Diskussion:Divergenz eines Vektorfeldes

Schreibweise

Paddy, was meinst du mit der Schreibweise

${\vec {F}}\rightarrow \operatorname {div} {\vec {F}}\qquad \left(\mathbb {R} ^{n}\right)\rightarrow \left[\mathbb {R} \right]$

Was ist $\left[\mathbb {R} \right]$? --SirJective 14:51, 19. Feb 2004 (CET)

Habe ich verbessert. --Paddy 15:02, 19. Feb 2004 (CET)

Gut, lassen wir die Erklärung, was die Vektorform von Nabla ist, weg. Welche der Schreibweisen $\nabla \cdot F$ oder ${\vec {\nabla }}\cdot F$ sollten wir verwenden? Das eine ist doch anscheinend direkt der Gradient-Operator, und das andere ein Vektor, der als formaler Differentialoperator auftritt? --SirJective 14:51, 19. Feb 2004 (CET)

$\nabla {\vec {F}}$ und $\nabla \varphi$ denn nabla macht immer dasselbe d\d_r nur einmal bei einem Vektor- und einmal bei einem Skalarfeld? --Paddy 15:02, 19. Feb 2004 (CET)

Also im Bronstein gibt es keine Vektorpfeile über dem Nablaoperator. Vektoren werden fett und mit Pfeil darüber geschrieben (Finde ich persönlich doppelt gemoppelt). Eine bessere Idee habe ich auch nicht. Vektoren ausschließlich dadurch zu kennzeichnen, daß sie fett sind finde ich mager. In Wikipedia:TeX gibt es einen Vektorpfeil. Da sollte man von Gebrauch machen. --Paddy 15:48, 19. Feb 2004 (CET)

Siehe den Artikel Nabla-Operator: Dort wird zwischen dem Differentialoperator $\nabla$ alias grad und dem formalen Vektor ${\vec {\nabla }}$ unterschieden. Ich meine nicht den Unterschied zwischen dem Skalarfeld φ und dem Vektorfeld ${\vec {F}}$. Wenn diese Unterscheidung des Nabla-Operators nicht allgemein ueblich ist (mir persoenlich ist sie wurscht, ich weiss was gemeint ist), dann sollte man auch den Nabla-Artikel ueberarbeiten.

Als Mathematik-Student markiere ich Vektoren gar nicht. Wenn v ein Vektor ist, dann ist die Eigenschaft, Vektor zu sein, durch diese Forderung genannt. Daher bin ich mit fast jeder zusaetzlichen Auszeichnung einverstanden. Aber ich stimme dir zu, dass "fett und Pfeil" zuviel ist. Die Diskussion dazu findet in Diskussion:Vektor (Mathematik) statt (ohne mich). --SirJective 16:14, 20. Feb 2004 (CET)

Gibt es denn den formalen Differentialoperator und einen formalen Vektor? Nabla ist für mich lediglich ein Formaler Differentialoperator und es ist ein symbolischer Vektor. Also kein Vektor an sich. Was soll ${\vec {\nabla }}$ denn bedeuten? Das der Nablaoperator ein Vektor ist?! --Paddy 16:47, 20. Feb 2004 (CET)

Man kann den Nabla schon als Vektor verstehen: ${\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}})$

Diesen kann man dann nämlich auch ganz formal mit einem Skalar oder Vektor (skalar) multiplizieren oder ein Kreuzprodukt bilden. Zum Beispiel:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von 89.54.142.214 (Diskussion) 17:36, 1. Jun. 2007 (CEST))

Ihr solltet erklären, was ihr mit C^\infty meint. -- 1of3 22:57, 8. Feb. 2007 (CET)

Folgen und Reihen?

Meiner Meinung nach sollte auf hier auch auf die Divergenz von Folgen und Reihen eingegangen werden. In dem Artikel Konvergenz geht das eher unter.Bostich 20:16, 25. Okt 2005 (CEST)

Besser, er geht dort unter als hier ;-). Aber Scherz beiseite, man kann ihn ja dort aufwerten. Habe dazu eben einen kleinen Anfang gemacht. Thematisch passt es ja auch viel besser dort hin, und man muss hier nicht das alles wiederholen, was zu Konvergenz und Divergenz gemeinsam zu sagen ist. --Wolfgangbeyer 20:56, 25. Okt 2005 (CEST)

r oder rho

Habe in der divF formel für Zylinderkoodrinaten mal die formel

• $\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

in

• $\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(\rho F_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

oder heißt der radius neurdings $\rho$? Sorry wenn ich irgednwas übersehen habe, aber laut bronstein und meiner logik befindet sich ein r in der formel und kein $\rho$.

