Diskussion:Dedekinds Prager Satz

Dieser Artikel wurde ab August 2020 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Dedekinds Prager Satz“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

Physiker

Neben seinem historischen Wert ermöglicht daher dieser Satz einen intuitiven Zugang zur (klassischen) Idealtheorie, bspw. vorzugsweise anschaulich denkenden Physikern, welche sich physikalisch mit Zahlen beschäftigen, bspw. mit Resonanzen.

Sorry, Wo steht das in der angegebenen Quelle?—Hoegiro (Diskussion) 14:53, 31. Jul. 2020 (CEST)

S.7. ... und ich bin Physiker, für den nach Hilbert gilt: Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer. Du auch? --Ralf Preußen (Diskussion) 16:00, 31. Jul. 2020 (CEST)

Nichts dergleichen steht auf Seite 7 von Lemmermeyers Artikel. Langsam grenzt das hier an Belegfälschung.—Hoegiro (Diskussion) 16:07, 31. Jul. 2020 (CEST)

S.7: "Damit beansprucht der Prager Satz jedenfalls eine historische Rolle: mit der Abkehr vom Prager Satz begann die Absatzbewegung weg von rechnerischen hin zu konzeptionellen Beweisen und die Durchdringung des untersuchten Gegenstands mit abstrakten Mitteln, eine Bewegung, die Dedekind initiierte, Emmy Noether zu ihrem Programm erhob, und die mit dem Schaffen Grothendiecks 12 einen vorläufigen Höhepunkt erreicht hat." Ich habe nicht zitiert. Von dem Physiker-Problem (siehe Hilbert) mit der "abstrakten Mathematik" bist Du als nicht-Physiker vermutlich nicht betroffen. Die Mathematik ist aber (auch) ein Hilfsmittel der (in dieser Sprache geschriebenen) Physik und muss daher (soweit vorhanden) zumindest auch geeignet einfache Denkbilder für Physiker bereitzustellen, damit dieser Zweck erfüllt wird. Deshalb hat auch Hilbert (der auch ein Physikbuch schrieb) trotz Kenntnis der Dedekindischen Variante bewußt selbst den (konkreten rechnerischen) Zugang über die Polynome gewählt, siehe erstes Kapitel im Zahlbericht... (und weiter hinten seine Definition von Satz 90). --Ralf Preußen (Diskussion) 16:33, 31. Jul. 2020 (CEST)

Der Satz steht also weder direkt noch irgendwie sinngemäß in der angegebenen Quelle.—Hoegiro (Diskussion) 00:18, 1. Aug. 2020 (CEST)

Doch - siehe oben den langen Zitatsatz. Zudem lesen die meisten Physiker den E.Artin nicht (weil sie die Welt und nicht Gott erkennen wollen), worin sich diese bspw. von den Mathematikern unterscheiden. --Ralf Preußen (Diskussion) 09:18, 1. Aug. 2020 (CEST)

In dem Zitat steht nicht nur nichts von Physikern (und deren Beschäftigung mit Zahlen und Resonanzen), es steht dort auch nichts von einem intuitiven Zugang zur Idealtheorie und auch von „klassischer“ Idealtheorie ist nicht die Rede. Kurz: es steht dort nicht ein Wort von dem, was Du daraus gemacht hast. So etwas nennt man Belegfälschung.—Hoegiro (Diskussion) 09:25, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ich weiß zwar nicht, ob Du ein Mathematiker bist (deren ständige Meckerei ich deshalb fachlich begründet akzeptiere), aber ich bin keiner. Doch ein Jurist bist Du nicht. Also lass so eine Unterstellung hier besser sein. Zudem bin ja ich der Autor dieses Artikels, wie meine Unterschrift signiert. Du (Math) hättest den für sich mit Zahlentheorie beschäftigende Physiker wichtigen Artikel auch zuvor selbst anlegen können - womit ich (Physiker) mich zufrieden gegeben hätte, denn das ist der Sinn der WP als Enzyklopädie. Bei Problemen zur Bedeutung des Artikels für Physiker kann Du ja zudem die QS-Physik einbinden. --Ralf Preußen (Diskussion) 10:06, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ich sehe die Aussage „Neben seinem historischen Wert ermöglicht dieser Satz einen intuitiven Zugang zur (klassischen) Idealtheorie, bspw. vorzugsweise anschaulich denkenden Physikern, welche sich physikalisch mit Zahlen beschäftigen, bspw. mit Resonanzen.“ des Artikels nicht durch das o.g. Zitat belegt. Ob er inhaltlich zutreffend ist kann ich nicht beurteilen. Kein Einstein (Diskussion) 11:57, 1. Aug. 2020 (CEST)

