abspielt, existiert auch dieses Paradiox nur im Kopf von Leuten, die sich zwingen, künstliche Vorgaben, die nicht real sind, als Realität anzunehmen ...

Ich kann ehrlich gesagt die ganzen mathematischen Erklärungsversuche nicht nachvollziehen (ok, inhaltlich schon, ich erkenne nur nicht ihren Sinn, da sie alle der ursprünglichen Vorgabe unterworfen sind. Schauen wir uns das Szenario mal genauer an, stellen wir fest, daß der Philosoph den Beobachtunszeitraum begrenzt ... er weiß ganz genau, daß es einen Zeitpunkt gibt, an dem der Läufer die Schildkröte überholen wird ... also legt er einfach fest, daß der gesamte zu beobachtende Zeitraum vor diesem Zeitpunkt endet ... er weigert sich also, weiter zu beobachten und tut dies, indem er den Trick der Teilung anwendet, um die Illusion einer kontinuierlichen Beobachtung zu erzeugen ... daher tastet er sich immer langsamer in Richtung des Überholpunktes vor - wohl wissend, daß seine künstliche Vorgabe es nie erlauben wird, diesen Zeitpunkt jemals zu erreichen ... er betrachtet nicht die Realität, sondern eine künstlich herausgegriffene und daher begrenzte Teilmenge der Realität ... und innerhalb dieses Szenarios hat er völlig Recht .... denn egal wie lange man das Rennen unter Berücksichtigung seiner Vorgabe beobachtet ... innerhalb der von ihm vorgegebenen zeitlichen Eingrenzung wird der Läufer die Schildkröte tatsächlich nie überholen können ... Das ganze Hin-Und-Her-Rechnen lenkt allerdings von einem relevanten Punkt ab: Nämlich davon, daß die Vorgabe die scheinbare Schlußfolgerung vorwegnimmt ... er beschränkt das Gedankenexperiment von vorn herein so, daß innerhalb des beobachtbaren Zeitfensters die Schildkröte nicht überholt werden kann ... und spiegelt dem Zuhörer dann vor, daß es eine entsprechende Schlußfolgerung geben könne, die etwas anderes aussagt ... anders würde sein Publiikum ja nicht nachdenken, wie er das gerne möchte ... das jedoch ist widersinnig ... so wie das bei einem Paradoxon auch sein soll ... Wenn man die Ausgangssituation so manipuliert, daß ein vorgegebenes Ereignis eintreten muß, werden die Zuhörer lediglich geleimt, die versuchen, dies als ernsthafte Frage zu betrachten ... Jeder, der auch nur anfängt, die Implikationen des Philosophen rechnerisch nachzuverfolgen, ist seiner Manipulation auf den Leim gegangen ... ein bißchen Logik schützt dagegen vor jedem Paradoxon ... Chiron McAnndra 20:41, 22. Aug. 2008 (CEST)

Es ist nicht gerade unüblich Probleme so lange komplizierter zu machen bis man sie selbst nicht mehr versteht - und aus diesem Unverständnis dann eine (irgendeine) Aussage herzuleiten (vgl. Gottesbeweise). Du hast völlig Recht Zenons "Paradoxon" beobachtet explizit nur die Zeit vor dem Überholen (Vorsprung wird halbiert). Das Überholen kann dann natürlich nicht mehr beobachtet werden.

Den Anschein einer Paradoxie erweckt es nur weil in der Formulierung nur Bezug auf die zurückgelegte Strecke genommen wird, nicht jedoch auf die Zeit in der das geschieht. Grundsätzlich halte ich das Paradoxon aber doch für sinnvoll. Dann aber als Grundlange für das Sinnieren über Raum und Zeit. Sind Raum und Zeit denn überhaupt kontinuierlich? Eine Frage, die hier größtenteils ignoriert wird. Interessant, oder? Man philosophiert über die Lösung eines Problems ohne überhaupt das Problem vertanden zu haben...

Wir haben vier Fälle:

• Raum diskret, Zeit diskret
• Raum diskret, Zeit kontinuierlich
• Raum kontinuierlich, Zeit diskret
• Raum kontinuierlich, Zeit kontinuierlich: Das ist das was hier im Rahmen mathematischer Modelle diskutiert wird. Aber eigentlich die einfachste Variante. Den Überholzeitpunkt kann man einfach bestimmen. Ebenso einfach kann man bestimmen, dass der Überholzeitpunkt nicht im Betrachtungszeitraum liegt. Dass Achilles die Kröte im Betrachtungszeitraum nicht überholt ist wahr, aber es folgt keine besondere Erkenntnis aus diesem Umstand.

Vor allem die Fälle bei denen Raum und/oder Zeit diskret sind finde ich interessant. Was bedeutet es denn wenn man Zeit frei unterteilen kann, aber nicht den Raum (wir würden trotz fortschreitender (sehr kleiner) Zeit Achilles "ruhen" sehen).