Greetz (nicht signierter Beitrag von 87.123.196.210 (Diskussion) 14:57, 23. Nov. 2006 (CET))

Nun, Variablennamen sind Schall und Rauch, aber so ist es sicher falsch, da hier jetzt 4 Koordinaten (r, rho, phi, z) auftauchen. In der Tat verwendet der Bronstein rho, phi und z als Koordinaten. --85 ^[?!] 15:27, 23. Nov. 2006 (CET)

nur für schlaue

jeder komplizierte pups ist zu finden. aber wehe man sucht mal nach "unbestimmt divergent", dann fühlt man sich wie zwischen neandertalern. 88.70.69.204 16:31, 27. Jan. 2008 (CET)

Wenn man aufmerksam die Kopfzeile des Artikels betrachtet, wird man feststellen, dass Grenzwerte von Folgen hier nicht behandelt werden. Wenn Du dem Link folgst, sollstest Du fündig werden. --V4len 21:09, 30. Apr. 2008 (CEST)

Spur des totalen Differentials

Am 25. Januar wurde der Beitrag entfernt, dass man die Divergenz als Spur des Differentialoperators verstehen kann. Aus mathematischer Sicht finde ich den Zusammenhang sehr interessant. Was sagen die Anderen dazu. Sollte man diesen Zusatz wieder einbringen? --V4len 21:05, 30. Apr. 2008 (CEST)

Das sollte sicherlich im Artikel stehen! --Christian1985 (Diskussion) 01:26, 24. Jun. 2011 (CEST)

Abschnitt Div-1

Der Abschnitt ergibt mathematisch für mich keinen Sinn (siehe auch hier und hier, wo der analoge Abschnitt aus dem Artikel Rotation gelöscht wurde). Daher habe ich den Abschnitt durch einen mathematisch korrekteren ersetzt. --Sabata 22:58, 21. Sep. 2008 (CEST)

Definition Divergenz

Für die Definition der Divergenz ist es nicht nötig, dass der Funtionenraum $C^{\infty }$ ist, sondern $C^{1}$ ist ausreichend! (nicht signierter Beitrag von 132.230.80.211 (Diskussion | Beiträge) 14:36, 11. Dez. 2009 (CET))

Divergenz auf Mannigfaltigkeiten

Im Artikel Verallgemeinerter Laplace-Operator wird Divergenz nach hierher verlinkt. Dort ist aber die Divergenz auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit gemeint, die hier nicht behandelt wird. Man sollte sie also ergänzen. -- Digamma 17:59, 6. Nov. 2010 (CET)

Divergenz auf Tensor

Hallo, ich bin neu hier und meine doch einen Fehler gefunden zu haben. Im Abschnitt "Divergenz auf Tensor" wird Nabla * Matrix ausgerechnet. Der Nabla- Operator wird dabei als "Spaltenvektor" bezeichnet.

Meiner Ansicht nach müsste Nabla als Zeilenvektor mit dem Tensor multipliziert werden (Sonst ist die Matrixmultiplikation gar nicht definiert.) Und das anschließende Invertieren ist auch falsch. (nicht signierter Beitrag von 188.103.150.92 (Diskussion) 23:16, 8. Jan. 2011 (CET))

Ich verstehe den Abschnitt auch nicht so ganz. Warum haben die Einträge des Tensorfelds nur zwei Indizes, also warum wird hier der Spezialfall des matrixwertigen Feldes abgehandelt? Ich schlage vor, diesen Abschnitt komplett umzubauen und die Divergenz auf einem Vektorfeld zu erklären. Das würde sowohl Dein Problem lösen und das Problem von Diagamma im Abschnitt darüber. --Christian1985 (Diskussion) 13:38, 9. Jan. 2011 (CET)

Zumindest werde ich mal die zweite Gleichung ändern. Wenn man die erste Gleichung mit den beiden Summen ausrechnet, kommt man auf das Produkt des transponierten (nicht invertierten) Tensors mit dem Nabla-Operator (als Spaltenvektor). In der Literatur (zumindest in Ingenieurwissenschaften) wird anscheinend oft »Nabla mal Tensor« geschrieben. Das halte ich für formal ziemlich unsauber (weil eigentlich nicht definiert, es sei denn, irgendetwas ist an mir vorbeigegangen, kann man ja nicht ausschließen), sollte aber vielleicht trotzdem erwähnt werden, weil es wie gesagt häufig anzutreffen ist. --E.Hager 18:49, 3. Mär. 2011 (CET)

Das: "$T^{T}\cdot {\vec {\nabla }}$" kann eigentlich nicht sein. Denn hier wirkt der Nabla-Operator ja gar nicht auf T. Damit Nabla auf T wirkt, muss T hinter Nabla stehen. -- Digamma 20:09, 3. Mär. 2011 (CET)

Ja, das hab ich mir so ähnlich gedacht, als ich über das divT nachgedacht hab. Andererseits kann man den Nabla-Operator auch als Vektor auffassen (oder?). Davor stand dort $\left({\vec {\nabla }}\cdot T\right)^{T}$. Das interpretiere ich als $T^{T}\cdot {\vec {\nabla }}^{T}$. Vielleicht muß man einsehen, daß die Schreibweise mit Nabla-Operator gar nicht funktioniert. Aber im Artikel zum Nabla-Operator steht, daß dieser formal ein Vektor ist. Also müßte man erstmal die Frage klären, ob er das ist oder nicht. --E.Hager 21:42, 3. Mär. 2011 (CET)