+1. Da steht was von Abstraktheit und dem Wandel von rechnerischen zu konzeptionellen Beweisen. Von Anschaulichkeit ist nirgends die Rede. Es ist nicht ersichtlich, warum ein konzeptioneller Beweis automatisch intuitiv sein sollte. --Singsangsung ^{Los, frag mich!} 23:35, 8. Aug. 2020 (CEST)

Obige Aussage ist kein Zitat aus der Quelle sondern eine Aussage über die Bedeutung des Satzes (über Potenzreihen) in der Physik. Zur Bedeutung/Bekanntheit von Potenzreihen für Physiker siehe bspw. hier [1]. Also ist dieser von Hilbert im Zahlbericht verwendete Ansatz zur Idealtheorie dem gemeinen Physiker intuitiv zugänglich, im Gegensatz zu den moderneren mathematischen Konzepten. --Ralf Preußen (Diskussion) 08:54, 9. Aug. 2020 (CEST)

Es geht in dem Satz aber nicht um Potenzreihen, sondern um die Ganzzahligkeit von Polynomen. Grundsätzlich können Ganzzahligkeitseffekte natürlich auch in der Physik eine Rolle spielen (z.B. Resonanzen), aber in diesem Fall wäre das erst zu belegen. In jedem Fall ergibt es sich nicht aus der angegebenen Quelle.—Hoegiro (Diskussion) 10:57, 9. Aug. 2020 (CEST)

Die Aussage ist nicht aus der Quelle sondern bezieht sich auf eine Anwendung in der Physik, denn Polynome sind (endliche) Potenzreihen und (innere und äussere) Produkte von Polynomen (dies betrifft der D-P-Satz) treten bei geeignet gewählten Modellen in der Physik auf (siehe Harm. Osz.). Da der D-P-Satz (fast) vergessen wurde, wird sich schwerlich eine direkte Quelle zu seiner Anwendung in der Physik finden. --Ralf Preußen (Diskussion) 11:21, 9. Aug. 2020 (CEST)

Naja, Produkte von Polynomen sind nichts anderes als Addition und Multiplikation und naTürlich kommen die überall vor. Beim Prager Satz geht es aber um Ganzzahligkeit: sind die normierten Polynome ganzzahlig, wenn ihr Produkt ganzzahlig ist?, und das ist schon spezieller.

Die <|> und |><| Operatoren über (ganzzahligen) Polynomen im L2 kommen in der QM ständig vor, bspw. bei WW-Termen sowie Erhaltungssätzen von Tensoren. Dabei wird (intern) entsprechend multipliziert und (insb. bei <|> sowie bei Determinante|(|><|)|) addiert und die Ergebnisse sind dann ganzzahlig und teilbar, aber dass sich diese Teilbarkeit dann auch auf die einzelnen Terme (vor der internen Addition) erstreckt, ist die spezielle Aussage des Satzes, die in der Physik anwendbar ist. Mach doch mal einen Änderungsvorschlag. --Ralf Preußen (Diskussion) 12:43, 9. Aug. 2020 (CEST)

Danke, ich kenne die Quantenmechanik und weiß, was dort mathematisch gemacht wird. Nur, was hat das mit diesem Satz zu tun? Spielt die Ganzzahligkeit von Polynomen in der Quantenmechanik irgendwo eine Rolle?—Hoegiro (Diskussion) 12:55, 9. Aug. 2020 (CEST)