Interessant bedeutet aber nicht, dass es jetzt wirklich ein Paradoxon wäre...--91.45.72.122 11:42, 12. Apr. 2009 (CEST)

Formaler "Beweis"

Den Abschnitt habe ich wieder entfernt, da weder klar war, was überhaupt gezeigt werden sollte, noch Beweise hier gern gesehen werden, noch Quellen angegeben waren und sich erst recht nicht der enzyklopädische Sinn dieser Rechnung erschloss. --Complex 22:08, 29. Okt. 2008 (CET)

• Die Rechnung beweist genau das, was sie beweisen soll: Eine unendliche Reihe hat einen endlichen Wert. Die Zeit, die Archilles braucht, wird durch den Reihenwert gegeben, und der ist nicht nur endlich, sondern auch der, der anschaulich zu erwarten ist: Vorsprung/Differenz der Geschwindigkeiten. Da den Beweis jeder mit elementaren Mathematikkentnissen verstehen/nachrechnen kann, sind auch keine Quellenangaben notwendig. Dafür, dass sich dir der Sinn der Rechnung nicht erschließt, kann sie nichts :) LG, --Emes2k 20:03, 5. Nov. 2008 (CET)

Wenn es in diesem Artikel wirklich eines Beweises der offensichtlichen Tatsache bedarf, dass ein schnellerer einen langsameren immer einholen wird, wenn er dafür nur genügend Zeit hat, kann dieser jedenfalls in einfacherer als der von Dir angegebenen Weise geführt werden. --Zipferlak 20:23, 5. Nov. 2008 (CET)

Danke für die Info. Man nennt ein Paradoxon übrigens Paradoxon, weil es im Widerspruch zu einer offensichtlich trivialen Einsicht steht. Das Paradoxon von Zenon steht im Widerspruch zu der offensichtlichen Erkenntnis, dass ein schnellerer einen langsameren überholt. Gelöst ist das Paradoxon dann, wenn man dies nicht aus der Anschauung, sondern aus den Voraussetzungen des Paradoxons erhält, was in formaler Art und Weise durch das Aufstellen der geometrischen Reihe geschieht. Die Rechnung beweist alles und macht auch die 50 Seiten Diskussion über mir obsolet ($d_{0}$: Vorsprung der Schildkröte, $v_{A},v_{S}$: Geschwindigkeiten von Achilles/Schildkröte). --Emes2k 22:39, 5. Nov. 2008 (CET)

${\begin{array}{ccl}T=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}&=&d_{0}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {v_{S}^{k-1}}{v_{A}^{k}}}\\&=&{\frac {d_{0}}{v_{A}}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {v_{S}}{v_{A}}}\right)^{k-1}\\&=&{\frac {d_{0}}{v_{A}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {v_{S}}{v_{A}}}\right)^{k}\\&=&{\frac {d_{0}}{v_{A}}}{\frac {1}{1-v_{S}/v_{A}}}\\&=&{\frac {d_{0}}{v_{A}-v_{S}}}\end{array}}$

Für die, die es nachrechnen wollen: $t_{1}$ ist die Zeit, die Achilles für den Anfangsvorsprung $d_{0}$ braucht, nämlich $t_{1}=d_{0}/v_{A}$. In dieser Zeit gewinnt die Schildkröte den neuen Vorsprung $d_{1}=t_{1}v_{S}$. Für diesen Vorsprung braucht Achilles die Zeit $t_{2}=d_{1}/v_{A}=d_{0}v_{S}/v_{A}^{2}$ usw. Alle Zeiten aufsummieren, geometrische Reihe auswerten - fertig! Und alle Widersprüche sind in Wohlgefallen aufgelöst. Grafisch zeigt diese Lösung übrigens das weiter oben gepostete Bild. Danke für die Geduld, und auf Wiedersehen. --Emes2k 23:02, 5. Nov. 2008 (CET)

"Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann." steht direkt im Artikel, der "formale" Beweis ist trivial. Wo genau liegt das Problem? --Complex 22:57, 5. Nov. 2008 (CET)

Magst du die Lösung des Paradoxons einmal in Worten für mich zusammenfassen? (Bitte nicht den Satz zitieren, den kenne ich...). --Emes2k 23:03, 5. Nov. 2008 (CET)

Man betrachte das Problem in dem Bezugssystem, in dem die Schildkröte ruht. Für t=0 liegt Achilles im Abstand d_0 > 0 hinter ihr. Er bewegt sich mit der Relativgeschwindigkeit v_R = v_A - v_S > 0 auf sie zu. Für t < d_0 / v_R liegt Achilles hinter der Schildkröte. Bei t = d_0 / v_R hat er sie eingeholt. Für alle t > d_0 / v_R liegt er vor ihr. Das ist elementare Kinematik. --Zipferlak 00:58, 6. Nov. 2008 (CET)

Ach nee, ob du's glaubst oder nicht, ich bin durchaus in der Lage, das direkt auszurechnen. Aber damit ist das Paradoxon nicht gelöst, sondern damit fängt es erst an: Zenons Argumentation scheint nämlich im Widerspruch zur "elementaren" Kinematik zu stehen (das ist ja gerade der Sinne eines Paradoxons). Um diesen Widerspruch zu lösen, muss man das gleiche Ergebnis mit Zenons Argumentation herleiten. --Emes2k 07:45, 6. Nov. 2008 (CET)