Den Nabla-Operator gibt es ja mathematisch gar nicht, sondern nur als Schreibweise (das ist mit "formal" gemeint: der Form nach), nämlich als Spalten- oder Zeilenvektor, dessen Einträge die Differentialoperatoren ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}$ sind. Diesen Spalten- oder Zeilenvektor kann man dann nach den Regeln der Matrizenmultiplikation mit vektorwertigen Funktionen multiplizieren. Die dabei auftretenden Teil"produkte" ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}f_{j}$ sind aber keine Produkte. ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}f_{j}$ bedeutet, dass der Differentialoperator ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ auf die Funktion $f_{j}$ angewendet wird. Hingegen ist $f_{j}{\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ nur ein Produkt, dessen Ergebnis wieder ein Differentialoperator ist. -- Digamma 22:15, 3. Mär. 2011 (CET)

Ich mache Deine Änderung rückgängig. Auch die Formulierung mit der Matrix stimmt nicht. Bei der Divergenz wird ja über die partiellen Ableitungen summiert. -- Digamma 11:14, 4. Mär. 2011 (CET)

Was meinst Du damit? --E.Hager 12:03, 4. Mär. 2011 (CET)

Was verstehst Du daran nicht? Wenn die Definition, die darüber steht (bzw. bisher stand)

$\operatorname {div} \,T=\sum _{j}^{}\,\left(\sum _{i}^{}{\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}\right)\,{\vec {e_{j}}}$

stimmt, dann muss es richtig

$\operatorname {div} \,{T}={\begin{pmatrix}\partial _{x_{1}}t_{1,1}+\partial _{x_{2}}t_{2,1}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,1}\\\partial _{x_{1}}t_{1,2}+\partial _{x_{2}}t_{2,2}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,2}\\\vdots \\\partial _{x_{1}}t_{1,m}+\partial _{x_{2}}t_{2,m}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,m}\\\end{pmatrix}},~\partial _{x_{i}}t_{i,j}={\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}$

heißen. Die Divergenz eines Tensors 2-ter Stufe ist ein Tensor erster Stufe, also ein Vektor. -- Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)

Stimmt. Das hab ich hier auf meinem Schmierzettel auch so stehen. Für den Artikel hab ich eine Matrix aus einem anderen Artikel kopiert und das Summieren vergessen. Übrigens: Heißt es wirklich Tensor n-ter Stufe? Oder n-ter Ordnung? --E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET)

Da bin ich mir nicht sicher. Im Artikel Tensor wird beides verwendet. -- Digamma 16:21, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich lösche den gesamten Abschnitt über die Divergenz von Tensoren. Aus der Diskussion hier ergibt sich, dass er fehlerhaft und lückenhaft ist. Wenn sich jemand damit auskennt, kann er ja einen neuen Abschnitt dazu schreiben, bzw. den alten überarbeiten. In dieser Form ist der Abschnitt aber schlechter, als wenn da gar nichts steht. -- Digamma 11:19, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja, das glaub ich auch. Ich brauche aber eine Definition. Da werde ich mich wohl auf die Suche machen müssen. --E.Hager 12:03, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich denke, man muss auf jeden Fall sagen, bezüglich welches Index man die Divergenz bildet. In der bisherigen Definition im Artikel ist das der erste, aber das muss m.E. nicht unbedingt so sein. Kannst Du einen Kontext angeben, wo die Divergenz eines Tensors vorkommt? -- Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja: Wenn man ein (quaderförmiges) Fluidvolumen betrachtet, kann man einen Spannungstensor definieren:

$\tau ={\begin{pmatrix}\tau _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\tau _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\tau _{33}\\\end{pmatrix}}$

Die Elemente der Hauptdiagonale sind Normalspannungen an den Seitenflächen des Quaders, die übrigen Elemente sind Schubspannungen, also parallel zu den Quaderoberflächen. Um die Oberflächenkräfte zu berechnen, muß man diesen Tensor über die Oberfläche des Fluidvolumens integrieren. Wegen der Impulserhaltung ist die zeitliche Ableitung des Impulses des Fluidvolumens gleich der Summe der auf das Volumen einwirkenden Kräfte. Das läßt sich mit Reynolds-Transport-Theorem und Integralsatz von Gauß so darstellen, daß darin die Divergenz dieses Spannungstensors vorkommt. Um das hier ausführlicher hinzuschreiben fehlt mir im Moment die Zeit. In der Literatur, die ich hier habe und in der das vorkommt, wird die Divergenz eines Tensors aber nicht definiert. Sie wird eigentlich nur erwähnt. Zumindest soweit wie ich bis jetzt gelesen habe.

Deinen Einwand mit dem Index verstehe ich gerade nicht ganz.

