Diskussion:Borelsche σ-Algebra

Der englische Artikel erwähnt noch eine andere Definition als kleinste σ-Algebra, die alle kompakten Mengen enthält; im Fall des $\mathbb {R} ^{n}$ dürften die beiden übereinstimmen, aber im Kontext des Haarmaßes ist das anscheinend relevant. Ich bin da aber nicht kompetent.--Gunther 10:26, 31. Mär 2005 (CEST)

Ich habe mir mal erlaubt, die Definition anzupassen. Sie stimmt nun mit der im Georgii überein. Diese Definition ist entschieden viel entspannter als die ursprüngliche (reelle Intervallgrenzen waren zugelassen), da nun die Beweise wie von allein von der Hand gehen. Typischerweise zeigt man nun, dass alle Intervalle Teil der Borelmenge sind, und mit a,b € Q hat man bei diesem Beweis den viel leichteren Stand, da man alles auf abzählbare Vereinigungen zurückführen kann. Hierzu zeigt man zuerst, dass alle abgeschlossenen Teilmengen zur Borel'schen Algebra gehören, der Rest folgt im Schlaf. Ich empfehle hierzu den Georgii, Seite 11. -- Richardigel 22:23, 7. Jan 2006 (CET)

Ich kann in Deinen Änderungen keinen wesentlichen Unterschied erkennen. Ist da vielleicht etwas verlorengegangen?--Gunther 02:03, 8. Jan 2006 (CET)

Die Anzahl Versionen steigt mir über den Kopf, aber aus dem Gedächtnis: Ich habe verlangt, dass die Endpunkte der Intervalle rational sein müssen. Das ändert das Objekt nicht, erleichtert aber die üblichen Beweise. Außerdem habe ich den die Borelmenge des $R^{n}$ eingefügt, anstatt der über $R$. -- Richardigel 21:24, 8. Jan 2006 (CET)

Ach so, ich dachte, Du hättest auf meinen Beitrag oben (10:26, 31. März 2005) geantwortet.--Gunther 21:28, 8. Jan 2006 (CET)

Schreibweise Borel'sche Algebra

Ich habe mir erlaubt die Rechtschreibung zu korrigieren. Imho wäre borelsche Algebra gültig, und Borel'sche Algebra.

Man könnte sich auf die Eigennamenregelung berufen, aber das finde ich herangezogen. Wenn man es groß schreiben will, schreibt imho die gültige Rechtschreibung verbindlich das Apostroph vor. -- Richardigel 22:24, 7. Jan 2006 (CET)

Die Apostrophe scheinen ziemlich unbeliebt zu sein, die allermeisten Autoren sehen offenbar die Kleinschreibung als das kleinere Übel an.--Gunther 02:03, 8. Jan 2006 (CET)

Üblich - angelehnt an andere Beispiele wäre Borelsche Algebra. Man schreibt ja auch Boolsche Algebra oder Diskrete Mathematik. Also ohne Apostroph und gross. Ernèsto! 02:08, 8. Jan 2006 (CET)

Üblich, aber nach neuer Rechtschreibung falsch: [1].--Gunther 02:18, 8. Jan 2006 (CET)

Ich habe es nicht bei der Hand - aber ich bin fast sicher, dass die - von mir angeführte Schreibweise - nach dem Österreichischen Wörterbuch richtig ist. Der Duden ist nicht Norm! -- Ernèsto! 12:24, 8. Jan 2006 (CET)

Mein Einwand zielte darauf ab, den Artikel umzubenennen, und auf die alte Adresse einen REDIRECT zu legen. Ich weiß nicht, wie das geht, sonst hätte ich es getan -- Richardigel 03:01, 8. Jan 2006 (CET)

Das ist nicht nötig, als Überschrift darf "Borelsche σ-Algebra" natürlich weiterhin groß geschrieben werden. Es könnte sein, dass Du noch zu neu bist, um Artikel verschieben zu dürfen; irgendwann erscheint dann ein Feld "Verschieben" neben "Seite bearbeiten" und "Versionen/Autoren".--Gunther 03:07, 8. Jan 2006 (CET)