Zenon konstruiert eine monotone, (unendliche) Folge von Zeitpunkten, die alle kleiner als d_0 / v_R sind. Für alle diese Zeitpunkte liegt die Schildkröte vorne. Die scheinbare Widerspruch resultiert daraus, dass die Existenz monotoner, beschränkter Folgen gegen die (nicht mathematisch vorgebildete) Intuition ist. --Zipferlak 11:46, 6. Nov. 2008 (CET)

Ja, so ist es. Und warum hast du dann Probleme mit dem Beweis? Im Prinzip geht es mir ja auch nicht darum, ob die Rechnung da steht oder nicht, aber die Begründungen fand ich relativ absurd. Warum hast du z.B. vorher geschrieben

"Wenn es in diesem Artikel wirklich eines Beweises der offensichtlichen Tatsache bedarf, dass ein schnellerer einen langsameren immer einholen wird, wenn er dafür nur genügend Zeit hat, kann dieser jedenfalls in einfacherer als der von Dir angegebenen Weise geführt werden"

Offenbar hast du die Idee des Paradoxons ja verstanden und siehst ein, warum man die Idee mit der Reihe braucht, um das Paradoxon zu lösen. Wie passt das mit obigem Zitat(en) zusammen? --Emes2k 19:18, 6. Nov. 2008 (CET)

Ich verstehe leider nicht genau, was Du jetzt von mir erwartest. Da ich in meiner Antwort nicht an Dir vorbeireden will, wäre ich Dir dankbar, wenn Du dies noch etwas verdeutlichen könntest. --Zipferlak 02:43, 7. Nov. 2008 (CET)

@Zipferlak. Vergessen Sie alle mathematischen Beweise. Wenn Sie meinen: ein Schnellerer einen Langsameren immer einholen wird, wenn er dafür nur genügend Zeit hat, dann haben Sie damit schon das Paradoxon gelöst. Man kann doch drei Arten von Laufzeiten des Achilles unterscheiden: Nachlaufzeit, Einholzeit und Überholzeit. Zenons Denkansatz lässt aber nicht zu, dass Achilles die Einholzeit erreicht.

Anders gesagt: Die Forderung Zenons bezieht sich nur auf die Orte auf der Laufbahn, diese sieht er. Er stellt aber keine Bedingung an die Laufzeit; er hat noch keine klare Vorstellung von der Zeit, bzw. Bewegung. Nur wenn man sowohl den Laufweg, wie auch die entsprechende Laufzeit kennt, kann man bestimmen, wo und wann sich die beiden Läufer treffen. Erst dann ist eine Bewegung eindeutig beschrieben!!!

Die Bedingung: "Achilles muss zuerst dahin kommen, wo die Schildkröte gerade ist", ist eine notwendige Bedingung (falls er in der Spur der Schildkröte bleiben muss), es ist aber keine hinreichende für das Einholen der Schildkröte--Michael 18:39, 12. Nov. 2008 (CET)

Hallo, dieser Beweis sollte IMHO unbedingt auf die Artikelseite, mit der momentanen Erklärung kann man gar nichts anfangen. Vor allem das eigenwillige "x" ist sogar falsch! -- Ich (nicht signierter Beitrag von 79.212.211.232 (Diskussion | Beiträge) 01:02, 11. Apr. 2010 (CEST))

Redneck

"Also warum überholt Achilles die Schildkröte nicht? Nehmen wir an, die Strecke die Achilles pro Minute zurücklegt sei 1A -> also 1A/min. Wenn Achilles nun 4 mal so schnell wie die Schildkröte ist dann ist der Abstand zwischen Achilles und der Schildkröte bei jedem Betrachtungspunkt durch die Folge an = (1/4)^n > 0 für alle n ∊ Z >=0 gegeben.Da an dadurch immer positiv ist, holt Achilles die Schildkröte während des Experiments nicht ein.

Jedoch muss man auch die Zeit berücksichtigen. Die Messungen von Zenon finden zu den Zeitpunkten t1=1, t2=t1+1/4, t3=t2+1/16, t4=t3+1/64 ... statt. Das heißt, nach der n-ten Messung ist die Gesamtzeit Tn = ∑ k von 1 bis n (1/4)^n = (1-(1/4)^(n+1)/(1-1/4) = 4/3*(1-(1/4)^(n+1))vergangen. (geometrische Summenformel) Somit kommt es zu einer Häufung der Zeitpunkte und Positionen!

Nun sollte man erkennen können, dass keine der Messungen später als Tmax = 4/3 stattfindet. Also holt Achilles die Schildkröte nicht niemals ein, sondern er holt sie nicht innerhalb der ersten 4/3 Minuten des Experiments ein!

Da die geometrische Reihe x^n für x<1 und n ∊ N konvergiert, konvergiert auch unsere Reihe Tn. q.e.d."

