Diskussion:Bessel-Strahl

t als Exponent??

Die Schreibweise ${\vec {r}}=(x,y,z)^{t}$ ist so ungewöhnlich, dass ich sie normalisiert habe. Falls Wiederherstellung gewünscht: bitte die Schreibweise erklären!--jbn (Diskussion) 17:38, 23. Jan. 2015 (CET)

Hi! Wenn's von mir war, ist eine Transposition gemeint (also Spaltenvektoren) ... Ich glaube eigentlich sollte man wohl besser ^T (großes T) ${\vec {r}}=(x,y,z)^{T}$ schreiben ;-) Das ist (glaube ich) üblich. ... Ist aber (glaube ich) nichtw irklich wichtig. Schönes WE, --Jkrieger (Diskussion) 15:37, 24. Jan. 2015 (CET)

OK. Hier einen Unterschied zwischen Spalten- und Zeilenvektor machen zu wollen, käme mir auch mehr als übertrieben vor. Gruß zurück!--jbn (Diskussion) 17:35, 24. Jan. 2015 (CET)

Mathematische Beschreibung: unstimmig

IMHO müsste der Absatz so lauten (damit er 1.stimmig und 2. ohne Studium der Literatur nachvollziehbar wird):

In der paraxialen Optik werden Lichtstrahlen entlang der z-Achse als elektromagnetische Welle in der Form

$U({\vec {r}},t)=A(x,y,z)\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,k_{z}\,z}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\omega \,t}$

beschrieben, wobei ${\vec {r}}=(x,y,z)$ der Ort und $t$ die Zeit ist. Die Amplitudenfunktion $A(x,y,z)$ soll höchstens schwach von $z$ abhängen, so dass die Welle längs der z-Achse näherungsweise periodisch mit der Wellenlänge $\lambda _{z}=2\pi /k_{z}$ ist. Für die Schwingungs-Kreisfrequenz muss gelten $\omega \geq k_{z}\,c$. Für die Größe $k=\omega /c$, die bei einer ebenen Welle die zur Frequenz $\omega$ gehörige Wellenzahl ist, gilt damit $k\geq k_{z}$. Die Größe $k_{T}={\sqrt {k^{2}-k_{z}^{2}}}$ wird als transversale Wellenzahl bezeichnet.

Ist die Amplitude von $z$ sogar vollständig unabhängig (Dispersionsfreier Strahl), muss $A(x,y)$ der paraxialen Helmholtz-Differentialgleichung genügen:

$\nabla _{T}^{2}A(x,y)+k_{T}^{2}A(x,y)=0$

Darin ist $\nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$ der auf die x-y-Ebene eingeschränkte Laplace-Operator.

In Polarkoordinaten $x=\rho \cos(\phi ),\ \ y=\rho \sin(\phi )$ gilt entsprechend $\nabla _{T}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$.

Die Lösung dieser Differentialgleichung unter Annahme von Zylindersymmetrie ergibt nun:

$A(x,y)=A\cdot J_{m}(k_{T}\rho )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,m\,\phi },\ \ m=0,\pm 1,\pm 2,...$

Dabei ist $J_{m}(\cdot )$ die Besselfunktion 1. Art der Ordnung m.

Üblicherweise bezeichnet man den rotationssymmetrischen Spezialfall m=0 auch einfach als Bessel-Strahl. Im Grenzfall $k_{T}\rightarrow 0$ ergibt sich $A(x,y)=const$, also eine ebene Welle mit $k_{z}=\omega /c$ und dem Wellenvektor ${\vec {k}}=(0,0,k_{z})$.

Ich gebe vorsichtshalber zu, dass ich mir das angegebene Lehrbuch noch nicht besorgt habe, mich aber in Springer Handbook of Lasers and Optics von Frank Träger informieren konnte.--jbn (Diskussion) 18:45, 25. Jan. 2015 (CET)