Noch etwas, es handelt sich bei der "Borelschen Algebra" um einen fachsprachlichen Begriff; die Schreibung mit dem Binnen-Apostroph ist aber auf jeden Fall abzulehnen. Leider ist der Link auf http://www.rechtschreibkommission.de nichtmehr erreichbar (super!). -- Ernèsto! 12:43, 8. Jan 2006 (CET)

Im verlinkten Text ist eines der Beispiele, der ohmsche Widerstand, ebenfalls ein fachsprachlicher Begriff.--Gunther 12:52, 8. Jan 2006 (CET)

Ernesto: Das ist erstens kein Argument, da der dritte Term fehlt. Zweitens ist die Regelung, die Gunther zitiert, wirklich unmissverständlich, Borelsche Algebra ist so schlicht falsch. Was die Rechtschreibkommission damit zu tun hat, erschließt sich mir nicht, der Link ist ja auch nicht erreichbar. Aber das ist auch nicht nötig, Gunthers Link verweist auf den Duden, die letzte Instanz in Fragen zur Rechtschreibung. -- Richardigel 22:41, 8. Jan 2006 (CET)

Lesbarkeit

Für Nicht- Mathematiker ist dieser Artikel absolut unverständlich. Kann jemand eine allgemeinverständliche kleine Einleitung schreiben oder muß man zwingend 20 Semester Mathematik studiert haben um zu verstehen worum es hier geht? Ronald2 12:36, 2. Nov. 2006 (CET)

Schwere Dinge verständlich zu machen ist das Hauptanliegen der Mathematik und ihre größte Kunst. Leicht ist es nicht. igel+- 19:44, 2. Nov. 2006 (CET)

Ich muss Ronald2 zustimmen. Der Artikel ist nur schwer bis gar nicht verständlich, obwohl ich das Mathevordiplom schon abgeschlossen habe und mal frecherweise behaupte, ein gewisses mathematisches Verständnis an den Tag zu legen. Aber der Artikel geht bestimmt auch verständlicher. Ich werde mich bemühen die Borelsche Algebra besser zu verstehen und vielleicht eine verständlichere Einleitung zu schreiben, wenn das bis dahin nicht schon passiert ist. Ben

Ich glaube nicht, dass das Problem an dem Artikel liegt. Am Begriff Borelsche σ-Algebra gibt es nämlich gar nichts zu verstehen. So bezeichnet man einfach die σ-Algebra, die von den offenen Mengen eines topologischen Raumes erzeugt wird. Wenn man mit diesen Begriffen etwas anfangen kann, ist IMHO alles klar. Wenn nicht, dann muss man die entsprechenden Artikel dazu lesen. Es kann nicht die Aufgabe dieses Artikels zu sein, solche Grundlagen zu erklären. --Drizzd 16:41, 24. Mai 2007 (CEST)

Hui, der Artikel hat sich ganz hübsch geändert, seit ich ihn das letzte Mal angefasst habe. Er ist schon ziemlich hässlich in seinem Telegrammstil. Aber ein Revert wäre zu hart, die Hausdorffbezeichnungen sind wichtig; kurzum: ich hab keine Lust ihn zu entrümpeln! Naja, Drizzd, man kann Borel'sche σ-Algebren auch ohne topologisches Vorwissen verstehen. Insbesondere die Borel'schen σ-Algebren über R kann man als Vervollständigung der Menge aller offenen Intervalle definieren. Oder halboffenen Intervalle. Oder abgeschlossenen Intervalle. Je nach Wetter. Ich mag die Definition gern, wo die Endpunkte rational sind, das macht viele Beweise sehr angenehm, weil es nur abzählbar viele solcher Intervalle gibt, damit lässt sich gut rechnen; diese Definition macht viele Beweise höchst elegant. Es wird sich schon jemand finden :) igel+- 16:55, 24. Mai 2007 (CEST)

Das ist eines der wesentlichen Probleme der Wikipedia. Fachtexte helfen Laien nicht (die sich normalerweise auch nicht für maßtheoretische Begriffe interessieren), allgemeinverständliche Texte im Sinne eines Konversationslexikons sind zu oberflächlich. Ein Mathematik-Vordiplom (Studiengang Mathematik, nicht BWL oder sowas) sollte aber reichen, um den Text zu verstehen. Auch Diplom-Physiker, die Analysis III gehört haben, können folgen. (nicht signierter Beitrag von 91.64.50.63 (Diskussion) 08:53, 22. Jul 2015 (CEST))

$F_{\sigma }$, $G_{\delta }$,...