Gefunden auf http://forum.szene1.at/viewtopic.php?f=47&t=34666&start=0&st=0&sk=t&sd=a --Michael 14:29, 19. Nov. 2008 (CET)

zu jedem Zeitpunkt

Der Ausdruck - zu jedem Zeitpunkt - ist irreführend. Es gibt nur dann einen Vorsprung, wenn der betrachtete Zeitpunkt vor dem Einholen liegt; ist es ein Zeitpunkt nach dem Einholen, dann gibt es für die Schildkröte auch keinen Vorsprung mehr. Daraus folgt, dass man entweder zu jedem Zeitpunkt weglässt oder ihn ergänzt mit: der vor dem Einholen ist. -- Michael 11:00, 23. Dez. 2009 (CET)

Zeit (und Raum) nicht beliebig unterteilbar

Hallo Wissenschaftler. Mehr eine Frage als eine Theorie. Seit Jahren farge ich mich, ob man Achilles Schildkröten Paradoxon mit der relativ neuen Erkenntnis widerlegen kann, dass die Zeit (wie der Raum auch) nicht beliebig fein unterteilbar sind. Siehe auch Planck-Einheiten Was meint ihr? --Doogiemuc 08:23, 23. Mär. 2010 (CET)

Der Artikel sieht in den älteren Versionen total anders aus, ich erinnere mich, dass ein Absatz mal auf die Planckeinheiten einging, aber er wurde, glaube ich, auch deshalb rausgenommen, weil die Argumentation an der Sache vorbeiging. Schau mal ob Du ihn allein findest. --Room 608 08:49, 23. Mär. 2010 (CET)

Musst ins Diskussionsarchiv schauen. --Room 608 08:55, 23. Mär. 2010 (CET)

Einfache Frage an alle: Wer hat schon mal "den Raum" halbiert? Diesen Menschen möchte ich unbedingt kennen!!! "Raum", was ist das überhaupt? Man kann nur ein "Ganzes", welches mindestens aus zwei gleichen Teilen besteht halbieren, oder täusche ich mich?!!-- Michael 15:42, 3. Mai 2010 (CEST)

Sinn von Paradoxa

Es wird wenig Zweck haben, sich an der Lösung eines Paradoxons zu versuchen. Ein Paradoxon ist keine Rätselaufgabe. Wenn man es "gelöst" hätte, wäre es ja kein Paradoxon mehr. Es geht um die Möglichkeiten, mit den Mitteln der brgrifflichen Sprache (Logos) die Welt zu verstehen, zu beschreiben und zu diskutieren. Wenn ein sprachliches (logisches) Mittel ganz offensichtlich an der Wirklichkeit vorbei geht, denn wie jedem Kind war auch Zenon sonnenklar, dass Achilles das Reptil überholt, kann man damit entweder auf unterhaltsame (rhetorische) Art Kritik an blindem Vertrauen auf diese Mittel üben oder aber auf ein vorhandenes Defizit des logischen Instrumentariums hinweisen. Der Clou ist ja gerade, dass gemäß der inneren Setzung eines Paradoxons kein logischer Fehler vorliegt und so limitiert schlüssig das frappierende Ergebnis formal "bewiesen" werden könnte. In diesem Fall ist es der inadäquate Ansatz, den man, überrumpelt von der inneren Logik einfach schluckt.--Kapuzino 04:28, 14. Aug. 2011 (CEST)

Sehr gut geschrieben !!! (nicht signierter Beitrag von 91.40.92.207 (Diskussion) 00:35, 24. Dez. 2011 (CET))

Ich hab jetzt endlich die Lösung

Ich hab jetzt die Lösung: Der Trick an der Sache ist, dass man die Beobachtungszeitpunkte immer weiter verkürzt und diese letztendlich gegen Null tendieren. Kein Wunder, dass die beiden nicht ankommen. Man gibt ihnen durch die kleinen Beobachtungszeitpunkte ja gar keine Gelegenheit dazu. In der Realität gibt es diesen Fall der immer kleiner werdenden Beobachtungszeitpunkte gar nicht, deswegen läuft der schnellere irgendwann vorbei. Dazu musste ich nicht mal studieren. (nicht signierter Beitrag von 91.40.93.183 (Diskussion) 21:34, 11. Okt. 2011 (CEST))

Wichtig ist nur, dass Du beim Überholversuch daran denkst ;-) Sonst passiert dies: Auffahrunfall. Wenn Achilles die Schildkröte treffen will, muss er zum Schluss tatsächlich immer dahin laufen, wo die Schildkröte vorher war. Will er sie überholen, so muss er irgendwann an ihr vorbei und darf nicht mehr zum gleichen Punkt. Für die Schatten der beiden Läufer oder gedachte Lichtpunkte gilt dies natürlich nicht mehr. Oder doch? Als Welle können sie sich überlagern und als Teilchen auch treffen. Entweder oder, beides zusammen geht nicht. --Rebiersch 15:02, 12. Feb. 2012 (CET)

