Diskussion:Buchberger-Algorithmus

Schöner Artikel. Ein durchgerechnetes Beispiel zum Idealzugehörigkeitsproblem wäre vlt. noch nett. --goiken 16:40, 18. Okt. 2010 (CEST)

Vielen Dank für das Lob. Ich werde eventuell noch ein Beispiel zur Funktion des Algorithmus hinzufügen, wenn ich Zeit habe. Allerdings ist das Idealzugehörigkeitsproblem eher eine Anwendung der Gröbnerbasen, und da wiederum nicht die einzige: durch den Zusammenhang zwischen Idealen und Varietäten können auch die beschreibenden Polynome einer Varietät umformuliert werden, und auf diese Art können - mit Hilfe einer geeigneten Lexi-Ordnung - nichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden. Aber wie gesagt: Das sind Anwendungen von Gröbnerbasen, nicht speziell des Buchberger-Algorithmus' (vielleicht kann ich aber im Gröbnerbasis noch ein oder zwei solcher Rechenbeispiele angeben - hängt davon ab, ob ich Zeit und Lust dazu finde).--ThoRunge 17:51, 18. Okt. 2010 (CEST)

Hm. Dann müsstest du vlt „meine“ Einleitung nochmal ergänzen. Wie Ideale, Varietäten und nichtlineare GS zusammenhängen weiß ich nicht.

Zu dem Beispiel meinte ich eigentlich hauptsächlich die Berechnung von G. Ob man und welche Probleme man dann damit löst, ist ja eher zweitrangig: Beim Idealzugehörigkeisproblem bekommt man halt die Lösung mit G geschenkt, weshalb das, so mein Gedanke, vielleicht auch hier einen Nebensatz wert ist (á la: „Mit der Berechneten Basis G kann man nun sofort entscheiden, ob p_H=… ---Basistransformation---> p_G= … zu I gehört.“)--goiken 18:17, 18. Okt. 2010 (CEST)

Noch ein Versuch zur Einleitung. Ich hoffe, ich habe nicht zu viel von Dir weggeschnitten... das Idealzugehörigkeitsproblem ist aber halt im Gröbnerbasis-Artikel schon dargestellt, und ich denke mal die meisten Leser werden von dort auf den Buchberger-Algorithmus stoßen... Was das mit der Ordnung angeht werde ich wie gesagt morgen nochmal schauen, vlt. finde ich dann auch ein schönes (nicht zu komplexes) Beispiel, um den Artikel noch abzurunden. --ThoRunge 21:41, 18. Okt. 2010 (CEST)

Monom-Ordnung auf P

Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob eine Monom-Ordnung direkt auf P gegeben sein sollte. Wie der Name schon sagt ordnet die Monom-Ordnung ja erstmal nur die Monome. Dass daraus eine totale Wohlordnung aller Polynome kanonisch folgt ist zwar irgendwie klar, aber es ist ja nicht die selbe Relation (sondern eben eine Fortsetzung)... aber vielleicht will der Logiker in mir nur wieder Haare spalten... :) --ThoRunge 17:51, 18. Okt. 2010 (CEST) Was mir gerade auffällt: So kanonisch ist die Fortsetzung garnicht, falls der Grundkörper nicht geordnet ist... Vielleicht sollte einfach direkt eine totale Wohlordnung der Polynome gegeben sein, statt einer Monom-Ordnung? --ThoRunge 18:08, 18. Okt. 2010 (CEST)

Was man vlt auch machen könnte, ist, „<“ auf I zu erklären die Sache mit der Fortsezung einfach unter den Tisch fallen zu lassen. Zwar geht das irgendwie, ist aber an der Stelle eigentlich uninteressant und lenkt IMO vom Eigentlichen, dem Rumrechnen in I, nur unnötig ab, wenn man sich überlegen muss, ob und wie man fortsetzt.

Ob wir aber die Fortsetzung oder die Relation auf I vorgeben, dürfte hier egal sein, weil wir ja ohnehin nur in I rechnen, nich?. --goiken 18:17, 18. Okt. 2010 (CEST)

(Nach BK) Hm...Wie stehts denn im Buch? --goiken 18:17, 18. Okt. 2010 (CEST)

Ich werd morgen mal in der Bibliothek in den Cox/Little/O'Shea schauen. Soweit ich mich erinnere hat der die Monomordnung einfach fortgesetzt. Andererseits erscheint mir das für einen Algebraiker recht nachlässig, weil das schon in $\mathbb {C}$ problematisch ist... Was ist kleiner, $X$ oder $iX$? Und wo reiht sich $(-1+i)X$ ein? Wie gesagt: Ich gucke morgen mal, und wenn das zu aufwändig ist würde ich einfach die Polynome wohlordnen und die Monomordnung an der Stelle den Tisch fallen lassen.--ThoRunge 18:45, 18. Okt. 2010 (CEST)

Wie ich mir gestern abend noch dachte setzt der Cox/Little/O'Shea (zumindest das verwandte Buch "Using algebraic geometry", das andere war vergriffen) die Monomordnung garnicht fort - muss er nämlich nicht. Der Sinn der Ordnung ist nicht, die Polynome zu ordnen, sondern die Summanden jedes Polynoms nach Größe der Monome anzuordnen, um die Begriffe "Leitmonom"/"Leitterm" und damit dann die Polynomdivision zu definieren. Eine Ordnung aller Polynome ist nicht notwendig. Trotzdem spricht der Text auch lapidar von einer Monomordnung auf dem Polynomring. Ist dieser Gedanke wert, (hier) aufgenommen zu werden, oder bin ich der einzige, der in diese Stolperfalle läuft? --ThoRunge 15:07, 19. Okt. 2010 (CEST)

Artikelentwurf

Ein weiterer Artikelentwurf liegt auf Benutzer:Ap86/Artikelwerkstatt (hatte ich seinerzeit verschoben), vielleicht kann man da noch etwas daraus übernehmen? Jón + 10:52, 19. Okt. 2010 (CEST)

Eigentlich wollte ich genau den Artikel ausbauen (ich hatte auch eine Nachricht hinterlassen, aber von Ap86 keine Antwort erhalten - vlt. ist er nicht mehr aktiv), allerdings hatte ich dann nichts zum Anknüpfen gefunden: Dort wird erst einmal eine Monomordnung detailiert erklärt und dann die verallgemeinerte Polynomdivision eingeführt - beides ist aber schon andernorts erläutert, ich denke das lenkt nur vom eigentlichen Gegenstand, nämlich dem Buchberger-Algorithmus ab (wer den Buchberger-Algorithmus nachschlägt sollte ja zunächst wissen, was eine Gröbnerbasis ist, aber wer das weiß kennt auch Monomordnungen und die Polynomdivision). Da erschien es mir dann fairer den Artikel von Ap86 nicht fast komplett zu löschen, um ihn dann neu zu schreiben - aber wenn Du (oder jemand anders) etwas von dort übernommen sehen möchtest, bin ich natürlich für Vorschläge offen.--ThoRunge 11:07, 19. Okt. 2010 (CEST)