Diskussion:Bochner-Integral

Leichterer Zugang (?)

Ist der Zugang zur Materie nicht leichter (insb. motivierter?), wenn man folgendes beobachtet:

• Ist $s\colon \Omega \to B$ einfach, so auch $\Omega \to \mathbb {R} ,x\mapsto \|s(x)\|$
• $s\mapsto \int _{\Omega }\|s\|\,{\rm {d}}\mu$ ist eine Norm auf dem Raum der einfachen Funktionen $\Omega \to B$
• das Bochner-Integral ist im Prinzip die naheliegende Fortsetzung des für einfache Funktionen definierten Integrals auf den Abschluss unter obiger Norm (d.h. auf Funktionen, die bis auf eine Nullmenge punktweiser Grenzwert einer Cauchy-Folge einfacher Funktionen sind)?

Dafür dürfte man kaum etwas brauchen, das über $\left\|\int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu \right\|\leq \int _{\Omega }\|s\|\,{\rm {d}}\mu$ hinausgeht.--Hagman 17:37, 9. Nov. 2008 (CET)

$s\mapsto \int _{\Omega }\|s\|\,{\rm {d}}\mu$ ist keine Norm auf dem Raum der einfachen Funktionen $\Omega \to B$. Aus $\int _{\Omega }\|s\|{\rm {d}}\mu =0$ folgt nicht, dass die Funktion die Nullfunktion ist. --Tolentino 09:47, 10. Nov. 2008 (CET)

Das ist doch genau das, was im Artikel beschrieben wird, jedenfalls wenn Du den Ausdruck $s\mapsto \int _{\Omega }\|s\|\,{\rm {d}}\mu$ nur für Treppenfunktionen definierst. (Kleine Bemerkung am Rande: es wird dadurch allgemeinen keine Norm sondern "nur" eine Seminorm definiert). Welche technischen Herausforderungen zu meistern sind, kannst Du z.B. in Amann/Escher nachlesen. UrsZH 18:51, 9. Nov. 2008 (CET)

Aber man müsste die Cauchy-Folge nicht ausdefinieren, das würde den Artikel wesentlich freundlicher machen. Man könnte sogar noch weiter gehen: Wenn wir eine Äquivalenzrelation für Funktionen „differiert nur auf einer Nullmenge“ definieren, bildet der Quotientenraum der einfachen Funktionen einen normierten Vektorraum; dann müssen wir nur noch das Integral als Hintereinanderausführung der Projektion und eines Banachraumhomomorphismus von dessen Abschluss nach B definieren. Obige leicht zu zeigende Eigenschaft zusammen mit Linearität (die eh im Artikel noch fehlt) beweist die Existenz. Was meint ihr? —Quilbert 問 19:24, 9. Nov. 2008 (CET)

Meine Gedanken dazu:

• Das Ausdefinieren der Cauchy-Folge kann man sicher weglassen, wenn man dafür die Definition der Seminorm hinschreibt.
• Deinen weitergehenden Vorschlag ist in meinen Augen nicht ganz problemlos. Da zum Beispiel der Raum der Treppenfunktion und damit auch der Quotientenraum nicht in in einem Banachraum eingebettet ist, musst Du dafür die Vervollständigung heranziehen. Damit man sich davon eine Vorstellung machen kann, muss dann die Beschreibung, als fast-überall punktweiser Grenzwert von Cauchy-Folgen trotzdem in den Artikel. Ich bin nicht sicher, ob das den Artikel wirklich einfacher macht.

UrsZH 20:25, 9. Nov. 2008 (CET)

Mir war eine „kanonische“ Vervollständigung in $B^{\Omega }/\sim ~$ vorgeschwebt, so dass für jede punktweise konvergente Folge f_n mit [f_n] im Banachraum $\lim _{n\to \infty }[f_{n}]=[\lim _{n\to \infty }f_{n}]$ ist. Diese Beschreibung kommt mir etwas einfacher vor. —Quilbert 問 22:36, 9. Nov. 2008 (CET)

Ich denke der Quotient ist nicht das Problem. Ich kann aber mit dem Begriff "kanonische Vervollständigung in $B^{\Omega }/\sim ~$" nicht viel anfangen. Kannst Du mir erklären, was Du darunter verstehst. Die aktuelle Beschreibung mit den Cauchfolgen gibt auf jeden Fall eine Idee, welche Funktionen zur Vervollständigung gehören.

Ich bin übrigens nicht gegen Vereinfachungen, aber bin der Meinung dass diese korrekt sein müssen. Allenfalls könnte man einleitend die Idee festhalten: Integral auf einfache Funktionen und dann Fortsetzung auf die Vervollständigung des seminormierten Raumes der einfachen Funktionen.