über mathematische Intervalle

Nur bezogen auf ein halb-abgeschlossenes Intervall - wie z. B. [0,100[ kann man von einem Vorsprung der Schildkröte sprechen, das heißt: Nur für die Punkte vor dem Einholpunkt ergibt die Aussage 2. einen Sinn. --Michael 17:24, 12. Nov. 2008 (CET)

Allerdings spricht Zenon weder von einem unendlich langen Weg, noch von einer unendlich langen Zeit! --Michael 17:44, 12. Nov. 2008 (CET)

Rechnung kommt nicht mit

Wenn man immer wieder zuerst den Läufer laufen lässt bis er da ist wo die Schildkröte war, und dann die Schildkröte weiter laufen lässt, dann Teilt man nicht nur immer die Strecke durch 2, sondern auch die Zeit, was aber nicht heißt, daß der Läufer die Schildkröte nie erreicht, sondern nur, daß man mit seiner Rechnung nie den Zeitpunkt erreicht, in dem der Läufer auf gleicher Höhe wie die Schilkröte ist, sondern immer nur Zeitpunkte, die beliebig kurz davor sind. Das ist doch Sonnenklar! Ein Beispiel in dem es gleich jedem einleuchtet ist vielleicht folgendes: Man Nehme eine 1, dann zähle man immer wieder 2 dazu". Paradoxerweise erreicht man niemals die 6! Warum? Weil man die Rechenregeln so aufgestellt hat, das es halt einfach nicht geht. Das einige Paradoxon ist, daß das so viele Leute nicht auf Anhieb durchschauen. Intersexuell muss man dazu auf jeden Fall nicht sein. Und schon gar nicht in der letzten Ecke sitzen.--TeakHoken193.187.211.118 14:53, 16. Feb. 2007 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von Istvancsek (Diskussion | Beiträge) )

einfache Rechnung

wieso ist nicht die einfache Berechnung im Artikel erwähnt?

Achilles und die Schildkröt kann man auch ohne Infinitesimalrechnung lösen, indem man den Treffpunkt als x bezeichnet und den Lauf der Schildkröte dem Lauf des Achilles gleichsetzt

GEG: A [km/h], S [km/h], V [km],

GES: Treffpunkt x, bzw Laufzeit t.

t * A = t * S + V

t = V / (A-S)

x = t * A

rairai 00:43, 19. Feb. 2012 (CET)

Ständiger unzulässiger Beobachtungspunktwechsel erklärt das "Paradox" elegant

Was ist mit dieser Erlärung?

http://www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html

-- 188.104.120.223 17:53, 3. Mai 2012 (CEST)

Hier die einfache, logische und mathematikfreie Erklärung. Es hakt nämlich an der suggestiven Fragestellung von Zenon die uns auf die ständig falsche Fährte lockt:

Stellen Sie sich vor, das Rennen zwischen Achilles und der Schildkröte wäre mit einer Filmkamera aufgenommen worden und unsere Beobachter sehen sich jetzt den Film an:

- Der naive Beobachter läßt den Film einfach ablaufen und freut sich dran.

- Zenon hingegen sieht sich den Film bis zur Hälfte ganz normal an, schaltet dann den Projektor auf Zehnfach-Zeitlupe, stellt fest, daß Achilles (bei der Projektion) für den wesentlich kürzeren Weg nun genauso lange braucht wie zuvor für den langen, schaltet nun auf hundertfache Über-Zeitlupe, macht wiederum die gleiche Beobachtung von Achilles Langsamwerden und schaltet dann auf Super-, schließlich auf Giga-Zeitlupe usw. usf. Das heißt: Zenon "beobachtet" in diesem Gedankenexperiment gar nicht, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird.

Sondern? Sondern er weigert sich einfach, hinzuschauen, solange hinzuschauen, bis Achilles das Tier eingeholt hat. Indem er die Beobachtung, nur die Beobachtung, nicht den tatsächlichen Ablauf ad infinitum zerdehnt, kommt er zu seinem sensationellen, beunruhigenden Paradox "Achilles ist ganz knapp hinter der Schildkröte. So, in der Bewegung eingefroren, wie die beiden jetzt sind, lassen wir sie stehen und diskutieren die nächsten zweieinhalb Jahrtausende darüber, warum Achilles die Schildkröte nicht einholen kann." Hätte Zenon die Geschichte auf diese Weise erzählt, hätte er niemals Generationen von Philosophen und Mathematikern zum Narren halten können. So aber zwingt er sie mit einem Taschenspielertrick zu komplexen Infinitesimalgleichungen, wo Kopfrechnen - ach was! - Nachdenken (nicht signierter Beitrag von 178.10.106.33 (Diskussion | Beiträge) 23:54, 3. Mai 2012 (CEST))

Dies ist - vielleich noch leicht unformuliert - tatsächlich eine ausgezeichnete, für Laien geeignete Erklärung dieses Paradoxons.

-- Henry78 (Diskussion) 11:12, 18. Mai 2012 (CEST)

Wie ist es nun aber tatsächlich?