PS: Ach so, Du meinst, daß man hier

$\operatorname {div} \,T=\sum _{j}^{}\,\left(\sum _{i}^{}{\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}\right)\,{\vec {e_{j}}}$

nach $x_{i}$ ableitet? Daß man also die Divergenzen der einzelnen Tensorspalten statt -zeilen bildet? --E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja, genau. Bei symmetrischen Tensoren spielt das natürlich keine Rolle. -- Digamma 16:21, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich habe inzwischen etwas gefunden, was in die Richtung einer Definition der Divergenz eines Tensors geht:

${\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}=\nabla \cdot \tau ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \tau _{11}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{12}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{13}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial \tau _{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{22}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{23}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial \tau _{31}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{32}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{pmatrix}}$

Das nutzt die Einsteinsche Summenkonvention (glaub ich) und stellt eine andere Definition dar als das, was weiter oben (bei E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET) oder auch bei Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)) steht. Was hier steht, ist sozusagen $\tau \cdot \nabla$. Weiter oben steht $\tau ^{T}\cdot \nabla$. Salopp ausgedrückt. In dem Skript, aus dem ich das habe, steht aber, daß der Tensor symmetrisch ist, macht also keinen Unterschied. Da ich das Skript generell für hemdsärmlig geschrieben halte, bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ob man darauf vertrauen kann, daß die Indizes stimmen. Vielleicht hat sich der Autor gedacht, daß das bei symmetrischen Tensoren egal ist. Ich finde die Schreibweise „Nabla mal Matrix“ nach wie vor blöd. --E.Hager 22:38, 10. Mär. 2011 (CET)

Das Problem ist: Von der Matrizmultiplikation her sollte es wohl $\tau \cdot \nabla$ heißen. Aber: In diesem Fall werden die Komponenten von $\tau$ mit den Komponenten von $\nabla$ nur multipliziert: $t_{ij}\cdot {\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}$. Die Differentialoperatoren ${\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}$ sollen aber auf die $t_{ij}$ angewendet werden: ${\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}t_{ij}$. Dazu muss das $\nabla$ aber vor dem $\tau$ stehen. -- Digamma 11:01, 11. Mär. 2011 (CET)

Ja, ich weiß. Ich wollte mit der Schreibweise nur den Unterschied zwischen den beiden Definitionen deutlich machen. Nachdem beides keinen Sinn ergibt, weder Nabla links noch rechts vom Tensor zweiter Ordnung, würde ich den Nabla-Operator hier gar nicht benutzen. --E.Hager 18:48, 11. Mär. 2011 (CET)

Ich hab da ein mords Drum Brett vorm Kopf gehabt. Die letzte Version des Artikels vom 3. Februar war eigentlich richtig. Beim Skalarprodukt zweier Vektoren wird oft statt dem Punkt der linke Vektor als transponiert hingeschrieben. Oft wird das T für »transponiert« aber auch weggelassen. Die Variante, die ich hier weiter oben erwähnt habe, also das »$\tau \cdot \nabla$«, ist nichts anderes als

$\left(\nabla ^{T}\tau ^{T}\right)^{T}$.

Im Artikel stand:

»$\operatorname {Div} \,{T}=({\vec {\nabla }}\cdot T)^{T}$«.

Gemeint war wohl

$\left({\vec {\nabla }}^{T}\cdot T\right)^{T}$ oder $\left({\vec {\nabla }}^{T}T\right)^{T}$,

vermute ich mal. Da wird halt nach dem anderen Index abgeleitet. Das ist die einzige Frage in der Angelegenheit. --E.Hager 21:49, 21. Mär. 2011 (CET)

Wenn in nächster Zeit keine Einwände kommen, werde ich den Abschnitt über die Divergenz von Tensorfeldern zweiter Ordnung (leicht geändert) wieder einfügen. Weiter oben im Artikel wird erwähnt, daß man die Divergenz auch auf Tensorfelder verallgemeinern kann, also sollte darauf eingegangen werden. --E.Hager 18:19, 27. Apr. 2011 (CEST)

Nix dagegen. -- Digamma 21:25, 27. Apr. 2011 (CEST)

Das Vorhaben ist nun leider untergegangen oder? --Christian1985 (Diskussion) 00:59, 24. Jun. 2011 (CEST)

Nein, ich habe mich eine Weile mit einem Mathematik-Professor darüber unterhalten. Der hat mir ein paar Bücher empfohlen. In einem davon, ich glaube in „An Introduction to Continuum Mechanics“ von Morton E. Gurtin, wird eine der beiden Varianten gewählt und die Wahl damit begründet, daß nur dann ein Integralsatz ähnlich dem Satz von Gauß anwendbar ist. Ich muß mir das noch genauer anschauen. --E.Hager 13:17, 4. Jul. 2011 (CEST)

Die avisierte Wiedereinfügung ist bisher unterblieben (find ich schade) und das Vorhaben erstmal untergegangen. Nabla-Operator plus Matrizen sind offenbar ein vermintes Gelände!