$F_{\sigma }$, $G_{\delta }$,... sind keine Mitteilungszeichen für Variablen sondern Attribute wie bei T₁-Raum zum Beispiel. Und, bitte, nimm Dir das nächste Mal ein bisschen mehr Zeit. Jeder hier kann positiv zu jedem Thema beitragen - auch zu Themen, die nicht zu seinem Fachgebiet gehören, wenn er es aber mit der nötigen Sorgfalt tut. Du hättest Dir den in den Einzelnachweisen zitierten Artikel uni-bonn.de Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre anschauen können und auf Seite 9 z.B. festellen, welche Schreibweise korrekt ist. Handele in der Zukunft, bitte, wie ein richtiger Redakteur und nicht wie ein Bot, damit deine Arbeit zu einer wirklichen Verbesserung von Wikipedia führt und nicht zur Last für andere Redakteure wird. --Alexandar.R. 16:56, 8. Aug. 2007 (CEST)

gudn tach!

zur sache: unabhaengig davon, was symbole bedeuten: wenn sie in einer aufzaehlung geTeXt werden, sieht ein normales komma dazwischen hier in der wikipedia kacke (um nicht zu sagen: missverstaendlich) aus. deswegen hatte ich die kommas und ebenso die drei punkte geTeXt.

meta-kram: dass du bei deinem revert keine begruendung angabst, aber mir nun vorwirfst, ich wuerde mir zuwenig zeit nehmen, finde ich unvernuenftig. nach der hilfe:teX-regel, dass math-kram nicht durch nicht-math-kram ersetzt werden soll, hatte ich deswegen deinen revert revertiert. -- 141.3.74.36 18:16, 8. Aug. 2007 (CEST)

Überarbeiten: Anwendung

Die Anwendung ist nicht grade verständlich. Wozu braucht man die borelsche σ-Algebra? Was vereinfacht sie? Wobei hilft sie? --source 13:37, 8. Okt. 2008 (CEST)

Auswahlaxiom, oder doch eher verallgemeinerte Kontinuumshypothese?

Zitat:

Es lässt sich sogar darüber hinaus (wieder ohne Verwendung des Auswahlaxioms) eine surjektive Abbildung von den reellen Zahlen auf die Borelmengen angeben; daraus folgt, dass die borelsche σ-Algebra im Sinne der Kardinalzahlen echt kleiner als die Potenzmenge von $\mathbb {R}$ ist. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man daraus folgern, dass die borelsche σ-Algebra gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen selbst ist.

Die Aussage, dass es keine Kardinalzahl zwischen $\mathbb {R}$ und $2^{\mathbb {R} }$ gibt, ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Kontinuumshypothese, und die ist unabhängig von ZFC (d.h. vom Auswahlaxiom). Ich kenne jetzt nicht den hier verwendeten Beweis (vielleicht kann man das in dem Spezialfall mit Auswahlaxiom auch ohne Kontinuumshypothese beweisen), aber ich vermute, dass hier einfach nur Kontinuumshypothese und Auswahlaxiom verwechselt wurden. Kennt jemand den hier verwendeten Beweis? -- Paul E. 16:36, 20. Aug. 2010 (CEST)

Der zitierte Satz sagt doch gerade, dass man auch ohne die verallgemeinerte Kontinuumshypothese zeigen kann, dass die Menge der Borelmengen nicht mächtiger ist als $\mathbb {R}$. Man braucht jedoch im Allgemeinen das Auswahlaxiom, wenn man die Mächtigkeiten von Mengen vergleichen will, in diesem Fall, um aus der Existenz einer surjektiven (und der einer injektiven) Abbildung auf die Existenz einer Bijektion zu schließen. -- Digamma 18:48, 2. Dez. 2010 (CET)

Schön, dass der das sagt, Beleg fehlt. --Chricho ¹ 12:25, 27. Apr. 2011 (CEST)