Dass Achilles die Schilddrüse überholen wird, dürfte klar sein. Kann es sie aber tatsächlich im eigentlichen Sinne einholen? Angenommen, er habe sie eingeholt, wenn das vorderste Atom von Achilles die gleiche Entfernung zum Startpunkt habe, wie das letzte Atom der Schilddrüse, kann dann unter dieser Annahme ein genauer Zeitpunkt und Ort bestimmt werden? Oder muss besser formuliert werden: obwohl Achilles die Schilddrüse überholen wird, kann er sie bei genauer Betrachtung zu keinem exakt angegebenen Zeitpunkt eingeholt haben? --79.248.147.75 23:17, 16. Okt. 2012 (CEST)

Zeitpunkt und Stelle lassen sich sehr wohl mathematisch genau bestimmen. Die bei Anmerkungen 1 und 2 gegebenen Werte berechnen in der Tat den Einholmoment, nicht den Überholmoment - obwohl bei genauer Betrachtung der Unterschied dieser beiden gegen Null geht und sie damit dieselben sind. --Ulkomaalainen (Diskussion) 16:00, 3. Nov. 2012 (CET)

Mathematisch auf jeden Fall. Wenn Achiles 10m/s schneller läuft als die Schildkröte und der Abstand 10m, so holt er sie sicher nach 1 Sekunde ein. Daran ändert sich nichts wenn man gedanklich für die verstrichene Zeit die Reihe 1/2s+1/4s+1/8s+1/16s....=1s bildet und die Wegstrecke mit 5m+2,5m+1,25+10/16m+10/32m...=10m berechnet. Bei einer gedanklichen Verkleinerung im Makrobereich ergibt sich auch kein Problem. Nach ca 10 Zyklen ist der Abstand auf ca 1/1000 also ca 1cm geschrumpft. Nach 30 Zyklen auf ca 10nm und nach 50 Zyklen im Femtometerbereich. Solange man Zeit und Ort als eine Art Kontinuum und unabhängig voneinander betrachtet, gibt es auch kein Problem. So klug war Zenon bestimmt auch. Wenn Zeit und Strecke aber nicht beliebig teilbar sind oder beide im Femtometerbereich nicht mehr als unabhängig voneinander betrachtet werden dürfen, so ergibt sich der Widerspruch, dass "Einholen" zu einem genauen Zeitpunkt und genauen Ort mit konstanter Geschwindigkeit nicht vorstellbar ist. Oder anders formuliert: wo genau befindet sich die "Spitze" von Achilles im obrigen Beispiel, wenn der Abstand auf 1/2 Femtometer geschrumpft ist und mit welcher Geschwindigkeit bewegt sie sich. Läßt sich das Einholen unter Kenntnis der Parameter in diesen Größenordnungen exakt vorhersagen oder nur noch mit einer Wahrscheinlichkeitsangabe? --79.248.150.157 02:27, 4. Nov. 2012 (CET)

So "klug" war Zenon sicherlich, ihm fehlte allerdings das mathematische Wissen. Die Frage, ob unsere Welt stetig oder nur gequantelt ist, ist (noch?) nicht geklärt. Da allerdings sowohl Achilles als auch die Schildkröte mesoskopisch sind, werden keine Heisenbergprobleme auftreten, wenn denn die Welt stetig ist, unabhängig vom Abstand, dementsprechend wäre auch die Geschwindigkeit selbstredend die von Anfang an unterstellte. Es sei denn, Du willst darauf hinaus, dass wir hier "das vorderste Elektron" messen müssten, das im Kontext nicht konstant zum Massenschwerpunkt der beiden Rennenden steht - in dem Falle hättest Du wieder recht, dass Geschwindigkeit und genaue "Spitze" nicht beide genau messbar wären. Dann kommen wir aber wiederum zum Problem, dass wir für eine mathematische Betrachtung auch gar nicht messen müssen, es reichte das theoretische Wissen im Modell. Das aber wiederum... und so weiter.

Im Sinne der philosophischen Erörterung einer philosophischen Frage sicherlich interessant, aber zum einen leider nichts für den Artikel (es sei denn, jemand hätte die für uns erledigt, sonst wäre es OR), zum anderen für das (vermeintliche) Paradoxon auch ohne Belang, da ein Ein- und Überholvorgang in jedem Fall stattfindet, egal ob wir wissen, wo und wann genau. --Ulkomaalainen (Diskussion) 23:47, 4. Nov. 2012 (CET)

Auf die Idee ausgerechnet ein Elektron als Bezugspunkt zu wählen, wäre ich nicht gekommen. Im Grunde ist dies auch nicht nötig, da Zenon davon ausgeht, dass es einen Startpunkt gibt. Was sich auch immer vom mesoskopischen Achilles am Startpunkt befinden mag, kann gedanklich als Bezugspunkt gewählt werden. Dass tatsächliches Messen unendlich klein werdener Abstände nie möglich sein wird, ist klar. Hierfür muss Heisenberg nicht bemüht werden. An der Formulierung "da ein Ein- und Überholvorgang in jedem Fall stattfindet" hätte Zenon seine Freude gehabt. Klar ist für einen Beobachter lediglich, dass ein Überholvorgang stattfindet. Oder anders: wenn die Frage, ob unsere Welt stetig oder (nur) gequantelt ist, noch als ungeklärt betrachtet werden muss, so ist auch die Frage ob ein Einholvorgang im eigentlichen Sinn stattfindet noch nicht zu beantworten. Die richtige Antwort auf die oben gestellte Frage wäre m.E. also: Wir wissen es nicht. --79.199.111.88 21:46, 6. Nov. 2012 (CET)