Bei E. Klingbeil: Tensorrechnung für Ingenieure, 2. Aufl., BI-Wiss.-Verlag 1989, steht auf Seite 76, Gl. (3.18) für die Divergenz eines Tensors 2. Stufe

$\operatorname {Div} \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {\nabla }}\cdot \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {g}}\,^{i}\nabla _{i}\cdot T^{kl}{\vec {g}}_{k}{\vec {g}}_{l}\,=\,\delta _{k}^{i}\,{T^{kl}}_{,i}\,\,{\vec {g}}_{l}\,=\,{T^{il}}_{,i}\,\,{\vec {g}}_{l}$

(hier wegen des anderen typografischen Regimes mit leicht angepaßten Bezeichnungen). Trotz der mitgeführten Basisvektoren ist das aber immer noch "Tensorkalkül".

Etwas elementarer und allgemeiner (aber altmodisch): Jeder (vollständige) Tensor 2. Stufe bezüglich eines dreidimensionalen (geometrischen) Vektorraums ist als Summe dreier dyadischer Produkte darstellbar. Nach der Produktregel wird

${\vec {\nabla }}\cdot \mathrm {\mathbf {T} } \,=\,{\vec {\nabla }}\cdot \Sigma _{\nu }\,{\vec {A}}_{\nu }\,{\vec {B}}_{\nu }\,=\,\Sigma _{\nu }\,{\vec {\nabla }}\cdot {\stackrel {\downarrow }{\vec {A}}}_{\nu }\,{\vec {B}}_{\nu }\,+\,\Sigma _{\nu }\,{\vec {A}}_{\nu }\cdot {\vec {\nabla }}\,{\stackrel {\downarrow }{\vec {B}}}_{\nu }$

(in der letzten Summe wurden die Skalarprodukt-Faktoren einfach vertauscht). Die erste Summe ist also die Linearkombination der Rechtsfakoren des Tensors mit den Divergenzen der Linksfaktoren als "Koeffizienten" (die natürlich skalare Feldfunktionen sind). Und die Skalarprodukte in der 2. Summe sind (bis auf je einen betragsbedingten Faktor) skalare Richtungsdifferentialoperatoren (und deshalb könnte hier das Ausrechnen der Vektor-Gradienten für die Rechtsfaktoren vermieden werden). Die erste bzw. zweite Summe verschwindet, wenn (ggf. nach entsprechender Transformation) die Links- bzw. die Rechtsfaktoren eine feste (z. B. kartesische) Basis bilden. Schöne Grüße! WMdd --89.199.203.195 18:25, 26. Jun. 2013 (CEST)

Jüngste Änderungen vom 29. Januar 2011

Die Aussage Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle an, wieviel mehr aus dieser Stelle hinausfließt als in sie hineinfließt. ist irreführend. Die Menge, die in einen einzelnen Punkt hinein- oder aus ihm herausfließt, ist immer Null. Eine Quelle oder Senke ist immer ein Bereich mit positivem Maß, auf dem die Divergenz positiv bzw. negativ ist. Erst das Integral über die Divergenz gibt an, wie viel aus diesem Bereich heraus- bzw. in ihn hineinfließt. Insofern war die frühere Formulierung mit "Nähe" richtiger. -- Digamma 11:32, 30. Jan. 2011 (CET)

Abschnitt: Inverse

Gibt es zu dem Bogowskii-Operator noch ein paar Informationen? Nach wem ist er benannt? Ist er unter Umständen vielleicht injektiv oder surjektiv oder stetig? Kann ma ihn als Integraloperator darstellen? Irgendwie hätte ich unter der Überschrift auch eher was zu Pseudodifferentialoperatoren erwartet. Kann man mit Hilfe dieser auch die Divergenz invertieren? --Christian1985 (Diskussion) 01:21, 24. Jun. 2011 (CEST)

Definition in der Einleitung

Die Divergenz sei ein Operator, steht im ersten Satz. Nach dem Sprachgebrauch, wie ich ihn als Physiker kenne, ist jedoch div der Operator und die Divergenz das Ergebnis seiner Anwendung. Der Sprachgebrauch im Artikel ist wild gemischt, wechselt oft von einem Satz auf den nächsten. Gleiches im Artikel Rotation (Mathematik). --Rainald62 (Diskussion) 17:46, 8. Mai 2015 (CEST)

Ich glaube, der Gebrauch in der Mathematik ist, dass "Divergenz" der Operator ist und "div" das Kürzel (Symbol) für diesen Operator. Wendet man den Operator auf das Vektorfeld $V$ an, so erhält man die Funktion $\operatorname {div} V$ ("Divergenz von V").

Das ist ganz ähnlich wie (sozusagen eine Stufe tiefer) beim "Sinus". Sinus ist eine Funktion mit dem Funktionssymbol "sin". Angewendet auf eine Zahl $x$ erhält man die Zahl $\sin x$, den Sinus von $x$.

Physiker bezeichnen oft das Symbol als "Operator", für den Mathematiker ist der Operator aber die Zuordnung, die dem Vektorfeld $V$ das Skalarfeld $\operatorname {div} V$ zuordnet.

