Die Darstellungstheorie der Lie-Algebra ist von grundlegender Bedeutung in Mathematik und Physik. In der Mathematik ist sie der einfachste Fall in der Klassifikation der Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, in der Physik spielt sie eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, weil sie die Darstellungen der Drehimpulsalgebra klassifiziert.

Die Lie-Algebra

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  ist die Lie-Algebra der  -Matrizen mit Spur  . Sie wird (als komplexer Vektorraum) aufgespannt von den Matrizen

 ,

diese genügen den Relationen

 

In der Quantenmechanik berechnet man Eigenwerte des Drehimpulsoperators  , wobei   Multiplikation mit den Ortskoordinaten und   die Ableitung nach den Ortskoordinaten bezeichnet. Seien   die drei Komponenten von   und  , dann gilt   und  . Nach einer passenden Skalierung der Basisvektoren ist die Drehimpulsalgebra also isomorph zu  .

Endlich-dimensionale Darstellungen

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Wir betrachten im Folgenden  -lineare Darstellungen, für die Klassifikation  -linearer Darstellungen von  , siehe Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe.

Weil   eine halbeinfache Lie-Algebra ist, sind ihre Darstellungen nach dem Satz von Weyl vollständig reduzibel, d. h. jede Darstellung lässt sich als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegen. Es genügt deshalb, irreduzible Darstellungen zu klassifizieren.

Irreduzible Darstellungen

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Es stellt sich heraus, dass es zu jeder natürlichen Zahl   eine bis auf Isomorphie eindeutige irreduzible  -dimensionale Darstellung   der   gibt. Diese ist bestimmt durch eine Basis   mit den folgenden Eigenschaften:

  •   für  
  •  
  •   für  
  •   für  

(Hierbei bezeichnen   die Bilder von   unter der Darstellung.)

Man rechnet leicht nach, dass durch obige Eigenschaften eine wohl-definierte Darstellung von   eindeutig festgelegt wird. Wir zeigen jetzt, dass jede irreduzible Darstellung von obiger Form ist.

Es sei   eine irreduzible Darstellung. Weil   algebraisch abgeschlossen ist, gibt es einen Eigenvektor   von  , also  . Aus   folgt dann  , also ist   ein Eigenvektor von   zum Eigenwert  . Durch Induktion folgt, dass   ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert   ist. Weil   nur endlich viele Eigenwerte hat, muss es ein minimales   mit   geben. Setze   und   für  . Aus   folgt, dass   Eigenvektor von   zum Eigenwert   ist. Es gibt also wieder ein minimales   mit   und die Vektoren   sind linear unabhängig. Aus   folgt   und damit die erste Behauptung. Die dritte Behauptung folgt durch vollständige Induktion:

 .

Weil der von   aufgespannte Unterraum invariant ist, muss er wegen der Irreduzibilität der Darstellung ganz   sein.

Explizite Beschreibung

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Die  -dimensionale Darstellung von   lässt sich explizit angeben durch

 ,
 ,
 ,

wobei   bzw.   diejenigen Matrizen bezeichnet, deren erste Über- bzw. Unterdiagonale   ist und deren sonstige Einträge Null sind.

Zum Beispiel ist   die triviale Darstellung,   die kanonische Darstellung von   auf   und   die adjungierte Darstellung.

Darstellungen der Lie-Gruppe SL(2,C)

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Nach dem Zweiten Lie’schen Satz entsprechen die Darstellungen der Lie-Algebra   den Darstellungen der Lie-Gruppe  .

Eine explizite Beschreibung der  -dimensionalen Darstellung von   geht wie folgt. Es sei   der Vektorraum der komplexwertigen homogenen Polynome vom Grad   in zwei Variablen, also der von   aufgespannte komplexe Vektorraum.   wirkt auf   durch  . Das definiert eine Darstellung

 ,

deren Differential im Einselement die oben konstruierte Darstellung

 

ist.

Satz von Clebsch-Gordan

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Das Tensorprodukt zweier Darstellungen ist wieder eine Darstellung von  , welche sich dann in ihre irreduziblen Summanden zerlegen lässt. Der Satz von Clebsch-Gordan besagt im Fall von  , dass

 

für alle natürlichen Zahlen   gilt.

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten finden ihre Verwendung in der Kopplung quantenmechanischer Drehimpulse. Es handelt sich dabei um Entwicklungskoeffizienten, mit denen man aus der Basis der Einzeldrehimpulse in die Basis des Gesamtdrehimpulses übergeht. Sie werden zur Berechnung der Spin-Bahn-Kopplung sowie im Isospin-Formalismus verwendet.

Höchstes Gewicht

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Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren werden durch ihr höchstes Gewicht klassifiziert. Für Darstellungen   von   ist das höchste Gewicht der größte Eigenwert von  . Die  -dimensionale Spin Darstellung hat also höchstes Gewicht  .

Siehe auch

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Literatur

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  • Serre, Jean-Pierre: Complex semisimple Lie algebras. Translated from the French by G. A. Jones. Reprint of the 1987 edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. ISBN 3-540-67827-1
  • Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.
  • Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, 1991
  • Hall, Brian C.: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. Graduate Texts in Mathematics, 222. Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • Erdmann, Karin; Wildon, Mark J.: Introduction to Lie algebras. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2006. ISBN 978-1-84628-040-5; 1-84628-040-0
  • Gilmore, Robert: Lie groups, physics, and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists. Cambridge University Press, Cambridge, 2008. ISBN 978-0-521-88400-6
  • Mazorchuk, Volodymyr: Lectures on sl2(C)-modules. Imperial College Press, London, 2010. ISBN 978-1-84816-517-5; 1-84816-517-X
  • Henderson, Anthony: Representations of Lie algebras. An introduction through  . Australian Mathematical Society Lecture Series, 22. Cambridge University Press, Cambridge, 2012. ISBN 978-1-107-65361-0
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