Ihr habt es richtig bemerkt: Es geht im Kern darum, ob Raum und Zeit unendlich teilbar sind oder nicht, was bis heute niemand mit Sicherheit sagen kann. Darum missfällt mir auch die Tatsache, dass im Artikel das Paradoxon als Trugschluss abgetan wird und man den Alten unterstellt, sie seinen sozusagen zu blöd gewesen zu erkennen, dass etwa 0,999... = 1 gilt, was mathematisch leicht zu beweisen ist. Rein mathematisch mag es fast trivial sein, aber diese Mathematik bildet nicht unbedingt eins zu eins die physikalische Wirklichkeit ab, was mit dem Paradoxon gerade thematisiert wird. Es geht hier um Physik, nicht um Mathematik: Wenn wirklich unendlich viele Punkte in Raum und Zeit existieren, dann ist es durchaus paradox, dass man realiter überhaupt unendlich viele Punkte (in einem Intervall) nacheinander durchlaufen kann, und das auch noch in endlicher Zeit. Der einzige Trugschluss bei der Sache ist, dass man jetzt meint, das Paradoxon sei gar keins, sondern beruhe nur auf einem Denkfehler, wobei man trügerisch von der künstlichen Mathematik auf die natürliche Wirklichkeit schließt.

„Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk" soll der berühmte Zahlentheoretiker Leopold Kronecker (1823-1891) erklärt haben.

Nachtrag: Ich möchte noch einen Schritt weiter gehen und sagen, dass die Alten mit diesem Paradoxon bereits *bewiesen* haben, dass Raum und Zeit eben *nicht* undendlich teilbar sind. Erst wenn man diese Erkenntnis akzeptiert, löst sich das Paradoxon auf. Anscheinend will das aber kaum jemand wahrhaben, selbst die moderne Physik rätselt noch, obwohl sich theoretisch und empirisch die Hinweise häufen, dass es sich wirklich so verhält. Don P --87.245.76.113 17:47, 9. Feb. 2013 (CET)

Die Logik kommt nun einmal weit vor der Mathematik

Der zentrale Wert der Paradoxie von Achill & Schildkröte ist nach Auffassung der griechischen Philosophen der Antike nicht die Frage nach der Notwendigkeit, die Mathematik zu beherrschen, um das bewusst verleitend vorgetragene Rätsel zu lösen.

Es ging hier vor allem um die Frage, ob die Logik die Grundlage aller Wissenschaften sein kann, wenn sie den Verstand zu verhexen in der Lage ist. Diese Frage hat L. Wittgenstein im letzten Jhrt. aufgegriffen und beantwortet, nachdem sich Frege und Russell mehr und fast ausschließlich formal damit befasst hatten.

Die Verhexung des Verstandes findet dadurch statt, dass der Vortrag auf Anhieb plausibel erscheint, man geneigt ist zuzustimmen: Wurde doch gezeigt, dass schon der erste Schritt, der erforderlich ist, um das Ziel zu erreichen, nicht gelingen kann - und dessen Wiederholung an der Sachlage nichts ändern wird. Eine Falle sozusagen, die der Verstand nicht verlassen kann. Eine ähnliche Falle erlebt man (in diffuser Wahrnehmung) bei der Kreter-Paradoxie: Man kommt nicht raus, der Kreter lügt, also ist seine Aussage (dass er lüge) unwahr, also ist er doch keiner, der lügt. Wenn der aber doch sagt, dass er.. In der maschinellen Problemlösung ergäbe sich eine Endlosschleife.

Man darf nun weder nach der Mathematik, noch nach der Berechenbarkeit fragen, wenn es um die Lösung von Rätseln geht, die unsere Fähigkeit zum logischen Denken herausfordern.

Das bedeutet für den Achilles-Fall, dass man aufdecken muss, wodurch der Hütchenspieler den Verstand verhexen konnte. Das gelingt ihm durch die Hinlenkung auf den Vergleich von Streckenlängen:

• Mann müsse zuerst die (durch den Vorsprung bestehende) Teilstrecke schaffen.
• Dann müsse man die nächste Teilstrecke schaffen, dann wiederholt sich das.