Nichtsdestotrotz ist der erste Satz meiner Meinung nach OMA-unfreundlich. Stattdessen sollte da so etwas stehen wie: "Die Divergenz eines Vektorfelds ist eine Funktion (bzw. ein Skalarfeld), das diesem Vektorfeld zugeordnet wird. Der Operator, der dem Vektorfeld $V$ das Skalarfeld $\operatorname {div} V$ zuordnet heißt "Divergenz" (oder Divergenzoperator).

Beim nochmaligen Nachdenken: Üblicherweise nennt man die Funktion nicht einfach "Sinus", sondern "Sinusfunktion". Genauso spricht man von der "Wurzelfunktion" und nicht einfach von der "Wurzel", wenn man die Funktion meint. "Wurzel" gibt es nur in der Verbindung "die Wwurzel aus x" bzw. kurz "Wurzel x". Entsprechend sollte man wohl den Operator nicht einfach mit "Divergenz" bezeichnen, sondern mit "Divergenzoperator". Man müsste wohl doch in die Literatur schauen. --Digamma (Diskussion) 18:25, 8. Mai 2015 (CEST)

Mir scheinen die seltenen Verwendungen der Art "the divergence applied to" (7 Buchtreffer) als (unzu)lässige Verkürzung des kaum häufigeren "the divergence operator applied to" (31 Buchtreffer) und beides gestelzt, vgl. "the divergence of" (von den ~1,4 Mio Treffern dürften wohl 100.000 die mathematische Divergenz meinen). Ich lasse dich aber gerne unabhängig in die Literatur schauen. Egal was dabei herauskommt, das Kuddelmuddel muss beseitigt werden. --Rainald62 (Diskussion) 00:38, 9. Mai 2015 (CEST)

Warum schaust du nur in englische Literatur? --Digamma (Diskussion) 10:53, 9. Mai 2015 (CEST)

Mehr Treffer. Die dt. überlasse ich dir ;-) --Rainald62 (Diskussion) 22:23, 9. Mai 2015 (CEST)

Die Bücher Analysis 2 von Forster und von Königsberger und das Lexikon der Mathematik aus dem Spektrumverlag bezeichnen mit Divergenz die resultierende Funktion und nicht den Operator. Bei der Definition des Objekts heben alle drei Bücher den Begriff Divergenz eines Vektorfeldes fett hervor. Vielleicht sollten wir in diesem Zusammenhang das Lemma auch nach Divergenz eines Vektorfeldes verschieben. Der Klammerzusatz "(Mathematik)" ist in diesem Fall nämlich sehr Unglücklich, da eine sehr große Verwechslungsgefahr mit dem Artikel Divergente Folge besteht. Außerdem würde evtl. durch diesen Artikelnamen weiterer Wildwuchs unterbunden. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 17:26, 10. Mai 2015 (CEST)

Wenn wir das so machen, dann sollten wir es entsprechend auch für Rotation und Gradient tun. --Digamma (Diskussion) 21:33, 10. Mai 2015 (CEST)

Ja für Rotation eines Vektorfeldes, das beseitigt die Verwechslungsgefahr mit der Drehung. Aber Gradient eines Vektorfeldes ist kein sinnvolles Lemma, denn der Gradient ist auch für ein Skalarfeld definiert, und Gradient eines Skalarfeldes finde ich zu eng. Die drei blauen Lemmata waren übrigens die ursprünglichen, sind zurzeit Weiterleitungen. --Rainald62 (Diskussion) 23:06, 10. Mai 2015 (CEST)

Danke für die Überarbeitung der Einleitung. --Digamma (Diskussion) 16:38, 14. Mai 2015 (CEST)

Die Verschiebungen habe ich ausgeführt. Wenn die Links angepasst sind, können auch die Verschiebereste gelöscht werden. -- Wolfgang Rieger (Diskussion) 17:16, 14. Mai 2015 (CEST)

Danke. Ich fange mal mit den Links Nummer 51ff an. --Rainald62 (Diskussion) 18:01, 14. Mai 2015 (CEST)

... in der Hoffnung, dass jemand vorne beginnt. Es fehlen noch 32 und die 62 44 auf Rotation (Mathematik). --Rainald62 (Diskussion) 01:34, 15. Mai 2015 (CEST)

Bei der Abarbeitung zeigte sich massive inhaltliche Redundanz: Grundlegendes zur Vektoranalysis wird in wenigstens einem Dutzend Artikeln dargestellt. Symptom: Mehr als die Hälfte der rund hundert Artikel, die Links auf div oder auf rot enthalten, enthalten beide. --Rainald62 (Diskussion) 01:07, 18. Mai 2015 (CEST)

Gradient eines Vektorfeldes? Spur eines Zeilenvektors?

