Diskussion:Differenzierbares Maß

Differenzierbarkeit nach Skorochod

Sollen hier die Bair-Maße hier beschränkt sein? Wenn man unendliche Integrale zulassen will, dann wird es schwierig, wenn die Grenzwertaussage für alle stetigen, beschränkten Funktionen gelten soll, denn dann existieren manche Integrale nicht. Außerdem steht im Integranden $f(x-th)$ statt $f(x+th)$. Das ist zwar Wurscht bei $t\to 0$, aber das Pluszeichen scheint mir die vertrautere Version zu sein. Gibt es irgendeinen Grund, den ich möglicher Weise übersehen habe, hier das Minuszeichen zu verwenden? (Eine Möglichkeit wäre, dass es eigentlich $t\searrow 0$ heißen sollte). --FerdiBf (Diskussion) 08:58, 27. Mai 2023 (CEST)

1) In der Literatur die ich gesehen habe (Bogachev), liegt keine Beschränkung vor. Auch in dieser Doktorarbeit: https://edoc.ub.uni-muenchen.de/16213/ (Seite 13) sehe ich nichts.

2) Nun, wie du sagst, spielt es ja hier keine Rolle von welcher Seite der Grenzwert kommt, aber ich vermute, der Grund warum $f(x-th)$ in der Literatur verwendet wird, liegt wahrscheinlich an der Shift-Notation $\mu _{t}(x)=\mu (t+x)$. So ist $f(x)\mu _{t}(x)=f(y-t)\mu (y)$.--Tensorproduct 11:27, 28. Mai 2023 (CEST)

Ergänzung zum Punkt 2: Mit dem Shift-Operator lässt sich die Definition umschreiben

$\lim \limits _{t\to 0}\int _{X}{\frac {f(x-th)-f(x)}{t}}\mu (dx)=\lim \limits _{t\to 0}\int _{X}f\;d\left({\frac {\mu _{th}-\mu }{t}}\right),$

so sieht man, dass es sich wirklich um einen Differenzierbarkeitsbegriff des Maßes handelt. Deshalb $f(x-th)$. Zu Punkt 1: so genügt es meines Erachtens, wenn $(\mu _{t_{n}h}-\mu )/t_{n}$ eine beschränkte Folge ist.--Tensorproduct 23:59, 28. Mai 2023 (CEST)

Vielen Dank für die Antworten. Das mit der Shift-Notation klingt plausibel, auch wenn $t\to 0$ keine Vorzeichenbeschränkung hat. --FerdiBf (Diskussion) 07:45, 30. Mai 2023 (CEST)