Und jedesmal, wenn man eine durchquert, entsteht wieder eine neue, und dagegen kann man sich nicht wehren! Ende!
Das ist logisch einwandfrei hergeleitet und auch nicht neu, dass man eine Hydra nicht besiegen kann. Dass die Strecke, die jeweils neu vorgelegt wird, immer kleiner wird, wird übersehen. Sobald wir das erkannt haben, sehen wir uns dazu veranlasst,

• die Frage zu analysieren, ob eine kleinst mögliche Strecke es verhindert, dass eine weitere entstehen kann oder
• zu überlegen, ob selbst dann, wenn wir es für physikalisch unmöglich halten, noch kleinere Einheiten existieren können, da es doch eine Möglichkeit durch unseren Verstand gibt, stets eine noch kleinere Einheit anzugeben, z.B. durch weitere Nachkommastellen.

Tatsache ist, dass man eine Hydra nicht besiegen kann.
Aber, was hat die Hydra mit einem Wettrennen zu tun?
Geht es beim Wettrennen um die Strecke?
Tatsache ist, dass das Thema Strecke das falsche ist.
Das Wort Thema stammt aus dem Griechischen und bedeutet etwa 'Ort des Gesprächs'.

Wenn du beim Wettrennen gewinnen willst, musst du schneller sein! Es geht um Geschwindigkeit - ausschließlich um speed. Es geht auch nicht darum, was die Geschwindigkeit "macht", z.B. macht sie Strecke aus Zeit. Aber schon dieser Blickwinkel lenkt die Frage richtig: Gleiche Zeit für alle Läufer, also muss der zweite Läufer mehr Strecke aus seiner Zeit herausholen.
=> Damit verlässt der Gefragte den Ort des Gesprächs.

• Ist es gestattet, den Ort des Gesprächs zu verlassen oder gilt dies als unhöflich?
• Ist das Weglaufen ein Zeichen von Flucht, das als angstvolles Ausweichen gewertet werden kann?
• Ist das Verlassen des Themas ein Zeichen von Unfähigkeit, da das Rätsel so nicht zu lösen ist?

Läuft der zweite Läufer mit größerer Geschwindigkeit als der erste, kann er ihn überholen. Der Ort, an dem er vorbeizieht, wird in der Tat nicht mit demjenigen zusammenfallen, an dem der langsamere von beiden gestartet ist.

Folgende Aspekte werden bei der Paradoxon-Darstellung in Wikipedia regelmäßig vernachlässigt:

• Kulturelle Abhängigkeiten und Randbedingungen (z.B. Ist der Satz 'Lassen Sie uns diesen Quatsch beenden' eine akzeptable Antwort?)
• Kommunikationsaspekte, (z.B. Gebe ich mir eine Blöße, wenn ich zögere mit der Antwort? Ist das eine Prüfungssituation?)
• Psychologische Aspekte (z.B. Verbinden Sie die vier Eckpunkte eines Quadrats zu einem Dreieck)

Schließlich ist die Frage wichtig, was ein Paradoxon so interessant werden lässt, dass wir uns intensiv damit beschäftigen anstatt es -was ja durchaus erlaubt wäre- es als Eselei zu verwerfen. (nicht signierter Beitrag von 88.69.147.102 (Diskussion) 16:07, 21. Dez. 2013 (CET))

Ich widerspreche:

Wir lesen: "Der Weg – vor dem Einholpunkt –, den Achilles zurückgelegt hat, kann beliebig oft – potenziell unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese
Teilungshandlung beliebig oft
durchgeführt werden kann, folgt aber nicht,

• dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre
• oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen."

Das "Strecke teilen" kostet im Bild des rennenden Achilles Zeit. => Der Vorgang wird also nicht enden, er wird unendlich dauern. Wenn jemand anderes behauptet, was die Pragmatik (dem Begriff des Dauerns) vorgibt, muss er das begründen. Wenn angenommen wird, dass eine Strecke immer wieder in noch kleinere Teilstrecken zerlegt werden kann, weshalb sollte das "immer wieder" dann ein Ende haben?

Operativ (digital) kann die Kreiszahl nicht dargestellt werden! Dazu hat die Zahl einfach zu viele Stellen. Man kann aber π hinschreiben und vereinbaren, dass das Symbol das Verhältnis der Kreisbogenlänge zum jeweiligen Durchmesser bedeutet. Gewissermaßen von der Endlichkeit der Stellen im Symbol 'π' her zu argumentieren, ist abwegig, weil damit das Symbol alleine, nicht etwa die Zahl gemeint ist.

Da liegt ein relevanter Unterschied: Die Zahl ist mit dem Grenzwert der Reihe hinreichend eindeutig bestimmt. Aber, um sie zu bis zur letzten Stelle genau darzustellen, d.h. operativ und digital, heutzutage mit Hilfe eines Computers, braucht man unendlich lange.

Im Paradoxon des Achilles mit seiner Schildkröte geht es an dieser Stelle nicht um die Zahl als Grenzwert, sondern um die CPU-Zeit! Vielleicht sogar darum, ob die Wahrheit im epsilon der Unendlichkeit gefunden werden kann! (nicht signierter Beitrag von 88.69.147.102 (Diskussion) 16:56, 21. Dez. 2013 (CET))

Welcher Aussage widersprichst du mit Deinen Ausführungen? --Rebiersch (Diskussion) 00:19, 29. Dez. 2013 (CET)