Die mir bekannten speziellen Polynome der QM sind alle ganzzahlig. Also fallen diese auch unter den Satz. Ob die Physik daraus bereits etwas Sinnvolles abgeleitet hat, ist eine andere Frage. --Ralf Preußen (Diskussion) 13:03, 9. Aug. 2020 (CEST)

Es geht doch hier aber um Produkte von Polynomen, die ganzzahlig sind, woraus man (bei normierten Polynomen) die Ganzzahligkeit der Faktoren folgern will.—Hoegiro (Diskussion) 13:13, 9. Aug. 2020 (CEST)

Ja genau, und diese Produkte tauchen bspw. im WW-Term <1|2> zweier Zustände 1, 2 auf, jeweils mit ganzzahligen Polynomen beschrieben. Der Satz gibt dann (vor der Addition der Koeffizientenprodukte im Skalarprodukt) weitere Auswahlkriterien für die möglichen Zustände, also deren Koeffizienten an. --Ralf Preußen (Diskussion) 13:28, 9. Aug. 2020 (CEST)

Nebenbei bemerkt ist auch der Einleitungssatz des Artikels irreführend, denn der Prager Satz ist kein „Polynome verwendender Satz“, sondern ein Satz über Polynome.—Hoegiro (Diskussion) 12:28, 9. Aug. 2020 (CEST)

Ja - wurde in "über" geändert. --Ralf Preußen (Diskussion) 12:43, 9. Aug. 2020 (CEST)

Formulierung des Satzes

Der Quotientenkörper ist doch wohl K[X] und nicht R[X]?—Hoegiro (Diskussion) 14:55, 31. Jul. 2020 (CEST)

Ja, aber der Ring mit Quotientenkörper ist R[X] - ist exakter Wortlaut aus Quelle. K braucht man nur, wenn man t aus K als Lösung des charakteristischen Polynoms betrachtet. --Ralf Preußen (Diskussion) 16:38, 31. Jul. 2020 (CEST)

Ist K der Quotientenkörper von R oder geht es um den Quotientenkörper von R[X]? Letzteren würde man doch eher mit R(X) bezeichnen.—Hoegiro (Diskussion) 00:21, 1. Aug. 2020 (CEST)

Du bist doch von uns beiden hier der Mathematiker - ich habe den Satzteil identisch von Lemmermeyer übernommen (aber das K am Ende weggelassen, da ich K im Artikel nicht brauchte - siehe aber zu K den Beweis von Satz 4 in der Quelle).--Ralf Preußen (Diskussion) 09:23, 1. Aug. 2020 (CEST)

Es geht aber um Deinen Artikel. Du mußt doch wissen, was Du dort geschrieben hast und was die Bezeichnungen bedeuten sollen.—Hoegiro (Diskussion) 09:28, 1. Aug. 2020 (CEST)

In Quelle steht "Es gibt einige Eigenschaften, die sich von einem Ring R auf den Polynomring R[X] vererben. So ist bekannt, dass mit R auch immer R[X] faktoriell ist 14". Also sollte noch in den Artikel "mit dem Polynomring R[X]".--Ralf Preußen (Diskussion) 09:32, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ja, natürlich ist R[X] die Bezeichnung für einen Polynomring. Aktuell ist im Artikel die Rede von „Polynomen in einem Integritätsring mit Quotientenkörper R[X]“. Gemeint ist aber doch wohl, dass R ein Integritätsring, K sein Quotientenkörper sowie R[X] und K[X] dann die Polynomringe sind. Oder?—Hoegiro (Diskussion) 09:40, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ja genau. Aber sage ich denn mit meinen Worten etwas anderes? --Ralf Preußen (Diskussion) 10:18, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ja.—Hoegiro (Diskussion) 10:32, 1. Aug. 2020 (CEST)

Wäre das für Dich OK: „Polynomen R[X] in einem Integritätsring R mit Quotientenkörper“? --Ralf Preußen (Diskussion) 18:30, 1. Aug. 2020 (CEST)