Also nochmal etwas ausführlicher: Die Vervollständigung geschieht dermaßen, dass jeder Grenzwert mit einer Äquivalenzklasse von Funktionen (nicht einfachen Funktionen) identifiziert wird und zwar so, dass oben angegebene Eigenschaft gilt, dass für jede punktweise konvergente Folge von Funktionen, deren Äquivalenzklassen alle im Banachraum sind, diese eine Cauchy-Folge bilden, deren Grenzwert im Banachraum mit der Äquivalenzklasse des punktweise gebildeten Folgengrenzwerts übereinstimmt. —Quilbert 問 07:12, 12. Nov. 2008 (CET)

Ich halte es für extrem unwahrscheinlich, dass es leichter wird, indem man erst einen Quotientenraum betrachtet. Eine Funktion ist ganz sicher ein einfacheres Objekt als eine Äquivalenzklasse von Funktionen. Darüber hinaus kann man durch umdefinieren von Begriffen nicht sachlich vereinfachen, im Gegenteil, man muss sich erst einmal zurückübersetzen, was die überstülpten Begriffe meinen. Durch Formalismus kann man Textlänge verkürzen, aber keine Argumentlänge.

Im Übrigen, was soll denn bitteschön der Banachraum sein??? Die (Äquivalenzklassen der) einfachen Funktionen sind nicht vollständig. $L_{1}$ ist vollständig, aber dafür müsste man erst das Bochner-Integral für nicht-einfache Funktionen definiert haben. Die letzte Möglichkeit ist, $L_{1}$ als die abstrakte Vervollständigung des normierten Vektorraums der Äquivalenzklassen einfacher Funktionen zu definieren [nur für diese haben wir nämlich a priori unsere (Semi)-Norm gegeben] und anschließend die abstrakten Vervollständigungen (nämlich Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen von Äquivalenzklassen von einfachen Funktionen) mit Äquivalenzklassen $\mu$-messbarer Funktionen zu identifizieren. Dann wirds aber sachlich ganz erheblich komplizierter. --Tolentino 09:54, 10. Nov. 2008 (CET)

Genau das von dir zuletzt Beschriebene war gemeint. Es geht um die Vervollständigung des Quotientenraums. Die Vereinfachung liegt in meinen Augen darin, dass man einfache, universelle Konzepte verwendet, die anderswo definiert sind: Cauchy-Folgen, Banachräume, Vervollständigung, Quotientenraum, … Es geht ja darum, dass die Definition möglichst schnell erlernt und gespeichert werden kann. Meine Wahrnehmung ist, dass die abstraktere Definition das gewährleistet. Aber da gehen die Vorlieben wohl auch mal auseinander. —Quilbert 問 07:12, 12. Nov. 2008 (CET)

Ich halte dies für einen Irrweg; für mich sind Repräsentanten von Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen von Äquivalenzklassen von einfachen Funktionen kompliziertere Objekte als $\mu$-messbare Bochner-integrierbare Funktionen [wobei man diese Repräsentanten dann ja nochmals kanonisch identifizieren müsste mit den $\mu$-messbaren Funktionen].

Darüber hinaus ist meiner Meinung nach das Ziel der Mathematik nicht das schnelle Lernen der Definitionen, sondern das Verstehen der Objekte, und das wird hierdurch massiv behindert. --Tolentino 09:29, 12. Nov. 2008 (CET)

Mit Erlernen meinte ich natürlich Verstehen. M. E. ist die aktuelle Definition für ein tieferes Verständnis nicht ausreichend, da muss man sich erst seine eigenen Gedanken machen, solche, wie hier auf der Disku. Wenn die gleich mitgeliefert würden, das wäre doch verständnisfördernd. —Quilbert 問 21:09, 12. Nov. 2008 (CET)

Ich sehe allerdings nicht, was in dieser Diskussion das Verständnis erleichtern sollte. Die einzige Sache, die ergänzenswert ist, ist, dass $L_{1}$ nach Ausfaktorisieren des Nullraums ein Banachraum ist. Den Rest dessen, was hier steht, ist im Grunde genommen verständnisirrelevant. --Tolentino 08:35, 13. Nov. 2008 (CET)