Ich unterstelle mal den vorangehenden Satz, dass es eine surjektive Abbildung $f\colon \mathbb {R} \to {\mathfrak {B}}$ gibt als wahr. Belegen kann ich ihn nicht, auch nicht beweisen. Aber das war ja nicht der Satz, den du in Zweifel gezogen hast. Weiter setze ich das Auswahlaxiom voraus. Dann kann man zu jeder Borelmenge $B$ aus $f^{-1}(B)$ eine reelle Zahl $x_{B}$ auswählen mit $f(x_{B})=B$. Die Abbildung $B\mapsto x_{B}$ ist eine injektive Abbildung von ${\mathfrak {B}}$ nach $\mathbb {R}$. Umgekehrt ist die Abbildung $x\mapsto \{x\}$ eine injektive Abbildung von $\mathbb {R}$ nach ${\mathfrak {B}}$. Nach dem Satz von Cantor-Bernstein existiert dann auch eine bijektive Abbildung von $\mathbb {R}$ nach ${\mathfrak {B}}$. Also ist $\mathbb {R}$ gleichmächtig zu $\mathbb {R}$.

Du meintest wohl ${\mathfrak {B}}$ im letzten Satz. - Zum Thema: Wenn man irgendeine Form der Kontinuumshypothese annimmt, dann bekommt man aus $\beth _{1}\leq |{\mathfrak {B}}|<\beth _{2}$ die Gleichmächtigkeit zu den reellen Zahlen "geschenkt", das wäre dann kaum erwähnenswert. Wenn also hier etwas eigens erwähnt wird, dann daß man die mit Auswahlaxiom auch ohne Kontinuumshypothese bekommt. (Das wirft übrigens die Frage auf: ist $|{\mathfrak {L}}|=\beth _{2}$ eigentlich bewiesen oder wäre das ein Kandidat, der unter Verwerfung der Kontinuumshypothese für eine Mächtigkeit zwischen $\beth _{1}$ und $\beth _{2}$ in Frage käme?--131.159.0.47 12:07, 20. Apr. 2015 (CEST)

Hinweis: Das hat alles nichts mit dem Artikel zu tun. --Chricho ¹ ² ³ 14:59, 20. Apr. 2015 (CEST)

Mächtigkeit

„Es lässt sich sogar darüber hinaus (wieder ohne Verwendung des Auswahlaxioms) eine surjektive Abbildung von den reellen Zahlen auf die Borelmengen angeben; daraus folgt, dass die borelsche σ-Algebra im Sinne der Kardinalzahlen echt kleiner als die Potenzmenge von ℝ ist. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man daraus folgern, dass die borelsche σ-Algebra gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen selbst ist.“

Moment mal, aus der Existenz der surjektiven Abbildung folgt doch nicht, dass es echt kleiner ist, dafür muss es doch so sein, dass es keine surjektive Abbildung von der Algebra nach ℝ gibt, was nicht erwähnt wird. Und wie kann man mit dem Auswahlaxiom daraus die Gleichmächtigkeit folgern? Braucht man dazu nicht die GCH? --Chricho ¹ 11:20, 27. Apr. 2011 (CEST)

Statt "echt kleiner als" muss da stehen "höchstens so groß wie".

Ich hatte gerade falsch gelesen. Aus der Existenz der surjektiven Abbildung ergibt sich, dass es keine jurjektive Abbildung von der Borel-σ-Algebra auf die Potenzmenge von $\mathbb {R}$ gibt, sonst ergäbe die Verkettung der beiden Surjektionen eine surjektive Abbildung von $\mathbb {R}$ auf die Potenzmenge von $\mathbb {R}$, was dem Satz von Cantor widerspricht. Der Satz sagt nicht, dass ${\mathfrak {B}}$ echt kleiner als $\mathbb {R}$ sei (so hatte ich es auch falsch gelesen), sondern dass ${\mathfrak {B}}$ echt kleiner als $\operatorname {Pot} (\mathbb {R} )$ ist

Das Auswahlaxiom braucht man um aus der Existenz einer surjektiven Abbildung von $\mathbb {R}$ nach ${\mathfrak {B}}$ die Existenz einer injektiven Abbildungen von ${\mathfrak {B}}$ nach $\mathbb {R}$ zu folgern. Daraus und aus der Existenz eine Injektion von $\mathbb {R}$ nach ${\mathfrak {B}}$ folgt die Gleichmächtigkeit nach dem Satz von Cantor-Bernstein. -- Digamma 11:53, 27. Apr. 2011 (CEST)

