sl(2,C)

Begriff der Algebra
(Weitergeleitet von Lie-Algebra sl(2,C))

In der Mathematik ist die Lie-Algebra der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe . Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra und die Lie-Algebra .

Die Gruppe spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen ist.

Kommutator-Relationen

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Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum  . Die   ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

 

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

 

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt

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Durch die Definition des Kreuzproduktes in   und der folgenden Vektoren

 

ergibt sich die gleiche Algebra:

 

Eigenschaften

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  ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei   ein nichttriviales Ideal in   und sei   mit  . Wenn  , dann  , damit   und  , also  . Also können wir   oder   annehmen, o. B. d. A  . Aus   folgt dann   und damit auch  , also wieder  .

Struktur der Lie-Algebra sl(2,C)

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Killing-Form

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Die Killing-Form von   lässt sich explizit durch die Formel

 

berechnen, es ist also

 
 

Cartan-Involution

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Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe   ist  , ihre Lie-Algebra   wird von   und   aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von   ist gegeben durch

 .

  ist ihr Eigenraum zum Eigenwert  . Man erhält die Cartan-Zerlegung

 ,

wobei   der Eigenraum zum Eigenwert   ist.

Iwasawa-Zerlegung

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Eine Iwasawa-Zerlegung von   ist

 

mit  .

Reelle Formen

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Die   hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist  , ihre spaltbare reelle Form ist  .

Cartan-Unteralgebren

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Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

 .

  ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra   ist zu   konjugiert, d. h., sie ist von der Form

 

für ein  .

Wurzelsystem

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Das Wurzelsystem zu   ist

 .

Die dualen Wurzeln sind

 .

Die zugehörigen Wurzelräume sind

 .

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe  .

Siehe auch

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  • Nicolas Perrin: The Lie Algebra   PDF
  • Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF