Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente Charakterisierungen

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• die Killing-Form ist nicht-ausgeartet,
• es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen,
• es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.

Beispiele

• Spezielle lineare Gruppen: $SL(n,\mathbb {R} )$, $SL(n,\mathbb {C} )$
• Spezielle orthogonale Gruppe $SO(p,q)$
• Symplektische Gruppe $Sp(n)$
• Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
• Halbeinfache algebraische Gruppen über $\mathbb {C}$ sind halbeinfache Lie-Gruppen.

Maximal kompakte Untergruppe

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe $K$. Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb {R} )$ und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von $SL(n,\mathbb {C} )$.

Symmetrischer Raum

Sei $K$ eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe $G$. Der Quotient $G/K$ ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit $G^{u}/K$ bezeichnet. Seine Isometriegruppe $G^{u}$ ist eine kompakte Lie-Gruppe.

Literatur

• Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.