Nein, diese Formulierung macht keinen Sinn.—Hoegiro (Diskussion) 14:53, 2. Aug. 2020 (CEST)

Dann Deine Formulierung: ..., wobei "R ein Integritätsring, K sein Quotientenkörper sowie R[X] und K[X] die Polynomringe sind". Wenn OK, baue ich das so ein. --Ralf Preußen (Diskussion) 15:13, 2. Aug. 2020 (CEST)

Ideale

So, wie es im Artikel dargestellt ist, ist nicht nachvollziehbar, wie man von Polynomen auf Ideale kommt. Sind die jeweils erzeugten Hauptideale im Polynomring gemeint?—Hoegiro (Diskussion) 14:58, 31. Jul. 2020 (CEST)

Dann soll das bitte ein Math. (noch) besser nachvollziehbar machen. Notfalls Kapitel 1 im Zahlbericht lesen (das hat mir sehr geholfen ... aber ich bin ja Physiker und daher etwas anders gewickelt) --Ralf Preußen (Diskussion) 16:38, 31. Jul. 2020 (CEST)

"wie man von Polynomen auf Ideale kommt" sollte m.E. im Artikel Ideal_(Ringtheorie) als Unterartikel am Anfang eingefügt werden - am besten von einem Math. Der ()-Term mit Idealen in diesem Artikel ist ein Zitat einer Fussnote aus der Quelle und dient nur zur Erklärung der Verwendung dieses Satzes durch Hurwitz. --Ralf Preußen (Diskussion) 17:21, 31. Jul. 2020 (CEST)

Es geht nicht um den Artikel Ideal (Ringtheorie), sondern darum, welche Ideale hier im vorletzten Absatz des Artikels gemeint sind.—Hoegiro (Diskussion) 00:23, 1. Aug. 2020 (CEST)

Geschichte

Ich habe mal kurz gegoogelt, was man zu dem Satz findet. Der Satz stammt (in der im Artikel anegegebenen Formulierung) trotz seines Names nicht von Dedekind, sondern von Kronecker. Er folgt aus einem Satz Kroneckers, der die Grundlage seiner Divisortheorie bildete. Von Dedekind stammt die idealtheoretischen Formulierung. Insofern ist der erste Satz des Artikels irreführend, denn es ist ja nicht der im Artikel formulierte Satz, der den Beginn der Idealtheorie markiert. (falls man das überhaupt so sagen sollte; bei Lemmermeyer steht nur, dass der Satz eine wichtige Rolle beim Aufbau der Idealtheorie spielt)—Hoegiro (Diskussion) 17:23, 31. Jul. 2020 (CEST)

Danke sehr - das ist mir neu. Könntest Du das bitte entsprechend umformulieren und mit Quelle versehen. --Ralf Preußen (Diskussion) 17:54, 31. Jul. 2020 (CEST)

Bedenke bei der Dedekind-Kronecker-Problematik auch, dass " die Gültigkeit des Hebungslemmas in R[X] hat etwas damit zu tun, ob in R der Euklidische Vierzahlensatz gilt." Also könnte Dedekind diesen Kronecker-Satz erstmals auf R (statt nur auf K) angewandt haben => also bitte auch noch Vierzahlensatz einbauen. --Ralf Preußen (Diskussion) 18:21, 31. Jul. 2020 (CEST)

Der Satz heißt schon „Dedekinds Prager Satz“, das ist einfach der übliche Name unabhängig von der genauen Geschichte. Es ging mir darum, dass ich die Einleitung irreführend finde. Und deine letzte Bemerkung verstehe ich überhaupt nicht. „könnte“ gilt hier nicht. Und was hat jetzt der Vierzahlensatz damit zu tun?—Hoegiro (Diskussion) 22:51, 31. Jul. 2020 (CEST)