Eigenschaften

Ich habe die üblichen Charakterisierungen der $\mu$-Messbarkeit und Bochner-Integrierbarkeit eingefügt (das ist wohl ein absolutes Muss). Im Absatz Eigenschaften steht neben der trivialen Linearität eigentlich nur, was nicht gilt. Ich vermisse dort mindestens eine Formulierung des Satz von der dominierten Konvergenz. Es wäre schön, wenn das jemand erledigen könnte. Das Bochner-Integral ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Banachraum-Theorie, da lässt sich noch einiges ausbauen.--FerdiBf 16:55, 28. Nov. 2008 (CET)

einfache Funktionen - Treppenfunktionen

Hier wird gesagt, "einfache Funktionen" seine spezielle Treppenfunktionen, in Einfache_Funktion#Verwechslung_mit_Treppenfunktionen ist allerdings ein Beispiel einer einfachen Fuktion angegeben, die gerade keine Treppenfunktion ist. Wie ist das nun wirklich? -- Laeintsch 17:00, 18. Dez. 2010 (CET)

Ich habe die Treppe entfernt, ist natürlich besser so.--FerdiBf 19:12, 18. Dez. 2010 (CET)

σ-Endlichkeit der σ-Algebra nicht notwendig

Für die Definition und viele Sätze der Bochner-Integration ist die $\sigma$-Endlichkeit der $\sigma$-Algebra nicht notwendig. (nicht signierter Beitrag von Jfriedpi (Diskussion | Beiträge) 23:44, 21. Dez. 2013 (CET))

Hallo! Der Artikel orientiert sich ja an dem in den Einzelnachweisen angegebenen Buch von Amann und dort wird $\sigma$-Endlichkeit vorausgesetzt: [1]. Man könnte das wohl auch allgemeiner aufziehen, aber dann sollten auch die Einzelnachweise entsprechend angepasst werden. -- HilberTraum (Diskussion) 18:10, 23. Dez. 2013 (CET)

Inkohärenz im Text bzgl. f.ü. separabel-wertig

Im Abschnitt Messbarkeitssatz von Pettis wird diese Bedingung erwähnt. Es wird dort nur erwähnt, dass man darauf verzichten kann, wenn der Banachraum ${\mathcal {B}}$ schon separabel ist.

Dann liest man Bochner-Integrierbarkeit und diese Bedingung verschwindet auf unerklärliche Weise.

Das sorgt für ein irritierendes Erlebnis beim Lesen und man hat das Gefühl, dass entweder der Autor ohne viel Gedanken schrieb od. dass mehrere Autoren schrieben, ohne aufeinander zu achten. So oder so stört das den Lesefluss.

Es wäre also gut, wenn im Teil Messbarkeitssatz von Pettis man erwähnt, wie @Jfriedpi oben sagt, dass man darauf verzichten kann. (Es wäre auch schön, wenn diese Bedingung auch benannt wird—ob fast überall separabel wertig oder etwas anders ist egal.) --Drusus 0 (Diskussion) 09:05, 9. Nov. 2022 (CET)

Falsche Charakterisierung durch Tensorprodukt

Die Aussage im Abschnitt "Bochner-Lebesgue-Räume", dass die dort beschriebene bilineare Abbildung einen isometrischen Isomorphismus zwischen den Räumen $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ){\hat {\otimes }}_{\pi }B$ und $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)$ induziert, gilt nur für den Fall $p=1$. Für $p>1$ erhält man zwar einen Isomorphismus jedoch keine Isometrie. Das Beispiel in der angeführten Referenz behandelt nur den Fall $p=1$ und der Beweis dort funktioniert auch nur für diesen Fall. Dass die Aussage beispielsweise für $p=2$ falsch ist, lässt sich wie folgt einsehen. Sei $\Omega =\mathbb {N}$, ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ die Potenzmenge und $\mu$ das Zählmaß. Zudem sei auch $B=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$. Dann gilt $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ und $L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)=\ell ^{2}(\mathbb {N} ,\ell ^{2}(\mathbb {N} ))$. Der Raum $\ell ^{2}(\mathbb {N} ,\ell ^{2}(\mathbb {N} ))$ offensichtlich ein Hilbertraum. Wäre dieser nun isometrisch isomorph zu $\ell ^{2}(\mathbb {N} ){\hat {\otimes }}_{\pi }\ell ^{2}(\mathbb {N} )$, so wäre auch dieser Raum ein Hilbertraum. Insbesondere wäre dann $\ell ^{2}(\mathbb {N} ){\hat {\otimes }}_{\pi }\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ reflexiv. Dies ist aber nicht der Fall, wie auch im Artikel zum projektiven Tensorprodukt (Projektives Tensorprodukt) aufgeführt wird (mit Referenz). --Wikikinow (Diskussion) 22:30, 10. Jul. 2024 (CEST)

Hallo Wikikinow. Vielen Dank für diesen wertvollen Hinweis. Du hast mit deiner Kritik völlig recht. Ich habe das umgehend korrigiert. --FerdiBf (Diskussion) 12:16, 11. Jul. 2024 (CEST)