Diskussion:Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe

Abschnitt Beispiele: projektive und lineare Darstellungen

Es ist sehr verdienstvoll, dass sich jemand die Mühe gemacht hat, einen Artikel zur Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe anzufangen. Es gibt aber noch viel zu tun (explizit angeschriebene Lie-Algebra, Exponentiation, Exponentialität, Raumspiegelung und Bewegungsumkehr usw.). Im aktuellen Text wird meiner Meinung nach nicht deutlich herausgestellt, dass mehrere Darstellungstypen herumschwirren:

• lineare Darstellungen der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe $SO^{+}(3,1)$
• projektive Darstellungen der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe $SO^{+}(3,1)$
• lineare Darstellungen der Überlagerungsgruppe $SL(2,C)$

Außerdem wird nicht zwischen Darstellungen für die Felder (Teilchenfeld) und Darstellungen für physikalische Größen (Ruhmasse, Impuls, Energie-Impuls-Tensor,...) unterschieden. Um gleich die Frage, warum der Physiker sich mit der lustigen Gruppe $SL(2,C)$ herumschlagen sollte, zu beantworten: Für die quantenmechanischen Teilchenzustände hätte man gerne die projektiven Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe $SO(3,1)$. Läßt man Raumspiegelung und Bewegungsumkehr kurz beiseite, findet man sie, indem man die linearen Darstellungen der Überlagerungsgruppe $SL(2,C)$ aufsucht und durch Gymnastik mit Homomorphismen die gewünschten projektiven Darstellungen der vollen Lorentz-Gruppe anschreiben kann. Die Gymnastik ist keineswegs trivial; diese Sache, dass $I$ und $-I$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird, reicht nicht hin. Leider ist das Buch von Sexl&Urbantke bei der Herleitung der projektiven Darstellungen etwas kurzatmig, aber Schottenloher erklärt die nichttrivialen Ecken ganz gut.

Ich habe erstmal versucht, homöopathisch an wenigen Stellen etwas einzufügen. Bei nächsten Gelegenheiten schreibe ich ein paar Sätze mehr. Unbedingt verweise ich auf den englischen Artikel, der in den letzten Jahren stark ausgebaut wurde. --Stefan Neumeier (Diskussion) 10:21, 11. Dez. 2017 (CET)