Folgenden Satz finde ich völlig unverständlich: "Die Divergenz eines Vektorfeldes \vec{v} ist die Spur des Gradienten des Vektorfeldes" Was genau ist der Gradient eines Vektorfeldes? Gradienten sind doch nur für Skalarfelder definiert! Und was ist dann die Spur eines Gradienten, d.h. eines Zeilenvektors? (nicht signierter Beitrag von 79.213.139.182 (Diskussion) 20:00, 12. Feb. 2016 (CET))

Der Gradient eines Vektorfelds ist eine quadratische Matrix, die Jacobi-Matrix, (bzw. eine lineare Abbildung bzw. ein Tensor 2.er Stufe). Die Spur ist die Summe der Diagonalelemente. --Digamma (Diskussion) 20:23, 12. Feb. 2016 (CET)

Jeder Vektorkomponente ist selbst wieder skalar. Eine auch für beliebige Dimensionen des Vektorfeldes richtige Aussage der Art: „Die Divergenz eines Vektorfelds ist das Skalarprodukt aus Differentialoperator und Vektor.“ ist zwar unter Physiker nicht unüblich aber mathematisch umnstritten. Das über die Spur eines Tensors von höherer Ordnung auszudrücken ist zwar äquivalent und etwas komplizierter aber wenigstens mathematisch zweifellos korrekt.--Alturand (Diskussion) 11:37, 15. Feb. 2016 (CET)

Ich glaube nicht, dass das mit der Koordinateninvarianz so ganz astrein ist. Nehmen wir mal Zylinderkoordinaten und ${\vec {F}}={\hat {e}}_{\rho }$:
Links erhält man mit der Formel für Zylinderkoordinaten $\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}$.
Die rechte Seite gibt mit Gradient_(Mathematik)#Vektorgradient und Spur_(Mathematik)#Koordinatenfreie_Definition_der_Spur: $\operatorname {Spur} (\operatorname {grad} ({\hat {e}}_{\rho }))=\sum _{\alpha =\rho ,\varphi ,z}\langle \operatorname {grad} ({\hat {e}}_{\rho })\cdot {\hat {e}}_{\alpha },{\hat {e}}_{\alpha }\rangle =\sum _{\alpha =\rho ,\varphi ,z}\langle ({\hat {e}}_{\alpha }\cdot {\vec {\nabla }}){\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\alpha }\rangle =\langle ({\hat {e}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}){\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi }\rangle =\langle {\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{\varphi }\rangle =1$, oder nicht? (nicht signierter Beitrag von 2003:63:2B1C:9104:A4AD:DC94:3CC9:4DD5 (Diskussion) 23:59, 6. Aug. 2017 (CEST))

Wie kommst du auf $({\hat {e}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}){\hat {e}}_{\rho }={\hat {e}}_{\varphi }$? --Digamma (Diskussion) 18:51, 7. Aug. 2017 (CEST)

Laut Gradient_(Mathematik)#Vektorgradient ist $({\vec {h}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {F}}$ gleich der Richtungs- oder Fréchet-Ableitung von ${\vec {F}}$ in Richtung von ${\vec {h}}$. Die Fréchet-Ableitung von ${\hat {e}}_{\rho }$ in Richtung von ${\hat {e}}_{\varphi }$ ist gemäß dortiger Formel gleich $\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}}+s{\hat {e}}_{\varphi })-{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}})}{s}}={\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }={\hat {e}}_{\varphi }.$--2003:63:2B10:8D6B:219E:85BA:A709:78D3 21:09, 7. Aug. 2017 (CEST)

Eine Aussage der Form $\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}}+s{\hat {e}}_{\varphi })-{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}})}{s}}={\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }={\hat {e}}_{\varphi }$ finde ich dort nicht. Die erste Gleichheit $\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}}+s{\hat {e}}_{\varphi })-{\hat {e}}_{\rho }({\vec {x}})}{s}}={\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }$ gilt m.E. nicht, denn ${\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\rho }$ ist nicht die Ableitung nach dem normierten Vektor ${\hat {e}}_{\varphi }$, sondern nach dem unnormierten Vektor ${\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial \varphi }}$. Dieser ist aber nicht gleich ${\hat {e}}_{\varphi }$, denn ${\hat {e}}_{\varphi }={\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial \varphi }}$. --Digamma (Diskussion) 09:13, 8. Aug. 2017 (CEST)

Du hast Recht, ich habe mich verrechnet. Mit $\nabla$ ist also die kovariante Ableitung gemeint, ich finde diese Definition der Divergenz eines Vektorfelds sollte man ausführlicher darstellen als nur mit einem Satz.

Man betrachtet eine riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ mit dazugehörigem Levi-Civita-Zusammenhang. Vektorfeld $F$, davon kovariante Ableitung $\nabla F\in TM\otimes TM^{*}$. Betrachte dieses jetzt als Endomorphismus auf $TM$ und bilde dessen Spur.

Habe ich die Definition von $div$ über eine Spur so richtig verstanden? Wenn ja, dann finde ich die im mathematischen Bereich übliche äquivalente Definition als Koableitung eines Vektorfelds prägnanter.--2003:63:2B10:8D6B:D83:FDF1:B124:F12D 14:12, 8. Aug. 2017 (CEST)

Ja, so ist es richtig. Wobei man bei krummlinigen Koordinaten im euklidischen Raum auf den Begriff der kovarianten Ableitung verzichten kann, wenn man darauf achtet, dass die Basisvektoren vom Ort abhängen und deshalb auch abgeleitet werden müssen.