Da die bisherigen Aussagen nur zu Missverständnissen führten, habe ich sie gestrichen und nur die Grundaussage übrig gelassen, dass die Borel-σ-Algebra gleichmächtig zu $\mathbb {R}$ ist. -- Digamma 12:05, 27. Apr. 2011 (CEST)

Und woher weiß man von der Injektion von ℝ nach ${\mathfrak {B}}$? --Chricho ¹ 22:45, 27. Apr. 2011 (CEST)

Diese Frage habe ich im Abschnitt darüber beantwortet. Die einelementigen Mengen sind Borelmengen, also ist z.B. die Abbildung $x\mapsto \{x\}$ eine Injektion von $\mathbb {R}$ nach ${\mathfrak {B}}$. -- Digamma 23:00, 27. Apr. 2011 (CEST)

Einzelnachweise: Link zum PDF funktioniert nicht

Der Link zum Dokument Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre an der Uni Bonn funktioniert nicht. Kenn jemand die richtige URL? --B-greift 21:45, 13. Jun. 2011 (CEST)

Tante Google fand was. Ob es tatsächlich das exakt gleiche Dokument ist, kann ich natürlich nicht feststellen. Ist aber einigermaßen plausibel. --Daniel5Ko 22:03, 13. Jun. 2011 (CEST)

Borel Mengen

Bei der Definition der borelschen Sigma Algebra heißen die Elemente der Sigma-Algebra Borelmengen. Soweit so gut. Weiter unten heißt es Klassen von Borelmengen. Das verwirrt mich, soll es zwischen diesen Borelmengen Äquivalenzrelationen geben? Handelt es sich nicht viel mehr um Klassen von Sigma-Algebren ? Beispiele helfen übrigens immer mehr weiter als neueste Formulierungsvarianten. -- Eulermatroid 13:04, 17. Jan. 2012 (CET)

Nein, mit Äquivalenzrelationen hat das nichts zu tun. Das meint die Klasse/Menge aller Borelmengen, also die Borelsche σ-Algebra, also nichts anderes, als dass alle Borel-Mengen analytisch sind (was irgendwie offensichtlich ist, niemand käme auf die Idee, das Gegenteil zu behaupten). --Chricho ¹ 19:30, 17. Jan. 2012 (CET)

In der Maßtheorie zeigt man

, dass alle Borelmengen Lebesgue-messbar sind. Wirklich? Ist die Ausdrucksweise angemessen? Das ist doch per definitionem der Fall, weil das Lebesgue-Maß eben die Vervollständigung des Borel-Maßes ist. Da gibt es dann doch nicht mehr viel zu zeigen.--131.159.0.47 14:59, 15. Apr. 2015 (CEST)

Naja, das Lebesgue-Maß lässt sich ja verschieden definieren … Aber du hast schon recht, die Formulierung war albern, habe sie ersetzt. --Chricho ¹ ² ³ 15:30, 15. Apr. 2015 (CEST)

Die borelsche σ-Algebra auf den erweiterten reellen Zahlen

Müsste in der Definition

${\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }}):=\{A\cup E\mid A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;E=\{-\infty \},\{+\infty \}{\text{ oder }}\emptyset \}$.

nicht eigentlich ein beliebiges $E\subset \{-\infty ,+\infty \}$ zulässig sein? Andernfalls wäre ${\overline {\mathbb {R} }}$ selbst nicht Element von ${\mathcal {B}}({\overline {\mathbb {R} }})$. (Meine letzte Mathevorlesung liegt ein paar Jahre in der Vergangenheit ...) --134.102.219.31 11:38, 14. Jul. 2017 (CEST)

Ja, du hast recht. Magst du es selbst verbessern? --Digamma (Diskussion) 18:04, 14. Jul. 2017 (CEST)

Ich habe es geändert. Ich habe $\subseteq$ statt $\subset$ genommen (das scheint sonst auch genommen worden zu sein, wenn es nicht garantiert eine echte Teilmenge ist). Der erläuternde Satz unter der Formel darf meinetwegen auch ausgeweitet werden – ich persönlich fände die Formel allein schon aussagekräftig genug --134.102.219.31 14:07, 18. Jul. 2017 (CEST)

Gefällt mir. --Digamma (Diskussion) 14:36, 18. Jul. 2017 (CEST)