Bitte ändere die Einleitung in Deinen Sinne und verweise dabei auf Kronecker, aber mit Quelle, da ich diese nicht kenne. Die Verbindung mit dem Vierzahlensatz ist nach Lemmermeyer zwingend - siehe das obige Zitat. Das "könnte" ist eine Vermutung von mir, die ich nicht entscheiden kann. Im bejahenden Fall hat Dedekind die Gültigkeit des Kronecker-Satzes von K auf (spezielle, GGT) R erweitert, und dann wäre es zurecht Dedekinds Satz (quasi eine Verwendungserfindung). --Ralf Preußen (Diskussion) 09:10, 1. Aug. 2020 (CEST)

Mathematiker

Wieso haben die Mathematiker diesen wichtigen Satz (spätestens seit 2008 bekannt) noch nicht in die WP aufgenommen (mit der Folge, dass sich ein bekennend fauler Physiker dieser Sache annehmen muss)? --Ralf Preußen (Diskussion) 09:38, 1. Aug. 2020 (CEST)

Der Satz ist seit dem 19. Jahrhundert bekannt. Ob man ihn wichtig findet, ist Ansichtssache. Dass er für die Physik von Bedeutung sein könnte, ist hier jedenfalls noch nicht belegt worden.—Hoegiro (Diskussion) 14:57, 2. Aug. 2020 (CEST)

Dann bin halt hiermit ich (als Physiker) zwar wohl nicht der Beste, aber der Primus inter pares. Wenn es uns Physiker nicht gäbe, um zumindest einen Teil der Erleuchtungen der Math. auf die Welt zu projizieren, würde keiner euch einen Lehrstuhl bezahlen. Also: Wir denken uns einen Topf - schütten zwei Energiezustände rein - und stellen ihn in eine dunkle Ecke ... --Ralf Preußen (Diskussion) 09:49, 3. Aug. 2020 (CEST)

Kategorie:Physik

Sorry, was soll dieser Unsinn?—Hoegiro (Diskussion) 10:33, 1. Aug. 2020 (CEST) Wenn der Satz irgendwo in der Physik vorkäme, sollte man ihn in die entsprechende Unterkategorie einordnen, sicher nicht in die Kategorie:Physik.

Längst überholt (ohne Kenntnis dieser Disk). Kein Einstein (Diskussion) 19:15, 1. Aug. 2020 (CEST)

Polynome per se haben bekanntlich Anwendungen in der Physik. Zwei Polynome wechselwirken dort üblicherweise über ein Skalarprodukt. Und schon kommt dieser Satz ins Spiel. Wer von Euch ist Physiker? --Ralf Preußen (Diskussion) 19:37, 1. Aug. 2020 (CEST)

Ich sehe nicht, wo da die Ganzzahligkeit der Polynome (um die es beim Prager Satz ja geht) ins Spiel kommen könnte, zumal diese ja von der gewählten Maßeinheit abhängen würde.—Hoegiro (Diskussion) (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von 회기-로 (Diskussion | Beiträge) 14:55, 2. Aug. 2020 (CEST))

@Ralf Preußen: Nicht alles, was in der Physik angewandt wird, ist in der Kategorie:Physik richtig. Zugespitzt gesagt müssten sonst ja auch Bleistift in der Theoretischen Physik sein oder Schraubendreher in der Experimentalphysik... - Wenn es Thema der Physik-Ausbildung ist (ohne nur Hilfsmittel zu sein, auch Differentialrechnung ist nicht in der Physik-Kat), dann ist es richtig (siehe etwa Kategorie:Theoretische Mechanik). Kein Einstein (Diskussion) 20:35, 2. Aug. 2020 (CEST)

[2] "Eine amerikanische Studie zeigt, dass Kinder, die die Sesamstraße sehen, in der Schule besser sind als Kinder, die die Sendung nicht sehen." --Ralf Preußen (Diskussion) 11:17, 3. Aug. 2020 (CEST)

Aber zugegeben, der Satz gehört hier ("Kategorie:Physik") nicht hin. Ich werde mal "Золушка" fragen, wohin genau. --Ralf Preußen (Diskussion) 11:06, 3. Aug. 2020 (CEST)