Ich denke, beide äquivalente Definitionen haben ihre Vor- und Nachteile. Meine Bücher über Riemannsche Geometrie benutzen beide. Die Version mit der Koableitung ist die, auf der die üblichen Formeln (mit ${\sqrt {g}}$) beruhen. --Digamma (Diskussion) 18:44, 8. Aug. 2017 (CEST)

Im Abschnitt „Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten“ wird div noch über die Jacobimatrix definiert, das stimmt ja dann so nicht, oder? Wie wärs mit: Auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist die Divergenz eines Vektorfelds die natürliche Paarung seiner kovarianten Ableitung (Link nach Spur-Artikel).--2003:63:2B21:1362:9D0B:DF91:DE7:DB37 21:03, 11. Aug. 2017 (CEST)

Was du zitierst ist m.E. nur die Motivation, die sich auf die Definition im $\mathbb {R} ^{n}$ bezieht. Im Abschnitt "Definition" darunter steht es aber richtig als Spur der kovarianten Ableitung. --Digamma (Diskussion) 22:03, 11. Aug. 2017 (CEST)

Tensoren

Meiner Meinung nach widersprechen sich auch die verschiedenen Gleichungen für Tensoren, nur mal zwei Beispiele:

$\mathbf {T} ={\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }:$ Aus dem Abschnitt "Definition" folgt $\operatorname {div} \mathbf {T} =\operatorname {div} ({\hat {e}}_{\varphi }){\hat {e}}_{\varphi }=0$, im Widerspruch zum richtigen Ergebnis aus dem Abschnitt Zylinderkoordinaten.

Ähnliches folgt für die $\operatorname {div} ({\vec {F}}\otimes {\vec {G}})$-Regel aus "Eigenschaften" mit ${\vec {F}}={\hat {e}}_{\varphi },{\vec {G}}={\hat {e}}_{\rho }$.

Ich halte diese ganze angeblich koordinatenfreie Rechnerei und die "Anwendung des Operators div auf Tensoren" (mit Ausnahme des Abschnitts "Zylinder- und Kugelkoordinaten") offen gesagt für großen Mumpitz, der in einem mathematischen Artikel nichts verloren hat. Sinnvoll wäre höchstens ein Hinweis auf die äußere Ableitung von 2-Formen wie im englischen Artikel.--2003:63:2B10:8D6B:219E:85BA:A709:78D3 22:37, 7. Aug. 2017 (CEST)

Ich habe den Teil über Tensoren mal abgetrennt, weil das ein anderes Thema ist und ich dazu auch nichts weiter sagen möchte. Vielleicht äußert sich jemand anderes dazu. --Digamma (Diskussion) 09:13, 8. Aug. 2017 (CEST)

Mag niemand was dazu sagen? Nach nochmaliger Durchsicht bleibe ich zumindest bei meiner Meinung über die angebliche Anwendung von div auf Tensoren zweiter Stufe---2003:63:2B21:1362:9D0B:DF91:DE7:DB37 21:03, 11. Aug. 2017 (CEST)

Ich finde den Vorschlag aus der Qualitätssicherung gut und würde die kartesischen Koordinaten in der Einleitung zu diesem Kapitel betonen.--2003:63:2B36:BBCB:6082:A7E2:D26F:1A6F 19:01, 14. Aug. 2017 (CEST)

Basisvektoren Notation

Wenn jemand das Rückgängigmachen der vorgeschlagenen Änderung nicht akzeptiert oder anderer Meinung ist, bitte hier diskutieren. Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Laplace-Operator#Notation_f%C3%BCr_Basisvektoren und https://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer_Diskussion:2A02:908:1866:68C0:89EB:A5EE:A30D:7AA8 --TranslationTalent (Diskussion) 00:00, 23. Jun. 2019 (CEST)

Es erschreckt mich,

wenn Physiker und Mathematiker sich erst austauschen müssen, wie etwas interpretiert wird. Das kann für andere Fachdisziplinen nicht gerade motivierend sein. Im übrigen bin ich der Meinung, man sollte keine Studenten Artikel schreiben lassen. Ihnen fehlt oft der didaktische Überblick und sie sehen es nur (!) aus ihrer Sicht. Artikel mit mathematischem Inhalt in Wikipedia sind oft abschreckend geschrieben, das dürfte in einem allgemeinen (!) Lexikon nicht der Fall sein. Man hat des öfteren den Eindruck, es ist von Mathematikern für Mathematiker geschrieben. (Das ist auch der Grund, weshalb ich meine Zahlungen an Wiki eingestellt habe.) Man sollte sich doch mal an amerikanischem Lehrmaterial orientieren. Dietrich May 26.7.2019.

Nun ja, wenn wir aus deiner Kritik Konsequenzen ziehen sollen, dann solltest du sie konkreter formulieren. --Digamma (Diskussion) 20:45, 27. Jul. 2019 (CEST)