Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe

In der Physik wird die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe zur Beschreibung von Elementarteilchen in der relativistischen Quantenmechanik sowie zur Beschreibung von Feldern in der Quantenfeldtheorie benötigt.

Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe der die Minkowski-Metrik $t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$ invariant lassenden linearen Abbildungen der Raum-Zeit $\mathbb {R} ^{1+3}$, also

${\text{O}}(3,1):=\left\{A\in \mathbb {R} ^{4\times 4}:A{\begin{pmatrix}1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}}A^{T}={\begin{pmatrix}1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{pmatrix}}\right\}$.

Sie hat vier Zusammenhangskomponenten. Die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements heißt ${\text{SO}}^{+}(3,1)$. Diese Komponente wird von ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ zweifach überlagert.

Insbesondere ist ihre Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(3,1)$ isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C).

Endlich-dimensionale Darstellungen

Darstellungen der Lie-Algebra

Die Darstellungstheorie der sl(2,C) zeigt, dass jede $\mathbb {C}$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ eine sogenannte Spin-$m$-Darstellung für ein $m\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z}$ ist. Diese Darstellung ist $(2m+1)$-dimensional und es gibt für jeden ganz- oder halbzahligen Wert von $m$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung $\pi _{m}$.

Es folgt dann, dass jede $\mathbb {R}$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(3,1)$ von der Form $\pi _{m,n}:=\pi _{m}\otimes {\overline {\pi }}_{n}$ mit ganz- oder halbzahligen Werten $m,n\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z}$ ist. Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie-Algebra-Darstellungen definiert durch

$\pi _{m,n}(X):=I_{2m+1}\otimes {\overline {\pi }}_{n}(X)+\pi _{m}(X)\otimes I_{2n+1}$

und ${\overline {\pi }}_{n}$ bezeichnet die zu $\pi _{n}$ komplex konjugierte Darstellung. (Die entsprechende Lie-Gruppen-Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie-Gruppen-Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten.)

Die Darstellung $\pi _{m,n}$ ist $(2m+1)(2n+1)$-dimensional und irreduzibel.

Projektive Darstellungen

Jede Lie-Algebren-Darstellung $\pi _{m,n}$ bestimmt (nach dem Zweiten Lie’schen Satz) eine (reelle) Darstellung von ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ und damit eine projektive Darstellung $\rho _{m,n}$ von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.

Falls $m=n$ ist, kann $\rho _{m,n}$ zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe ${\text{O}}(3,1)$ fortgesetzt werden.

Dies ist nicht möglich für $m\not =n$, aber jedenfalls kann dann noch $\rho _{m,n}\oplus \rho _{n,m}$ zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von ${\text{O}}^{+}(3,1)$ fortgesetzt werden.

Darstellungen

${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ist eine zweifache Überlagerung von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$, wobei $I_{2}$ und $-I_{2}$ auf das neutrale Element $I_{4}\in {\text{SO}}^{+}(3,1)$ abgebildet werden. Eine Darstellung von ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ entspricht also genau dann einer Darstellung (und nicht nur einer projektiven Darstellung) von ${\text{SO}}^{+}(3,1)$, wenn auch $-I_{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Man prüft leicht nach, dass das für die Darstellungen $\rho _{m,n}$ genau dann der Fall ist, wenn $m$ und $n$ ganze Zahlen sind.

Wenn $m=n\in \mathbb {Z}$, dann erhält man eine Darstellung der vollen Lorentz-Gruppe $O(3,1)$.

Beispiele

Im Folgenden bezeichne $(m,n)$ die $(2m+1)(2n+1)$-projektive Darstellung $\rho _{m,n}$ von $SO^{+}(3,1)$.

• (0, 0) ist die in relativistischen Skalarfeld-Theorien verwendete skalare Lorentz-Darstellung.
• $\left({\tfrac {1}{2}},0\right)$ ist die projektive Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinoren, $\left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)$ die der rechtshändige Weyl-Spinoren. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.
• $\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)$ ist die Bispinor-Darstellung.
• $\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)$ ist die Vierervektor-Darstellung. Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
• $(1,0)$ ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2-Formen und $(0,1)$ die projektive Darstellung im Raum der anti-selbstdualen 2-Formen. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\text{SO}}^{+}(3,1)$.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die Darstellung eines Paritäts-invarianten Feldes von 2-Formen (d. h. von Krümmungsformen). Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
•  $\left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)$ entspricht dem Rarita–Schwinger-Feld.
• (1, 1) ist die Spin-2-Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds.

Literatur

• Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
• Sigurður Helgason: Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions. (= Mathematical Surveys and Monographs. 83). Corrected reprint of the 1984 original. American Mathematical Society, Providence, RI 2000, ISBN 0-8218-2673-5.
• Anthony W. Knapp: Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples. (= Princeton Landmarks in Mathematics). Reprint of the 1986 original. Princeton University Press, Princeton, NJ 2001, ISBN 0-691-09089-0.
• E. R. Paërl: Representations of the Lorentz group and projective geometry. (= Mathematical Centre Tracts. No. 25). Mathematisch Centrum, Amsterdam 1969.
• W. Rühl: The Lorentz group and harmonic analysis. W. A. Benjamin, New York 1970, OCLC 797189612.
• Steven Weinberg: The quantum theory of fields. Vol. I: Foundations. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-55001-7.